Hamiltonowski opis kwarkow efektywnych w QCD

Hamiltonowski opis kwarków
efektywnych w QCD
Jakub Narebski
,
praca magisterska napisana pod kierunkiem
dra hab. Stanislawa Glazka
w Instytucie Fizyki Teoretycznej
Uniwersytetu Warszawskiego
Warszawa, 2000
Streszczenie
Wyrażamy w drugim rzedzie
rachunku zaburzeń hamiltonian QCD
,
w bazie czastek
efektywnych,
używaj
ac
,
, grupy renormalizacji przez
podobieństwo dla operatorów. Uzyskane cz astki
efektywne pozwala,
ja, opisywać hadrony jako stany zwiazane
kilku
kwarków.
Obliczamy
,
efektywne masy kwarków i oddzialywania mi edzy
nimi w przybliże,
niu nierelatywistycznym (dla cieżkich
kwarków).
Wykorzystuj
ac
,
, mechanizm redukcji przestrzeni Focka do sektora kwark–antykwark zaproponowany w pierwotnej wersji przez przez Perry’ego otrzymujemy logarytmiczny potencjal uwiezienia.
Ważna, role, pelni skracanie
,
sie, rozbieżności w obszarze malych p edów
pomiedzy
efektywnymi ma,
,
sami fermionów i potencjalem, zapewniaj ace
ograniczenie
przestrzeni
,
stanów fizycznych do stanów b ed
acych
singletami
kolorowymi.
Otrzy, ,
mujemy kolorowe sily van der Waalsa, których ilościowe porównanie
z danymi doświadczalnymi wymaga rozwi azania
dynamiki efektywnej,
,
co wychodzi poza zakres tej pracy.
Spis treści
1 Wstep
,
2 Metoda obliczeń
2.1 Hamiltonian kanoniczny QCD . . . . . . . . . . .
2.2 Regularyzacja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Kontrczlony . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4 Renormalizacja w podejściu Wilsona . . . . . . .
2.5 Renormalizacja przez podobieństwo dla macierzy
2.6 Renormalizacja przez podobieństwo dla czastek
.
,
2.7 Rodzaje wyrazów w transformacji podobieństwa .
3
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
3 Zastosowanie
3.1 Efektywny wyraz masowy dla fermionu . . . . . . . . . .
3.2 Efektywne oddzialywanie fermion–antyfermion . . . . . .
3.3 Potencjaly efektywne w przybliżeniu nierelatywistycznym
3.4 Problem uwiezienia
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
,
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
5
5
7
8
8
9
10
12
.
.
.
.
15
15
23
31
34
4 Fenomenologiczny model potencjalny i sily van der Waalsa 36
4.1 Fenomenologiczny model potencjalny . . . . . . . . . . . . . . 36
4.2 Kolorowe sily van der Waalsa . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
5 Podsumowanie
40
A Dodatki
A.1 Konwencje frontu świetlnego . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A.2 Rozwiazania
swobodnego równania Diraca na froncie świetlnym
,
A.3 Wlasności macierzy Diraca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
42
42
42
43
1. Wstep
,
1
3
Wstep
,
Praca ta dotyczy metody opisu hadronów za pomoca, kilku efektywnych
kwarków. Transformacje, do kwarków efektywnych oraz oddzialywania mie,
dzy nimi wyliczamy renormalizujac
hamiltonian
QCD
za
pomoc
a
transforma,
,
cji podobieństwa. Wyniki porównujemy z wlaściwościami fenomenologicznego
modelu potencjalnego.
Fundamentalna, teoria, oddzialywań silnych jest chromodynamika kwantowa (QCD), kwantowa teoria pola z nieabelowa, grupa, cechowania. Z niezmienniczości wzgledem
cechowania wynika, że gluony sa, w niej bezmasowe.
,
Ponieważ efektywna stala sprzeżenia
maleje wraz ze wzrostem przekazu p edu,
,
,
za pomoca, rachunku zaburzeń potrafimy opisywać procesy charakteryzuja,
ce sie, dużymi przekazami p edu.
Podstaw
a
opisu
hadronów
w
perturbacyjnej
,
,
QCD jest model partonowy, w którym hadrony opisuje sie, za pomoca, wielkiej ilości kwarków i gluonów. Wzrost stalej sprzeżenia
dla dużych odleglości
,
(rozmiary hadronu sa, duże) powoduje produkcje, par kwark–antykwark oraz
miekkich
gluonów, co wyklucza opis hadronów za pomoca, niewielkiej ilości
,
skladników w ramach kanonicznej QCD. Struktura próżni jest skomplikowana. Hadrony w QCD opisujemy jako skomplikowana, strukture, skladajac
, a, sie,
z wielu czastek.
,
W modelu kwarkowym hadrony opisywane sa, jako stany zwiazane
kilku
,
kwarków skladnikowych. Powstal on w celu wyjaśnienia systematyki hadronów, zanim powstala QCD, i posluguje sie, minimalna, ilościa, czastek
po,
trzebnych by opisać niskoenergetyczne wlasności hadronów. Kwarki w tym
modelu maja, duże masy, rzedu
polowy masy mezonów. Oddzialywania mie,
,
dzy kwarkami opisujemy za pomoca, danego ad hoc potencjalu, dobranego by
dać uwiezienie.
Strukture, kolorowa, potencjalu wybieramy zgodna, ze struktu,
ra, kolorowa, wymiany pojedynczego gluonu. Gluonów w tym modelu nie ma.
Przy ich uwzglednianiu
potrzeba nadać im wysokie masy efektywne. Model
,
ten opisuje bardzo dobrze zachowanie hadronów przy niskich energiach. Trudno jednak wprowadzać do niego poprawki kwantowe, gdyż brakuje mu polaczenia
z teoria, fundamentalna., Nie możemy stosować perturbacyjnej QCD
,
do opisu stanów zwiazanych,
gdyż przy malych energiach efektywna stala
,
sprzeżenia
staje
si
e
bardzo
duża.
Mówimy, że próżnia w tym modelu jest
,
,
trywialna, gdyż nie ma potrzeby uwzgledniania
efektów próżniowych.
,
Model kwarków konstytuentnych podpowiada nam, że opis za pomoca,
kilku czastek
jest w stanie dobrze opisywać wlaściwości hadronów. W QCD
,
hadrony opisujemy jako stany zwiazane
wielu czastek.
Musimy uwzglednić
,
,
,
w opisie wszystkie sektory Focka. Ponadto mamy skomplikowana, próżnie.
,
Trudno jest w takim opisie wyznaczać wlasności hadronów. Powstaje pytanie, jak to możliwe, że QCD redukuje sie, do modelu niewielu oddzialujacych
,
1. Wstep
,
4
czastek
efektywnych. Do wyprowadzenia czastek
efektywnych i oddzialywań
,
,
miedzy
nimi
w
QCD
b
edziemy
używać
grupy
renormalizacji
w nowym uje,
,
,
ciu [1].
Aby dostać prosty opis struktury hadronów, podobny do tego w modelu kwarków konstytuentnych, musimy odciać
, sie, od problemu próżni, by
mieć prosty stan podstawowy teorii. W tym celu stosujemy kwantyzacje, na
froncie świetlnym. Dzieki
temu, że podlużna skladowa p edu
jest nieujemna,
,
,
zaś próżnia musi mieć p ed
k+ > δ+
, calkowity równy zeru, proste obciecie
,
wycina diagramy próżniowe, czyniac
, próżnie, trywialna.
, Zależność teorii od
parametru δ obciecia
p edów
podlużnych może prowadzić do efektów, które
,
,
w normalnym sformulowaniu wiaże
, sie, z wlasnościami próżni.
Za zastosowaniem dynamiki na froncie świetlnym przemawia ponadto
fakt, że pchniecia
Lorentza w tym sformulowaniu sa, transformacjami ki,
nematycznymi, tzn. nie zależa, od oddzialywania. Dla modelu partonowego
naturalnym ukladem odniesienia jest uklad nieskończonego p edu,
który sto,
sujemy w rachunkach QCD. Z kolei statyczne wlasności hadronów zazwyczaj
rozważamy w ukladzie ich środka masy. Uklad środka masy jest naturalnym ukladem dla modelu kwarkowego. Niezmienniczość frontu świetlnego
wzgledem
pchnieć
opis w ukladzie środka masy z opisem
,
, pozwala polaczyć
,
w ukladzie nieskończonego p edu.
,
Naturalnym sposobem opisu stanów zwiazanych
jest ujecie
hamiltonow,
,
skie. Chcemy opisać hadrony przy pomocy niewielkiej ilości czastek.
Równa,
nie wlasne daje stany zawierajace
, nieskończona, liczb e, sektorów Focka, o dowolnych energiach kinetycznych. Rozwiazywanie
zagadnienia wlasnego gdy
,
hamiltonian laczy
wiele
stanów
o
dowolnych
różnicach
energii jest trudne.
,
Żadamy
wiec
efektywnych mial
,
, by hamiltonian wyrażony w bazie czastek
,
skończona, skale, energii. Macierz hamiltonianu w tej bazie powinna być wiec
,
przydiagonalna. Ponieważ zmiana bazy jest transformacja, unitarna,, wiec
, hamiltonian kanoniczny i hamiltonian efektywny powiazane
sa, ze soba, trans,
formacja, podobieństwa.
