Zestaw #7

Mechanika Kwantowa - kurs duz·y
zestaw 7
11.4.2012. środa, godz. 8:15, sala na antresoli, grupa I i III
Ćwiczenia odbed
¾ a¾ sie¾ wyjatkowo
¾
razem dla obu grup (nie bedzie
¾
kolokwium).
1. Prosze¾ przygotować prezentacje¾ w programie Mathematica ilustrujac
¾ a¾ rozwiazanie
¾
nastepuj
¾ acego
¾
problemu:
Czastka
¾
o masie m porusza sie¾ w nieskończonej studni potencja÷
u z bariera¾w środku:
8
1
x< L
>
>
>
>
L<x< a
< 0
V
a<x<a
V (x) =
>
>
0
a
<x<L
>
>
:
1
L<x
gdzie V > 0: Rozwaz·yć stany o energii E < V i V < E. Napisać warunki zszycia i
znaleźć warunki kwantyzacji. Rozwiazać
¾ warunki kwantyzacji zmieniajac
¾ wysokość
bariery V . W tym celu przyjać
¾ L = 2; a = 1; h = 1; m = 1. Porównać z wynikami
dla studni bez bariery w środku i dla potencja÷
u nieskonńczonego z jednej strony i
skończonego z drugiej o tych samych rozmiarach co „po÷
owa”potencaj÷
u V (x).
Przyjmujac
¾ V = 3 znaleźć dwa najniz·sze poziomy energetyczne E1;2 i odpowiadajace
¾ im unormowane funkcje falowe 1;2 (x). Wykreślić funkcje falowe i rozk÷
ady
prawdopodobieństwa.
Przyjać,
¾ z·e ogólne rozwiazanie
¾
zalez·ne od czasu jest kombinacja¾ liniowa¾ (h = 1):
(x; t) = e
iE1 t
1 (x)
+e
iE2 t
2 (x):
Zrobić animowany w czasie wykres gestości
¾
prawdopodobieństwa j (x; t)j2 . Jak
wyglada÷
¾ aby zalez·ność od czasu, gdyby energie E1;2 by÷
y równe.
Dokończyć zadania:
2. Wykazać, z·e funkcja
daje sie¾ zapisać jako ca÷
ka
( )=
1
lim
2 i "!0
Z1
d!
e
! + i"
1
Korzystajac
¾ z tej reprezentacji ca÷
kowej wykazać, z·e
d ( )
= ( ):
d
i!
:
3. Pokazać, z·e
(f (x)) =
X
xi
1
(xi )
jf 0 (xi )j
gdzie punkty xi sa¾ zerami funkcji f (x). Zastosować powyz·sze twierdzenie do
(x2
2
):
4. Rozwaz·yć czastk¾
¾ e o masie m poruszajac
¾ a¾ sie¾ w potencjale (V0 > 0):
V (x) =
V0 (x):
Znaleźć warunki dajace
¾ kwantyzacje¾ energii dla E < 0 (uwaga: warunki zszycia w
x = 0 sprowdzaja¾ sie¾ do ciag÷
¾ ości f. falowej i „skoku” pochodnej). Czy potencja÷
ten dopuscza istnienie stanów zwiazanych?
¾