Wskutek eliminacji oddzialywań miedzy
stanami o dużo różniacych
sie,
,
,
energiach kinetycznych, w hamiltonianie pojawiaja, sie, nowe czlony oddzialywania typu oddzialywania potencjalnego. Jeśli szerokość macierzy hamiltonianu w bazie czastek
efektywnych jest dostatecznie mala, a czastki
prze,
,
noszace
oddzia
lywanie
s
a
masywne,
to
oddzia
lywanie
odbywa
si
e
g
lównie
za
,
,
,
pomoca, tych wlaśnie potencjalów.
W rozdziale pierwszym przedstawiamy metode, wyprowadzenia efektywnych czastek
i efektywnego hamiltonianu z hamiltonianu QCD. Aby dostać
,
skończone wyniki regularyzujemy hamiltonian i znajdujemy kontrczlony. Hamiltonian efektywny wyprowadzamy przez odcalkowanie równań różniczko-
2. Metoda obliczeń
5
wych dla grupy renormalizacji przez podobieństwo.
W rozdziale drugim stosujemy metode, z rozdzialu pierwszego do wyliczenia efektywnych oddzialywań miedzy
efektywnymi kwarkami w mezonie.
,
Dostajemy potencjal skladajacy
si
e
z
cz
eści
coulombowskiej oraz potencja,
,
,
lu wiaż
Potencjal wiaż
obliczony do drugiego rzedu
nie ma symetrii
, acego.
,
, acy
,
,
obrotowej, zaś dla dużych odleglości zachowuje sie, jak potencjal logarytmiczny. Ważna, role, odgrywa upraszczanie sie, rozbieżności podczerwonych miedzy
,
efektywnym wyrazem masowym dla fermionu, a potencjalem wiaż
acym.
, ,
Nastepnie,
w
rozdziale
trzecim
analizujemy
efektywne
potencja
ly wewnatrz
,
,
mezonów oraz oddzialywania van der Waalsa miedzy
dwoma mezonami.
,
Podsumowania wyników dokonujemy w rozdziale czwartym.
2
2.1
Metoda obliczeń
Hamiltonian kanoniczny QCD
Oprócz standardowej, równoczasowej formy dynamiki, gdzie ewoluujemy
stany od jednej podprzestrzeni ustalonego czasu do drugiej, można stosować dynamike, na froncie świetlnym. Potrzeb e, jej stosowania wyjaśniliśmy
we wstepie.
W dynamice na froncie świetlnym role, podprzestrzeni ustalone,
go czasu przejmuje powierzchnia styczna do stożka świetlnego, a role, czasu
pelni x+ = x0 +x3 . Ta forma dynamiki zostala wprowadzona przez Diraca [2],
omówienie jej znajdziemy także w przegladowej
pracy [3].
,
Z lagranżjanu QCD
1
/ − m)ψ
LQCD = − Gaµν Ga µν + ψ̄(iD
(2.1)
4
możemy wyprowadzić kanoniczny hamiltonian QCD w tym sformulowaniu
dynamiki. Używamy cechowania na froncie świetlnym, t.j. A+ ≡ 21 A− = 0,
gdzie A± = A0 ± A3 (z czego wynika, że ∂− A+ = 0). Równanie Diraca na
froncie świetlnym (patrz dodatek A.2) w tym cechowaniu pozwala wyrazić
dynamicznie zależne stopnie swobody przez niezależne zmienne, i wyeliminować je z hamiltonianu. Eliminacja zależnych stopni swobody prowadzi do
czlonów typu oddzialywania natychmiastowego. Zależne stopnie swobody dla
gluonów wyrażamy przez niezależne za pomoca, kolorowego analogu prawa
Gaussa.
Hamiltonian QCD na froncie świetlnym ma zatem postać
H = H0 + V1 + V2 + V3 + V4 ,
(2.2)
gdzie H0 oznacza cześć
swobodna, hamiltonianu, V1 oddzialywanie trójczast,
,
kowe, V2 wierzcholek czterogluonowy (teoria nieabelowa), V3 czlon z wymiana,
2.1. Hamiltonian kanoniczny QCD
6
natychmiastowego gluonu (eliminacja zależnych stopni swobody za pomoca,
równania Gaussa), zaś V4 to czlon powstaly z wyeliminowania zależnych stopni swobody fermionów.
Zgodnie z [3] można te czlony zapisać jako:
Z
2
1
m2 + (i∇⊥ )2
aµ (i∇⊥ )
a
ψ̃
+
Ã
Ã
(2.3a)
H0 =
d3 x ψ̄˜γ +
µ ,
2
i∂ +
i∂ +
Z
V1 = g d3 xJ˜aµ Ãaµ ,
(2.3b)
Z
g2
a
V2 =
d3 xB̃aµν B̃µν
,
(2.3c)
4
Z
1
g2
(2.3d)
V3 =
d3 xJ˜a+ + 2 J˜a+ ,
2
(i∂ )
Z
+
g2
3 ˜ µ a a γ
d xψ̄ γ T õ + (γ ν T b Ãbν ψ̃),
(2.3e)
V4 =
2
i∂
˜
gdzie prad
, J jest zdefiniowany jako
J˜aν = j̃aν + χ̃νa ,
j̃ ν = ψ̄˜γ ν T a ψ̃,
a
(2.4a)
(2.4b)
zaś B µν oraz χν dane sa, wzorami
Baµν = f abc Aµb Aνc ,
χνa = f abc ∂ ν Aνb Acν .
(2.5a)
(2.5b)
Dostaliśmy hamiltonian wyrażony za pomoca, operatorów pola. Rozpisujemy je zgodnie ze wzorami
XZ
ψ̃αcf (x) =
[ p ] b̃(p)uα (p, λ) e−ipx + d˜† (p)vα (p, λ) e+ipx ,
(2.6a)
λ
Ãaµ (x) =
XZ
λ
[ p ] ã(p)T a µ (p, λ) e−ipx + ㆠ(p)T a †µ (p, λ) e+ipx .
(2.6b)
Korzystajac
, z kanonicznych regul komutacyjnych wyrażamy hamiltonian
za pomoca, odpowiednich operatorów kreacji i anihilacji. Ma on bardzo skomplikowana, strukture.
wypisywać tylko te czlony w hamiltonianie,
, Bedziemy
,
które b ed
, a, nam potrzebne. Pelna, liste, wyrazów można znaleźć m.in. w [3].
2.2. Regularyzacja
2.2
7
Regularyzacja
Hamiltonian kanoniczny jest operatorem źle zdefiniowanym. Dzialajac
, na
stany z przestrzeni Hilberta, hamiltonian wyprowadza je z tej przestrzeni.
Objawia sie, to miedzy
innymi przy obliczaniu operatora ewolucji. Napoty,
kamy na problem już przy wyliczaniu przy H 2 , które okazuje sie, nieskończone. Zatem exp(−iHx+ /2) rozbiega. Przy obliczaniu wielkości fizycznych, np.
przy rozwiazywaniu
zagadnienia wlasnego pojawiaja, sie, nieskończoności wy,
nikajace
, z tego, że stany pośrednie moga, mieć dowolnie wysoka, energie.
, Nieskończoności pojawiaja, sie, także przy wyliczaniu efektywnego hamiltonianu.
Problem jest jeszcze poważniejszy niż nieskończony zakres energii oddzialywań: w golej, kanonicznej QCD oddzialywanie rośnie, gdy rośnie różnica
energii miedzy
oddzialujacymi
czastkami.
,
,
,
Potrzebne jest zatem wprowadzenie czynników regularyzujacych.
Aby
,
ograniczyć oddzialywania, żadamy
by
przekazy
p
edów
w
wierzcho
lkach
by
ly
,
,
ograniczone. Robimy to wprowadzajac
, wierzcholkowe czynniki regularyzuja,
ce zwiazane
z
operatorami
kreacji
i
anihilacji.
Dla
każdego
operatora
kreacji
i
,
anihilacji wprowadzamy czynnik ograniczajacy
p
ed
poprzeczny
albo
(co
wy,
,
godniejsze w obliczeniach) energie, czastki
w
danym
wierzcholku zwiazanej
z
,
,
tym operatorem. Zamiast czastek
swobodnych poslugujemy sie, zatem czast,
,
kami obcietymi”,
które
nie
oddzia
luja,, gdy energia stanu bioracego
udzial
,
,
”
w oddzialywaniu jest dużo wieksza
od arbitralnie ustalonej skali ∆.
,
Regulator powinniśmy wybrać tak, by dawal ograniczenie wylacznie
na
,
p edy
wzgledne.
Dzieki
temu nie naruszamy niezmienniczości dynamiki na
,
,
,
froncie świetlnym wzgledem
pchnieć.
Do celów regularyzacji nadfioletowej
,
,
użyjemy funkcji wykladniczej tlumiacej
oddzialywania dla wysokich energii.
,
Z każdym operatorem kreacji i anihilacji czastki
wchodzacej
do oddzialywania
,
,
zwiazujemy
energi
e”
określon
a
wzorem
,
,
,
”
κ2
(2.7)
ei = i ,
xi
gdzie κi oraz x oznaczaja, odpowiednie p edy
wzgledne
dla danego wierzcholka
,
,
oddzialywania. Wprowadzajac
postaci exp(−ei /∆2 )
, czynnik regularyzujacy
,
dostajemy dla wierzcholka, w którym czastki
1 i 2 zamieniaja, sie, z czastk
a, 3
,
,
(lub odwrotnie), czynniki postaci:
κ21
κ22
r∆ (12, 3) = exp −
exp −
x1 ∆
x2 ∆
(2.8)
2
κ12
1
M212
= exp −
= exp − 2
x(1 − x) ∆2
∆
2.3. Kontrczlony
8
Wprowadziliśmy tutaj oznaczenie na mase, niezmiennicza,
2
M212 = (p1 + p2 )2
, gdzie p−
i =
p⊥
i
p+
i
(2.9)
Ponieważ QCD jest teoria, z cechowaniem, zawierajac
bezmasowe,
, a, czastki
,
wiec
pojawiaj
a
si
e
rozbieżności
dla
ma
lych
p
edów
pod
lużnych.
Odwrotności
,
, ,
,
k + pojawiaja, sie, w wektorach polaryzacji gluonów oraz w czlonach oddzialywania natychmiastowego, powstalych z wyeliminowania niefizycznych stopni
swobody. Potrzebny jest zatem dodatkowy czynnik regularyzujacy.
,
Dla każdej czastki
wchodz
acej
do
oddzia
lywania
wprowadzamy
regulator
,
,
x1
x2
obcinajacy
p edy
podlużne, na przyklad w postaci Θ
−δ Θ
−δ
,
,
x3
x3
x1
p + x2
p+
2
dla wierzcholka typu 12 ↔ 3, gdzie
= 1+ ,
= +
oznaczaja, odpowiedx3
p 3 x3
p3
nie ulamki (frakcje) p edu
podlużnego (+) czastki
3.
,
,
2.3
Kontrczlony
Dzieki
wprowadzeniu regularyzacji otrzymujemy skończone wyniki. Jed,
nak aby zregularyzowany hamiltonian opisywal ta, sama, teorie, co hamiltonian
wyjściowy nie wystarczy samo wprowadzenie obcieć.
W wyniku eliminacji
,
stanów o energii wiekszej
niż ∆ w hamiltonianie zregularyzowanym pojawia,
ja, sie, kontrczlony: Heff = H∆ + X∆ . Wyznaczamy je przez żadanie,
by wyniki
,
fizyczne, np. elementy macierzowe hamiltonianu nie zależaly od regularyzacji.
2.4
Renormalizacja w podejściu Wilsona [4]
Zależność hamiltonianu od obciecia
(regularyzacji) możemy przeanalizo,
wać badajac
∆.
, co sie, dzieje przy zmianie parametru obciecia
,
Aby móc rozwiazać
problem
stanu
zwi
azanego
musimy
sprowadzić za,
,
gadnienie do zagadnienia niskich energii i niewielu czastek.
W tym celu mu,
simy umieć wyrażać wyjściowe zagadnienie w ten sposób, by energie cza,
stek/oddzialywań byly ograniczone.
Idea renormalizacji Wilsona polega na obniżaniu obciecia
od skali ∆ do
,
pewnej skończonej skali λ. Podejście to wiaże
si
e
z
eliminacj
a
stopni
swobody.
,
,
,
W procesie renormalizacji do hamiltonianu wprowadzane sa, efektywne oddzialywania kompensujace
zmiane, skali w ten sposób, że najniższe wartości
,
wlasne hamiltonianu efektywnego (obcietego)
sa, takie same jak hamiltonia,
nu pelnego. Transformacje, przeprowadzajac
, a, hamiltonian do hamiltonianu
efektywnego znajdujemy w rachunku zaburzeń. W pobliżu granicy energii
2.5. Renormalizacja przez podobieństwo dla macierzy
9
∆
λ
λ
R
−−−−−→
0
0
∆
@
@
S
−−−−→
0
@
@
λ @@
@
@
@
@
@
@
@
@
Rysunek 1: Porównanie renormalizacji Wilsona i renormalizacji przez podobieństwo
pojawia sie, problem malych mianowników energetycznych. Ponadto w kwantowej teorii pola mamy wysoka, degeneracje, stanów, wiec
, potrzebowalibyśmy
rachunku zaburzeń dla stanów zdegenerowanych, co wymaga rozwiazania
za,
gadnienia z uwzglednieniem
stanów wysokoenergetycznych. Metoda ta ma
,
zatem ograniczone zastosowania w kwantowej teorii pola.
2.5
Renormalizacja przez podobieństwo dla macierzy [5]
Musimy zatem zastosować inne podejście. Zamiast eliminować stany o energiach wiekszych
niż parametr λ, możemy zażadać,
by znikaly elementy macie,
,
rzowe hamiltonianu miedzy
stanami różniacymi
sie, bardziej niż λ energia, ki,
,
netyczna., Dostajemy macierz hamiltonianu, która ma znikajace
, wyrazy poza
elementami przydiagonalnymi. Postać ta ma te, zalete,
, że jest niewrażliwa na
obciecie
∆ w rachunku zaburzeń dla wartości wlasnych lub amplitud przej,
ścia aż do rzedu
n ∼ ∆/(2λ), ponieważ osiagni
ecie
skali ∆ wymaga wielu
,
,
,
oddzialywań.
Przy obliczaniu hamiltonianu efektywnego o szerokości λ nie eliminujemy
żadnych stopni swobody. Dobierajac
, odpowiednio czynnik podobieństwa możemy spowodować, że nie b edziemy
mieli problemów z malymi mianownikami
,
energetycznymi. W renormalizacji tej wyrażamy ten sam hamiltonian za po-
2.6. Renormalizacja przez podobieństwo dla cz astek
,
10
moca, innych stopni swobody. Hamiltonian waski
i hamiltonian wyjściowy sa,
,
wiec
powi
azane
ze
sob
a
transformacj
a
podobieństwa.
,
,
,
,
Kontrczlony w tym podejściu wyznaczamy, żadaj
ac,
,
, by elementy macierzowe hamiltonianu efektywnego Hλ byly niezależne od obciecia.
,
Ponieważ transformacje, podobieństwa wyliczamy zazwyczaj w rachunku zaburzeń, nie możemy uczynić szerokości hamiltonianu λ dowolnie mala.,
Przestrzeń stanów swobodnych i stanów b ed
ścislym rozwiazaniem
za, acych
,
,
gadnienia wlasnego sa, powiazane
zależnościa, nieperturbacyjna., Wiemy też,
,
że efektywna stala sprzeżenia
g
rośnie
w QCD, gdy λ → 0 i rachunek zabuλ
,
rzeń stosować można tylko dla λ wiekszych
niż pewna skala nieperturbacyjna.
,
2.6
Renormalizacja przez podobieństwo dla czastek
[1]
,
Metoda renormalizacji za pomoca, transformacji podobieństwa, ponieważ
podlega na wyrażaniu tego samego hamiltonianu w innej bazie stanów, pozwala nam zatem zdefiniować czastki
efektywne o skończonej szerokości”,
,
”
które moga, wymieniać p ed
, tylko ograniczony przez λ. Szerokość hamiltonianu w ujeciu
macierzowym przechodzi w odpowiedni czynnik wierzcholkowy
,
w hamiltonianie oddzialywania czastek
efektywnych.
,
Żadamy,
aby oddzialywania miedzy
czastkami
efektywnymi z wiekszym
,
,
,
,
przekazem energii kinetycznej niż λ byly zaniedbywalne. Dla każdego wierzcholka oddzialywania wprowadzamy czynnik, który nam to zapewnia. Przy
obliczaniu transformacji podobieństwa za pomoca, równania różniczkowego
grupy renormalizacji czynnik podobieństwa powinien być funkcja, gladka., Powinien on także zachowywać symetrie frontu świetlnego, wiec
, należy wyrazić
go za pomoca, niezmienników lorentzowskich. Aby w rachunku zaburzeń nie
pojawialy sie, male mianowniki energetyczne zarówno 1 − fλ , jak i dfλ /dλ
powinny zanikać szybciej niż liniowo w różnicy energii. W naszej pracy przyjmiemy czynnik podobieństwa dany przez czynnik wykladniczy zanikajacy
, jak
kwadrat różnicy mas inwariantnych czastek
przed i po oddzialywaniu [7]:
,
(M2uv − M2vu )2
fλ (u, v) = exp −
,
(2.10)
λ4
gdzie M2uv oznacza mase, niezmiennicza, ukladu czastek
u bioracych
udzial w
,
,
oddzialywaniu z ukladem czastek
v:
,
X 2
2
Muv =
(2.11)
ki .
i∈u(v)
Dla skrócenia zapisu b edziemy
pisali uv = M2uv − M2vu , oraz wprowadzimy
,
fuv jako oznaczanie na fλ (u, v)
2.6. Renormalizacja przez podobieństwo dla cz astek
,
11
W renormalizacji za pomoca, transformacji podobieństwa zakladamy, że
czastki
efektywne maja, te same liczby kwantowe co czastki
gole” (wystepu,
,
,
”
jace
w
hamiltonianie
wyjściowym).
Za
lożenie
to
oparte
jest
na
tym,
że
kwarki
,
w lagranżjanie QCD i kwarki w modelu kwarków skladnikowych sa, opisane
przez te same liczby kwantowe.
Transformacja podobieństwa zmienia operatory kreacji i anihilacji golych
czastek
w operatory kreacji i anihilacji czastek
efektywnych odpowiadajacych
,
,
,
szerokości λ (t.j. oddzialujacych
ze
sob
a
tylko
dla
różnic
energii
mniejszych
,
,
od λ). Mamy
qλ = Uλ q∞ Uλ† ,
(2.12)
gdzie q oznacza odpowiedni operator kreacji lub anihilacji. Transformacja Uλ ,
jako operacja zmiany bazy, jest unitarna z konstrukcji.
Przepisanie hamiltonianu za pomoca, innych stopni swobody nie zmienia
go, zatem hamiltoniany wyjściowy (wyrażony za pomoca, czastek
golych),
,
i hamiltonian waski”
(wyrażony za pomoca, czastek
efektywnych) sa, sobie
,
” ,
równe jako operatory: Hλ (qλ ) = H∞ (q∞ ). Zakladajac,
ze
hamiltonian zawiera
,
tylko skończone iloczyny operatorów kreacji i anihilacji, możemy wprowadzić
operator Hλ ≡ Hλ (qλ ) = Uλ† H∞ (q∞ )Uλ , który ma takie same wspólczynniki
przed iloczynami q∞ , jak Hλ przed iloczynami qλ . Różniczkujac
, wyrażenie na
Hλ dostajemy
d
H λ = − Tλ , H λ ,
dλ
d
Tλ = Uλ† Uλ .
dλ
(2.13a)
(2.13b)
Hamiltonian efektywny dany jest przez cześć
diagonalna, pewnego ope,
ratora Gλ tzn. Hλ = Fλ [Gλ ]. Operator Fλ odpowiedzialny jest za to, by
hamiltonian Hλ byl waski.
Wprowadza on odpowiedni czynnik podobieństwa
,
do operatora Gλ . Jego dzialanie dane jest wzorem Fλ [Gλ ]uv = fuv guv , gdzie
fuv jest dane wzorem (2.10).
Wprowadzamy oznaczenie Gλ = Uλ† Gλ Uλ , i analogiczne dla innych operatorów. Równanie na operator Tλ , generujacy
transformacje, podobieństwa,
,
zapisuje sie, nastepuj
aco:
,
,
d
(1 − Fλ )[Gλ ]
Tλ , H0λ =
dλ
(2.14)
Struktura komutatorowa zapewnia, że hamiltonian efektywny zawiera tylko
oddzialywania polaczone,
spelniajac
,
, warunek rozkladu gronowego [1].
2.7. Rodzaje wyrazów w transformacji podobieństwa
12
Dzielimy operator Gλ na dwie cześci:
cześć
swobodna”
oddzialy,
,
, i cześć
,
”
wania. Gλ = G0 + GIλ . GIλ spelnia nastepuj
ace
równanie
różniczkowe
,
,
"
#
d
d
GIλ = f GIλ ,
(1 − f )GIλ
(2.15)
dλ
dλ
G0
gdzie wprowadziliśmy oznaczenie
A = {B}C
⇐⇒
[A, C] = B
(2.16)
Hamiltonian efektywny liczymy w rachunku zaburzeń. Zapisujemy GIλ
jako
∞
X
GI =
τn
(2.17)
n=1
gdzie τn oznacza wszystkie operatory rzedu
n w wybranej stalej sprzeżenia,
,
,
po
rz
edzie
w raw GI . Z równania (2.15) dostajemy wyrażenie na GIλ rzad
,
,
chunku zaburzeń:
τ10 = 0,
τ20 = {f 0 τ1 }, f τ1 ,
...
τn0
n−1
X
=
τk , {(1 − f )τn−k }0 .
(2.18a)
(2.18b)
(2.18c)
k=1
Pierwsze równanie (2.18a) oznacza, że τ1 jest niezależne od λ, zatem
τλ1 = τ∞1 . Zatem wyrazy pierwszego rzedu
w hamiltonianie efektywnym
,
dostajemy mnożac
odpowiednie
wyrazy
w
hamiltonianie
wyjściowym przez
,
czynnik podobieństwa i zastepuj
ac
go,
, operatory kreacji i anihilacji czastek
,
lych przez efektywne.
2.7
Rodzaje wyrazów w transformacji podobieństwa
Ponieważ interesować nas b ed
, a, glównie oddzialywania w sektorze kwark
– antykwark, które sa, dosyć zlożone, wprowadzamy wiec
, pewien sposób oznaczania czlonów w hamiltonianie. W wyniku stosowania procedury renormalizacji, w hamiltonianie powstaja, nowe czlony w stosunku do hamiltonianu
wyjściowego. Dla uproszczenia b edziemy
oznaczać je w sposób dobrze zi,
(2)
lustrowany przykladem: f121,301 b edzie
oznaczać czlon 2–go rzedu
w stalej
,
,
sprzeżenia,
z
1
operatorem
kreacji
fermionu,
2
operatorami
kreacji
antyfer,
mionu, 1 operatorem kreacji gluonu. Liczby na prawo od przecinka oznaczaja,
2.7. Rodzaje wyrazów w transformacji podobieństwa
13
liczb e, operatorów anihilacji, w tym samym porzadku,
tzn. 3 anihilatory fer,
mionowe, 0 antyfermionowych i 1 bozonu cechowania.
Rozważany przez nas hamiltonian QCD ma skomplikowana, strukture.
,
Podzielmy go na cześci
dzia
laj
ace
w
określonych
sektorach
Focka
,
,
H = H0 + Hqgg + Hqqqq + . . . ,
gdzie (pamietaj
ac
,
, o czlonach oddzialywania natychmiastowego powstalych z
eliminacji zależnych stopni swobody)
H0 = H100,100 + H010,010 + H001,001
Hqgg = H101,100 + H100,101 +
+ H011,010 + H010,011 +
+ H001,110 + H110,001
Hqqqq = H200,200 + H020,020 + H110,110
Podobny podzial (ze wzgledu
na liczb e, operatorów kreacji i anihilacji)
,
możemy wprowadzić w operatorach τi . Należy pamietać
o tym, że obliczenie
,
τ2 b edzie
wymagalo obliczenia kontrczlonów. Interesujace
nas czynniki w τ1
,
,
i τ2 maja, strukture,
τ1 = α101,100 + α100,101 + α011,010 + α010,011 + . . .
τ2 = β200,200 + β020,020 + β110,110 + β100,100 + β010,010 + . . .
(2.19a)
(2.19b)
gdzie przez α oznaczyliśmy czlony pierwszego rzedu
stojace
,
, przy odpowiednich operatorach, zaś przez β odpowiednie czlony drugiego rzedu.
,
Równania (2.18) i struktura hamiltonianu QCD implikuja,, że
0
β200,200
= f2 [α100,101 α101,100 ]200,200
(2.20a)
0
β020,020
= f2 [α010,011 α011,010 ]020,020
(2.20b)
0
β110,110
= f2 [α110,001 α001,110 +
0
β100,100
+ α100,101 α011,010 +
+ α010,011 α101,100 ]110,110
= f2 [α100,101 α101,100 ]100,100
(2.20d)
0
β010,010
= f2 [α010,011 α011,010 ]010,010
(2.20e)
(2.20c)
Nawiasy kwadratowe oznaczaja, zastapienie
odpowiednich iloczynów ai a†j
,
nawiasie kwadraprzez komutatory [ai , a†j ]. Indeks dolny przy zamykajacym
,
towym oznacza, że bierzemy tylko czlony odpowiedniej postaci, t.j. o określonej ilości operatorów danego rodzaju. Czynnik f2 , pojawiajacy
sie, pod calka,
,
2.7. Rodzaje wyrazów w transformacji podobieństwa
14
po p edach,
pochodzi od funkcji podobieństwa i wynosi
,
f2 = {f 0 }f − f {f 0 },
0
0
fuπ fπv
fuπ fπv
f2 uv =
+
.
Eπ − E u Eπ − E v
(2.21)
gdzie π oznacza stan pośredni, zaś f 0 pochodna, po parametrze λ.
Czynnik f2 jest jedynym czynnikiem zależnym od λ po prawej stronie
równań (2.20). Możemy zatem w prosty sposób odcalkować te równania po
parametrze λ. Uwzgledniaj
ac
g oraz rzedu
g 2 o od,
, wszystkie czynniki rzedu
,
,
powiedniej strukturze w wyjściowym hamiltonianie (wlaczaj
ac
,
, w to czlony
natychmiastowe) dostajemy nastepuj
ace
,
, rozwiazania:
,
βλ200,200 = Fλ2 [α100,101 α101,100 ]200,200 + β∞200,200
βλ020,020 = Fλ2 [α010,011 α011,010 ]020,020 + β∞020,020
βλ110,110 = Fλ2 [α110,001 α001,110 +
+ α100,101 α011,010 +
+ α010,011 α101,100 ]110,110 + β∞110,110
βλ100,100 = Fλ2 [α100,101 α101,100 ]100,100 + β∞100,100 + x∞100,100
βλ010,010 = Fλ2 [α010,011 α011,010 ]010,010 + β∞010,010 + x∞100,100
(2.22a)
(2.22b)
(2.22c)
(2.22d)
(2.22e)
gdzie przez x∞100,100 oznaczyliśmy odpowiednie kontrczlony.
Rλ
Potrzebujemy zatem wyliczyć ile wynosi czynnik F2λ = ∞ f2 , który nazywamy wewnetrznym
czynnikiem podobieństwa. Zgodnie ze wzorem (2.21)
,
na f2 , oraz definicja, funkcji podobieństwa (2.10), czynnik F2λ dany jest przez
nastepuj
ace
,
, wyrażenie [7].
+
Pba
ba + Pbc+ bc
F2λ (a, b, c) =
(fλ (a, b)fλ (b, c) − 1) ,
(ba)2 + (bc)2
(2.23)
gdzie argumenty a, b, c oznaczaja, kolejne konfiguracje p edu
pojawiajace
,
, sie,
w nawiasach w wyrażeniu (2.20). Konfiguracja b odpowiada konfiguracji po+
średniej. Wprowadziliśmy oznaczenie Puv
na p ed–rodzica
dla calej polaczo,
,
nej sekwencji oddzialywań miedzy
uk
ladami
u
i
v
(sum
e
p
edów
wszystkich
,
, ,
czastek
bioracych
udzial w oddzialywaniu podzielona, przez 2). Symbole ba
,
,
oznaczaja, odpowiednie różnice mas inwariantnych, jak w oznaczeniach we
wzorze (2.10) na fba .
3. Zastosowanie
3
15
Zastosowanie: opis cieżkich
mezonów przy
,
pomocy kwarków efektywnych
Zastosujmy teraz powyższa, metode, do hamiltonianu QCD, podanego w
mezonu oraz
rozdziale 2.1. Interesować nas b ed
, a, oddzialywania wewnatrz
,
miedzy
dwoma mezonami. Potrzebna nam wiec
postać oddzialywania
,
, b edzie
,
w sektorze dwuczastkowym
(kwark
–
antykwark),
a
dla
wyliczania oddzia,
lywań van der Waalsa w sektorze dwumezonowym. Możemy zatem pominać
tzn.
, wszelkie czlony z gluonami w stanie końcowym lub poczatkowym,
,
wszystkie wyrażenia z operatorami kreacji badź
anihilacji
gluonu.
,
3.1
Efektywny wyraz masowy dla fermionu
Jednym z ważnych wyrazów w hamiltonianie, istotnym dla struktury mezonów, jest wyraz masowy dla kwarków. Obok czlonu pochodzacego
z ha,
miltonianu swobodnego, pojawia sie, czlon uwzgledniaj
acy
efekty wyelimino,
,
wania oddzialywań miedzy
cz
astkami
o
różnicy
energii
wi
ekszej
niż λ. Przy
,
,
,
renormalizacji wyrazu masowego pojawia sie, potrzeba uwzglednienia
kontr,
czlonu, gdyż te efekty sa, czule na regularyzacje, wyjściowego hamiltonianu.
k2 ; 1 − x
p2
p1
k1 ; x
Rysunek 2: Kinematyka dla poprawki do masy fermionu
Oznaczmy przez k1 odpowiedni p ed
, fermionu, zaś przez k2 p ed
, gluonu.
Z zasady zachowania p edu
dostajemy, że
,
p1 + p2 = k1 + k2 := P
dla skladowych + i ⊥
Możemy zatem p edy
k1 i k2 rozpisać za pomoca, p edów
wzglednych
(p edów
,
,
,
,
3.1. Efektywny wyraz masowy dla fermionu
16
Jacobiego na froncie świetlnym):
k1+ = xP + ,
(3.1a)
k1⊥ = κ⊥ + xP ⊥ ;
(3.1b)
k2+ = (1 − x)P + ,
k1⊥
⊥
(3.1c)
⊥
= −κ + (1 − x)P ,
(3.1d)
Niezmienniczość wzgledem
pchnieć
,
, Lorentza pozwala nam polożyć w tych
⊥
wzorach P = 0, nie zmniejszajac
, ogólności rozumowania.
Zewnetrzny
czynnik
podobieństwa
fac dla wyrazu masowego w efektyw,
nym hamiltonianie jest tożsamościowo równy 1 z powodu zachowania p edu.
,
Pozostaje wiec
czynnik podobieństwa.
, obliczyć wewnetrzny
,
a
b
c
Rysunek 3: Energia wlasna fermionu
Dzieki
temu, że konfiguracje poczatkowa
i końcowa sa, identyczne, może,
,
my w prosty sposób znaleźć wewnetrzny
czynnik
podobieństwa dla czlonu
,
masowego. Nie potrzebujemy korzystać z ogólnego wzoru na Fλ . Ze wzoru
na transformacje, podobieństwa
"
#
d
d
GIλ = f GIλ ,
(1 − f )GIλ
(3.2)
dλ
dλ
G0
dostajemy nastepuj
acy
wzór na wyrazy drugiego rzedu
w GI :
,
,
,
τ20 = {f 0 τ1 }, f τ1
(3.3)
(gdzie τ2 jest wyrazem drugiego rzedu
w GI , zgodnie ze wzorem (2.17)).
,
Dla wyrazu drugiego rzedu
b
ed
acego
poprawka, do masy fermionu, zauwa,
, ,
3.1. Efektywny wyraz masowy dla fermionu
17
żajac
, że stany wejściowy i wyjściowy sa, takie same, dostajemy
0
β100,100
= {f 0 τ1 }, f τ1 100,100 = {f 0 }f − f {f 0 } [α100,101 α101,100 ]100,100 =
= (f 2 )0 {}1 − 1{} [α100,101 α101,100 ]100,100 =
1
1
2 0
= (f )
1−1
[α100,101 α101,100 ]100,100 =
Ek − E i
Ei − E k
2[α100,101 α101,100 ]100,100
= (f 2 )0
Ek − E i
(3.4)
Ponieważ wyrazy pierwszego rzedu
τ1 nie zależa, od λ, a zależa, od niej
,
tylko funkcje fab , zatem możemy latwo odcalkować to równanie różniczkowe
na mase, efektywna,
βλ 100,100 = β∞ 100,100 +
Z
λ
ds 2(fs2 )0
∞
= β∞ 100,100 + 2(fλ2 − 1)
Mba − Mab
=
(3.5)
Mba − Mab
Z faktu iż stany końcowy i poczatkowy
sa, identyczne wynika, że ba = bc
,
(patrz oznaczenia z rysunku 3). Obliczmy różnice, mas inwariantnych ba dla
tego przypadku:
ba = (k1 + k2 )2 − p21 = (k1 + k2 − p1 )− p+
1
2
2
2
κ⊥
κ +m
P + − m2
= ⊥ + +
xP
(1 − x)P +
−
Skorzystaliśmy tutaj z tego, że k1+,⊥ + k2+,⊥ = p+,⊥
1 , oraz ze wzoru, że p =
2 +m2
k⊥
.
k+
3.1. Efektywny wyraz masowy dla fermionu
18
Możemy ten wzór zapisać w innej postaci:
2
κ2⊥
κ⊥ + m 2
κ2⊥
m2
− m2 =
+
+
− m2 =
x
(1 − x)
x(1 − x)
x
2
m2 (1 − x)
κ⊥
+
=
x(1 − x)
x
Oznaczmy mase, niezmiennicza, stanu pośredniego zlożonego z fermionu
κ2 +m2
2
i gluonu (k1 + k2 )− p+
1 = x(1−x) jako M . Wypiszmy za jej pomoca, funkcje,
podobieństwa dla czlonu masowego:
(ab)2
(M2 − m2 )2
fab = exp − 4
= exp −
(3.6)
λ
λ4
Czlon dajacy
wklad do masy efektywnej dany jest wzorem
,
Z
G1,1 = [ P ] β100,100 b†P bP + d†P dP
Czynnik β100,100 otrzymujemy w nastepuj
acej
postaci
,
,
Z
k 2 + m2 G1,1 = [ k ] ⊥ + λ b†k bk + d†k dk .
k
Wspólczynnik β100,100 spelnia równanie grupy renormalizacji (3.4). Zapiszmy równanie na G1,1 korzystajac
, z równania na β100,100 i oznaczajac
, kontr(2)
czlon (calke, z β∞100,100 ) przez X1,1 (k):
Z
Z
†
G1,1 = [ p1 p2 ] ap1 ap2 [ k1 k2 ] δ̄(p1 − k1 − k2 )δ̄(k1 + k2 − p1 )×
2
− 1) X ∗a
2g 2 (fab
ū/ε1 u2 ū2 /εa1 u r∆ (ab)r∆ (bc)rδ2 +
−
−
−
k1 + k 2 − p 1 σ σ
1 2
Z
(2)
+ [ k ] X1,1 (k)a†k ak =
Z
Z
1 2(f 2 − 1)
1 †
= [ P ] + aP aP g 2 [ xκ ] + − ab −
×
P
P k1 + k 2 − p −
1
X
2 2
(2)
∗a
a
+
×
ū/εσ (k/1 + m)/εσ u r∆ rδ + P X1,1 (P )
×
σ
Obliczajac
P = p1 = p2 , wyrażajac
, G1,1 skorzystaliśmy z zachowania p edu
,
,
p edy
za
pomoc
a
p
edów
wzgl
ednych
(p
edów
Jacobiego),
oraz
skorzystaliśmy
,
, ,
,
,
P
ze wzoru spin uū = p/ + m.
3.1. Efektywny wyraz masowy dla fermionu
19
Zatem z postaci G1,1 widzimy, że zrenormalizowana masa fermionu dana
jest wzorem:
XZ
exp [−2(M2 − m2 )2 /λ4 ] − 1 2 2 ∗ a
2
2
2
r∆ rδ ū/ε (k/1 + m)/εa u
mλ = m ∞ + g
[ xκ ]
2
2
M −m
a
gdzie m2∞ (wyraz dla λ równego nieskończoności) zawiera kontrczlon masowy.
Suma po polaryzacjach gluonów daje znane wyrażenie
X
ς
µ
∗ν
(k, ς) (k, ς) = −g
µν
k µ g +ν + g +µ k ν
,
+
k+
(3.7)
zaś czynnik spinorowy wynosi
"
k α g +β + g +α k2β
ūmσp γα (k/ 1m + m) γβ umσp −g αβ + 2
k2+
2
2
2 2
2 1+x
(1 − x) m + κ
=
.
x
(1 − x)2
#
(3.8)
Korzystajac
ace
, z tych wzorów dostajemy nastepuj
,
, równanie na efektywna,
mase, fermionu
Z
g 2 C2 (F )
dx d2κ⊥ exp −2(M2 − m2 )2 /λ4 − 1
2
2
mλ = m ∞ +
2(2π)3
x(1 − x)
M2 − m 2
(3.9)
2
2
2 2
2 1+x
2 2
r r
×
(1 − x) m + κ
x
(1 − x)2 ∆ δ
a
gdzie δij C2 (F ) = Tika Tkj
) jest odpowiednim operatorem Casimira. Bedziemy
,
go oznaczać dla skrócenia zapisu przez CF ≡ C2 (F ). Niech m2λ = m2 +δm2∞ +
δm2λ .
Zakladajac
, regularyzacje, nadfioletowa, za pomoca, czynnika (2.8), oraz
przeprowadzajac
, odpowiednia, zamiane, zmiennych, dostajemy, że calka ta
dzieli sie, na dwie cześci:
jedna, gdzie odcalkowujemy funkcje, typu e−z i druga,
,
gdzie mamy calke, typu z1 e−z .
Rozpatrzmy najpierw przypadek masy fermionu równej zero, dla której
wszystkie calki daje sie, wykonać analitycznie. Dzieki
, rozpatrzeniu tego przypadku poznamy strukture, czlonu masowego. Dostajemy nastepuj
ace
,
, równanie na poprawke, do wyrazu masowego
h 2 i2.
2κ
Z
λ4 − 1
2κ2
g 2 CF
d2κ dx exp x(1−x)
κ2
1 + x2 − x(1−x)
2
∆2 r 2
δmλ =
e
2
δ
κ
3
2(2π) x(1 − x)
x(1 − x) (1 − x)
x(1−x)
(3.10)
3.1. Efektywny wyraz masowy dla fermionu
20
Obliczmy najpierw cześć
, nie zawierajac
, a, czynnika podobieństwa, t.j. cześć
,
z 1, pochodzac
a
od
λ
=
∞.
Zamieniaj
ac
, ,
, zmienne na biegunowe, a nastepnie
,
podstawiajac
,
κ2
,
(3.11)
z=
x(1 − x)
i odcalkowujac
, po z dostajemy:
δm2λ
α s C F ∆2
=
2π 4
Z
1
dx
0
1 + x2 2
r ,
1−x δ
(3.12)
gdzie αs = g 2 /4π.
Widać wiec,
, że calka jest nieokreślona dla x → 1. Dlatego wyjściowy hamiltonian wymagal regularyzacji w obszarze malych x–ów. W najprostszym
przypadku regularyzacji przez obciecie,
przy pomocy czynnika regularyzuja,
,
cego w postaci rδ (x) = Θ(δ − x), dostajemy wyrażenie
Z
α s C F ∆2
1 3
αs CF ∆2 1−δ 1 + x2
2
dx
=
(3.13)
ln − + . . .
δmλ =
2π 4 0
1−x
2π 2
δ 4
gdzie polożyliśmy równe zero te wyrazy, które maja, granice, 0 przy δ → 0.
Wynik (3.13) zależy od parametru ∆, nie zależy zaś od szerokości λ. Jest wiec
,
usuwany przez kontrczlon. Widzimy tutaj mieszanie rozbieżności nadfioletowej (tylko kwadratowa dla czastek
bezmasowych) oraz rozbieżności malych
,
x–ów.
Dla skladnika z czynnikiem podobieństwa dostajemy
Z ∞
Z
1 + x2 2
αs C F 1
2
4
2
2
dz e−2z /λ e−2z/∆ =
dx
rδ (1 − x)
δmλ =
4π 0
1−x
0
r (3.14)
Z
1
αs CF 12 λ42
1
λ2 π
1 + x2 2
=
1 − erf 2
e ∆
r (1 − x)
dx
4π
1−x δ
2 2
∆
0
Czlon ten ma skończona, granice, przy ∆ → ∞. W tej granicy dostajemy:
√ 1 3
α s C F λ2 π
2
2
√
mλ = m ∞ +
ln −
(3.15)
2π 2 2
δ 4
Widzimy ponadto, że czlon ten zależy od szerokości energetycznej λ, a jednocześnie jest rozbieżny dla malych x–ów. Zatem podanie postaci kontrczlonu
nie jest proste. Efektywna masa fermionu zawierać b edzie
rozbieżności pod,
czerwone, gdyż nie da sie, usunać
, kontrczlonem (który zależeć może tylko od
∆ i δ) zależności od δ, b ed
acej
jednocześnie nietrywialna, funkcja, λ.
, ,
3.1. Efektywny wyraz masowy dla fermionu
21
Zobaczmy, jak wyglada
czlon z 1 w ogólnym przypadku masy fermionu
,
różnej od zera. Mamy
M2 − m 2 =
κ2
m2
+
− m2
x(1 − x)
x
(3.16)
Wprowadzamy oznaczenie
M (x) =
m2 (1 − x)
x
Dostajemy po zamianie zmiennych jak w (3.11), że calkowanie rozpada sie,
na dwie cześci.
Pierwsza z nich, postaci
,
Z 1 Z ∞
2πm2
A(x)
2
e−2z/∆
gdzie A(x) =
(3.17)
dx
dz
z + M (x)
2(2π)3
0
0
daje rozbieżność logarytmiczna, w ∆ oraz czlon skończony, ale nie zawiera
rozbieżności malych x–ów. Druga, takiej samej postaci jak dla przypadku
z masa, fermionu równa, zero, jest kwadratowa w ∆, i zawiera rozbieżność
malych x–ów.
Zatem dostajemy czlon z nadfioletowa, rozbieżnościa, logarytmiczna, (plus
wyrazy skończone), ale bez rozbieżności malych x–ów, oraz czlon rozbieżny
kwadratowo w ∆, b ed
jednocześnie rozbieżnym podczerwono. Skladniki
, acy
,
te usuwane sa, przez odpowiedni kontrczlon.
Dla pelnego wyznaczenia kontrczlonu nadfioletowego, usuwajacego
zależ,
ność od regularyzacji r∆ , żadajmy,
by dla szerokości λ = λ0 efektywna masa
,
ozn
kwarku miala zadana, wartość, równa, m2λ0 = m20 . Wartość m20 ustalimy tak,
jak należaloby to zrobić w QED.
Widzimy, że obliczajac
, wyraz masowy dla kwarków w hamiltonianie efekprostopadlych (dutywnym Hλδ , napotykamy na rozbieżności dużych p edów
,
żych energii wlasnych), oraz na rozbieżności malych p edów
podlużnych. Roz,
bieżności nadfioletowe usuwamy za pomoca, kontrczlonu. Rozbieżności malych
x–ów, charakterystyczne dla bozonów cechowania, nie daja, sie, usunać
, w prosty sposób, gdyż czynnik rozbieżny zależy od szerokości λ. Nawet gdybyśmy
dobrali kontrczlon w taki sposób, by m20 bylo wolne od rozbieżności malych
x–ów, to dla innych wielkości parametru λ nadal mielibyśmy rozbieżności.
Popatrzmy na przypadek elektrodynamiki kwantowej. W QED ustalamy
wartość m20 rozwiazuj
ac
,
, zagadnienie wlasne dla hamiltonianu efektywnego
przy skali λ0 dla swobodnego elektronu
p2 + m̃2 Hλeff0 e(p) = ⊥ + e(p) ,
p
(3.18)
3.1. Efektywny wyraz masowy dla fermionu
22
gdzie m̃ oznacza skończona,, fizyczna, mase, elektronu, nie zawierajac
, a, rozbieżności.
Wyprowadzajac
istnienie in, hamiltonian efektywny musimy uwzglednić
,
nych sektorów Focka poza jednoelektronowym. Robimy to za pomoca, transformacji R Blocha, podanej przez Wilsona. Transformacje, R, sprowadzaja,
ca, równanie wlasne do sektora jednego elektronu (eliminujac
a
inne
sektory
, ,
Focka, z efektywnymi elektronami, pozytonami i fotonami) wyliczamy w rachunku zaburzeń. W drugim rzedzie
(dla dostatecznie malego λ0 ) jedynym
,
dodatkowym sektorem, który daje wklad do problemu jednoelektronowego,
jest sektor z dodatkowym fotonem. Obliczamy hamiltonian efektywny ze wzoru
1
1
Heff = √
(P + R† )Hλ (P + R) √
(3.19)
†
P +R R
P + R† R
w którym P jest operatorem rzutowym na stany o jednym elektronie efektywnym, a operator R wyliczamy z równania
[R, H0 ] = QHI P + QHI R − RHI P − RH R.
(3.20)
Dominujacym
wyrazem (najniższego rzedu)
jest wyraz QHI P .
,
,
W rachunku zaburzeń do drugiego rzedu
w stalej sprzeżenia
dostajemy
,
,
nastepuj
ac
,
, a, postać równania wlasnego dla elektronu (wyrażajac
, hamiltonian
modelowy za pomoca, operacji R i piszac
H
=
AH
B).
AB
,
1
p2⊥ + m̃2 e(p) + HP Q
e(p)
e(p)
=
H
H
P
P
QP
p+
H0 − HQQ
2 2
p +m
1
λ0
λ0
e(p)
= ⊥ + λ0 e(p) − H100,101
H101,100
λ
0
p
H101,101 − H0
(3.21)
Ponieważ masa elektronu, jako wielkość fizyczna, jest skończona, wi ec
, rozbieżności w masie efektywnej musza, sie, kasować z nieskończonościami pochodzacymi
z redukcji przestrzeni stanów do sektora jednoelektronowego. Nie,
skończoności te pochodza, z oddzialywania z niskoenergetycznymi (miekkimi)
,
fotonami.
Możemy zastosować taki sam schemat w celu zaproponowania nadfioletowo skończonej cześci
kontrczlonu dla wyrazu masowego dla kwarku efektyw,
nego w QCD. Tym razem jednak rozpatrywane zagadnienie jest fikcyjne, nie
wystepuj
a, bowiem swobodne kwarki. Dobrze przeprowadzone postepowanie
,
,
musi ten fakt wyjaśnić. Jak dla QED, musimy rozważyć obecność dodatkowych sektorów. Ale w przeciwieństwie do QED, chromodynamika kwantowa
3.2. Efektywne oddzialywanie fermion–antyfermion
23
jest teoria, z cechowaniem nieabelowym. Duża efektywna stala sprzeżenia
po,
trzebna w opisie hadronów (asymptotyczna swoboda) powoduje, że nie możemy stosować rachunku zaburzeń do wyliczania operacji R. Jest to zatem
procedura, która proponuje postać kontrczlonu a la QED, i dopiero analiza problemu wlasnego Hλ powie nam, do jakich konsekwencji prowadzi ten
wybór. W oryginalnym podejściu Perry’ego [8, 9] podobny wybór skończonej cześci
kontrczlonu byl oparty na argumencie, że odpowiadajaca
mu masa
,
,
efektywna rozwiazuje
równanie grupy renormalizacji, co oczywiście jest i tu,
taj prawdziwe w rachunku zaburzeń [1].
Musimy jeszcze powiedzieć, jakiej wielkości powinien być parametr m̃.
Mówimy, że jest to masa konstytuentna (dana w przybliżeniu przez model
kwarków konstytuentnych).
Ostatecznie przy skali λ0 dostajemy nastepuj
acy
wzór na wartość wyrazu
,
,
masowego (zgodnie z (3.21)):
Z
Z
dx
αs C F )
2
2
m0 = m̃ +
dz
4π
x(1 − x)
(M2 − m2 )2
1
(M2 − m2 )2
× exp −
exp −
(3.22)
λ40
M2 − m 2
λ40
2
2
2 2
2 1+x
r2 ,
×
(1 − x) m + κ
x
(1 − x)2 δ
gdzie pomineliśmy
czlon regularyzujacy
zachowanie dla dużych p edów,
gdyż
,
,
,
dla skończonego λ calka jest skończona nadfioletowo. Usuneliśmy
zatem w ten
,
sposób zależność wyrazu masowego od regularyzacji r∆ .
3.2
Efektywne oddzialywanie fermion–antyfermion
Do rozważania struktury mezonów oraz oddzialywań van der Waalsa mi e,
dzy mezonami potrzebna jest nam znajomość postaci oddzialywania kwark–
antykwark (oraz, analogiczne, kwark–kwark) w hamiltonianie efektywnym.
Wprowadźmy nastepuj
ace
poprzecznych: oznaczmy
,
, oznaczenia dla p edów
,
⊥
p ed
prostopad
ly
dla
p
edów
o
indeksie
1
przez
κ
,
zaś
dla p edów
o indeksie
,
,
,
⊥
2 przez ρ . Pedy
p1 , p2 oraz q1 , q2 sa, p edami
na powloce masy, zaś p ed
,
,
, k̃ jest
p edem
wirtualnego
bozonu
cechowania
(gluonu).
,
+
+
+
+
⊥
⊥
⊥
Ponieważ mamy zachowany trójp ed:
, p1 +q1 = p2 +q2 oraz p1 +q1 = p2 +
3.2. Efektywne oddzialywanie fermion–antyfermion
1, p1
y
x
24
3, p2
k̃, x − y
2, q1
4, q2
1−x
1−y
Rysunek 4: Kinematyka dla pojedynczej wymiany
q2⊥ , możemy p edy
zapisać za pomoca, p edów
Jacobiego na froncie świetlnym,
,
,
+
p+
1 = xP ,
⊥
⊥
p⊥
1 = xP + κ ,
q1+ = (1 − x)P + ,
q1⊥ = (1 − x)p⊥ − κ⊥ ,
i analogicznie dla pozostalych zmiennych (z zachowania trójp edu
wynika że
,
P jest to samo dla p edów
o indeksach 2, co dla p edów
o indeksach 1), tylko
,
,
zamiast x jest y, zaś zamiast κ⊥ : ρ⊥ . Dla uproszczenia wybierzemy uklad,
dla którego P ⊥ = 0 (niezmienniczość dynamiki wzgledem
pchnieć
,
, Lorentza
powoduje, że to uproszczenie nie traci nic z ogólności rozumowania).
Warunek, że p edy
fermionów sa, na powloce masy (p21 = m21 itp.) oznacza,
,
że np. (dla uproszczenia zalóżmy, że obie oddzialujace
maja, te same
, czastki
,
masy, m1 = m2 = m)
p−
1
2
2
p⊥
κ⊥ 2 + m 2
1 +m
=
=
xP +
p+
1
−
−
−
Oznaczmy k̃1 = p1 − p2 . Wtedy (uwaga: zazwyczaj p−
1 − p2 6= q1 − q2 )
k̃1+ = (x − y)P +
k̃1⊥ = κ⊥ − ρ⊥
k̃1− =
1
κ⊥ 2 + m 2 ρ ⊥ 2 + m 2
−
= (y − x)M21 +
+
+
xP
yP
P
gdzie przez M21 oznaczyliśmy niezmiennicza, mase, ukladu fermionów 1:
M21 = (p1 + q1 )2 =
κ⊥ 2 + m 2
x(1 − x)
3.2. Efektywne oddzialywanie fermion–antyfermion
25
Przez k oznaczamy czterowektor p edu
bozonu na powloce masy t.j. k +,⊥ =
,
+,⊥
= k̃2 , natomiast
k̃1+,⊥
k− =
k⊥ 2
(κ⊥ − ρ⊥ )2
=
,
k+
(x − y)P +
Efektywne oddzialywanie kwark–antykwark ma strukture,
Z
Z
1 X
[ xκ ] [ yρ ] β110,110 b†xP +κ b†(1−x)P −κ byP +ρ d(1−y)P −ρ
G110,110 = [ P ] +
P spiny
gdzie wspólczynnik β110,110 spelnia równanie (patrz rozdzial 2)
0
β110,110
= f2 [α110,001 α001,110 + α100,101 α011,010 + α010,011 α101,100 ]110,110
Po prawej stronie tylko czynnik f2 zależy od λ, wiec
, równania te latwo sie,
rozwiazuje.
Należy pamietać
jednak o wyrazach natychmiastowych w wyjścio,
,
wym hamiltonianie (z natychmiastowa, wymiana, gluonu miedzy
kwarkiem i
,
antykwarkiem), pochodzacych
z eliminacji zależnych stopni swobody, które
,
to wyrazy maja, strukture, 110, 110. Daja, one warunek poczatkowy
(w λ = ∞)
,
dla równania na β.
Z pojedynczej wymiany gluonu dostaniemy czynnik
β110,110 =
X
−g 2 F2λ
r
ū1 /εak5 σ u2 v̄4 /ε∗a
∆δ
k5 σ v 3
(x − y)P +
σ
(3.23)
Suma po polaryzacjach gluonu dana jest wyrażeniem
X
ς
µ (k, ς)∗ν (k, ς) = −g µν +
k µ g +ν + g +µ k ν
.
k+
(3.24)
Korzystamy tutaj z zapisu lorentzowskiego, aby móc zlożyć ten czynnik z
czlonem natychmiastowej wymiany.
Mamy k = k1 − k2 dla skladowych przestrzennych. Zatem korzystajac
,
z równania Diraca możemy zapisać
+
γ
−
−
−
ū(k1 )k/u(k2 ) = ū1 k/̃2 − k/̃1 +
(k2 − k1 )0 − k̃2 + k̃1 u2
2
(3.25)
−(k̃2 − k̃1 )2
+
= ū1 γ u2
2(k2+ − k1+ )
3.2. Efektywne oddzialywanie fermion–antyfermion
26
Korzystajac
, z powyższego wzoru dostajemy, że
F2λ
β110,110 = −g 2 r∆δ
(x − y)P +
"
× −g µν
#
2
2
k̃
+
k̃
2
1
− g µ+ g ν+
ū1 γµ T a u2 v̄4 γν T a v3 +
2(x − y)2 P + 2
(3.26)
+ (x ↔ y)
Musimy uwzglednić
jeszcze czlon natychmiastowy który ma postać
,
βseagull = −g 2 r∆δ
1
ū1 γ + u2 v̄4 γ + v3
2
+
2
(x − y) P
(3.27)
Aby uprościć rozważania i móc jak najwiecej
powiedzieć o oddzialywa,
niach miedzy
kwarkami, b edziemy
prowadzić obliczenia w przybliżeniu nie,
,
relatywistycznym, t.j. dla cieżkich
kwarków.
Dzieki
,
, temu, że hamiltonian jest
przydiagonalny w energiach, to jeśli jego szerokość jest dużo mniejsza od energii spoczynkowej czastek
które rozważamy, możemy obciać
,
, przestrzeń stanów
do stanów nierelatywistycznych, t.j. o energii kinetycznej dużo mniejszej od
energii spoczynkowej. Dzieki
wyjecie
z macie, temu, że hamiltonian jest waski
,
,
rzy hamiltonian, okna o szerokości dużo wiekszej
od
szerokości
hamiltonianu
,
nie powoduje znaczacych
poprawek.
Sprz
eżenie
do stanów o wyższych ener,
,
giach jest male (rysunek 5). Szersze rozważania n.t. redukcji dynamiki do
obszaru nierelatywistycznego znaleźć można w [10].
@
@
@
@
@
@
@
@
@
@
@
@
@
@
@
@
@
mc2
@
@
@
@
@
Rysunek 5: Przybliżenie nierelatywistyczne w renormalizacji przez podobieństwo
Aby móc prowadzić przybliżenie nierelatywistyczne szerokość hamiltonianu powinna być dużo mniejsza od mc2 . Potrzebne sa, cieżkie
kwarki, aby λ
,
3.2. Efektywne oddzialywanie fermion–antyfermion
27
nie musialo być zbyt male i moglo być duże w porównaniu z ΛQCD . Przy
bardzo malym λ nie możemy stosować rachunku zaburzeń, gdyż efektywna
stala sprzeżenia
gλ rośnie, gdy λ daży
do zera.
,
,
Aby zdefiniować przybliżenie nierelatywistyczne wprowadzamy zmienna,
k3 , tak by niezmiennicza masa ukladu dwu fermionów dana byla wzorem
√
M = 2Enrel = 2 k2 + m2
gdzie k = (k ⊥ , k3 ). Zakladamy, że k ⊥ = κ⊥ , i powyższy wzór sluży nam do
zdefiniowania k3 . Znajac
mogli powiedzieć, co oznacza że p ed
, k b edziemy
,
,
jest maly w porównaniu z masa.,
Dostajemy
κ⊥ 2 + m 2
2
= M2 = 4(κ⊥ + k32 + m2 )
x(1 − x)
(3.28a)
zatem
1
k3 = x − M
2
k3
1
k3
1
1+ √
=
x= +
2 M
2
k2 + m 2
(3.28b)
(3.28c)
Mówimy, że p edy
fermionów sa, nierelatywistyczne, gdy wszystkie sklado,
we trójwektora k sa, male w porównaniu z mc. Oznacza to, miedzy
innymi,
,
1
że x jest bliskie 2 :
5 k 3 1 k 3 k2
1
k
1+
x≈
−
+o
2
2
m 2mm
m5
Wzory te można uogólnić na przypadek różnych mas obu fermionów tworzacych
rozważany przez nas stan [9].
,
Ostatecznie dostajemy
1
x= +η
(3.29)
2
gdzie η w przybliżeniu nierelatywistycznym jest male.
Do wyliczenia hamiltonianu efektywnego potrzebna nam jest znajomość
wewnetrznego
czynnika podobieństwa. W drugim rzedzie
rachunku zaburzeń
,
,
dany jest on wzorem (2.23):
F2λ (a, b, c) =
+
ba + Pbc+ bc
Pba
(fλ (a, b)fλ (b, c) − 1)
(ba)2 + (bc)2
3.2. Efektywne oddzialywanie fermion–antyfermion
28
W naszej notacji (patrz rysunek 4) mamy
+
+
Pab
= Pba
= p+
1
M2ab
M2ba
M2bc
M2cb
Pbc+ = Pcb+ = q2+
= p21
= (p2 + k)2
= (k + q1 )2
= q22
gdzie, zgodnie z definicja, energii na froncie świetlnym, p ed
, gluonu k ma
−
wspólrzedn
a
k
dan
a
wzorem
,
,
,
k− =
(κ⊥ − ρ⊥ )2
.
(x − y)P +
Obliczamy ile wynosza, różnice energii wlasnych ba oraz bc, potrzebne do
wyliczenia wewnetrznego
czynnika podobieństwa
,
ba = M2ba − M2ab = (p2 + k)2 − p21 = (p2 + k − p1 )(p2 + k + p1 )
bc = M2bc − M2cb = (k + q1 )2 − q22 = (k + q1 − q2 )(k + q1 + q2 )
(3.30a)
(3.30b)
Korzystajac
k oraz wyrażajac
czastek
za pomoca,
, z wlasności p edu
,
, p edy
,
,
p edów
wzglednych,
dostajemy
,
,
⊥2
ρ + m2 (κ⊥ − ρ⊥ )2 κ⊥ 2 + m2
+
−
(3.31a)
ba = x
y
x−y
x
⊥
(κ − ρ⊥ )2 κ⊥ 2 + m2 ρ⊥ 2 + m2
bc = (1 − y)
+
−
(3.31b)
x−y
1−x
1−y
W przybliżeniu nierelatywistycznym, charakterystyczna, różnica, energii
pojawiajac
, a, sie, przy wyliczaniu ab i ba,
− ∆Wp := P + k̃1− =
κ⊥ 2 + m 2 ρ ⊥ 2 + m 2
−
,
x
y
(3.32)
rozwijamy, używajac
, wzoru (3.29) (i analogicznego dla y), otrzymujac
,
κ⊥ 2 + m 2 ρ ⊥ 2 + m 2
− 1
1
− ηx
− ηy
2
2
Ponieważ κ⊥ , ρ⊥ i ηi sa, male (przy czym ηi 1)
− ∆Wp ' 4m2 (ηx − ηy ) + o(k2 ).
(3.33)
3.2. Efektywne oddzialywanie fermion–antyfermion
29
Wypisaliśmy tylko wyrazy najniższego rzedu
w p edach.
Dokladnie taki
,
,
sam rezultat dostaniemy dla ∆Wq , czyli dla analogicznej różnicy energii, pojawiajacej
sie, wzorze (3.31b) na bc. Korzystajac
,
, z powyższego wzoru i wstawiajac
go
do
(3.31)
dostajemy:
,
⊥2
ba
ρ + m2 κ⊥ 2 + m2 (κ⊥ − ρ⊥ )2
=
−
+
=
x
y
x
x−y
(κ⊥ − ρ⊥ )2
2
(3.34)
= 4m (ηy − ηx ) +
=
ηy − η x
1
=
(qz2 + q ⊥ 2 ),
ηy − η y
gdzie q ⊥ = κ⊥ − ρ⊥ oraz qz = 2m(ηx − ηy ) = 2m(x − y).
Zatem, wyrażajac
, ba i bc za pomoca, trójwektora q otrzymujemy
q2
x−y
q2
bc = (1 − y)
x−y
ba = x
(3.35a)
(3.35b)
Dostajemy wiec
acy
wzór na wewnetrzny
czynnik podobieństwa
, nastepuj
,
,
,
F2λ =
(x − y)P +
(fab fbc − 1)
q2
(3.36)
Dla fλ (ab) danego wzorem (2.21), przyjmujac
, że ab oraz bc sa, zdefiniowane
przez (3.31), dostajemy
(κ⊥ − ρ⊥ )2
2
2
2
2
+ ∆W
(3.37)
(ba) + (bc) = x + (1 − y)
x−y
Zgodnie z przybliżeniem nierelatywistycznym na ba i bc, danym równaniem (3.35),
możemy napisać
q2
2
2
2
2
(ba) + (bc) = x + (1 − y)
.
(3.38)
x−y
Uwzgledniaj
ac
w p edach,
otrzymujemy
,
, zatem tylko wyrazy najniższego rzedu
,
,
4
q 4m2
fλ (ab)fλ (bc) = exp − 2
(3.39)
qz 2λ4
Do wyliczenia postaci czlonu oddzialywania w hamiltonianie efektywnym
potrzebna jest nam także postać zewnetrznego
czynnika podobieństwa, mno,
żacego
operator Gλ . Ponieważ stan przed i po oddzialywaniu zawiera te same
,
3.2. Efektywne oddzialywanie fermion–antyfermion
30
czastki,
a w przybliżeniu nierelatywistycznym dominuje energia spoczynkowa,
,
wiec
możemy
przyjać,
czynnik podobieństwa jest w wiodacym
,
, że zewnetrzny
,
,
rzedzie
równy
1,
bo
rośni
ecie
energii
kinetycznych
dla
fermionów
jest
ma
le
,
,
w porównaniu z λ w dominujacych
konfiguracjach
kwarków.
,
Aby wyliczyć efektywne oddzialywanie miedzy
kwarkami musimy znać
,
+
µ
postać czynników spinorowych ūγ u oraz ūγ u. W ogólnym przypadku daja,
one skomplikowana, zależność od spinu. Jednak w przybliżeniu nierelatywistycznym wzory na czynniki spinorowe upraszczaja, sie.
,
+
+
Potrzebny nam b ed
a
czynniki
ūγ
u
oraz
v̄γ
v,
pojawiaj
ace
, ,
, sie, w oddzialywaniu efektywnym.
Mamy ūγ + u = u† γ 0 γ + u = u† 2Λ+ u. Rozpisujac
, wzorki na spinory (A.9)
dostajemy
q
†
†
+
+
+
ūp1 mλ1 γ up2 mλ2 = up1 mλ1 2Λ up2 mλ2 = ζλ1 4 p+
1 p 2 Λ + ζ λ2
Analogicznie dostajemy wzór dla v̄γ + v. Z postaci macierzy Λ± = 21 (1±α3 )
w reprezentacji Diraca dostajemy, że
1
2m
2
u†↑ Λ± u↓ = u†↓ Λ± u↑ = 0
u†↑ Λ± u↑ = u†↓ Λ± u↓ =
i podobnie dla antykwarków.
p
Zatem wyrażenie ūγ + u v̄γ + v redukuje sie, do 2 x(1 − x)y(1 − y)P + 2
Pozostaje obliczyć ile wynosi ūγ µ u v̄γµ v. Rozpisujemy iloczyn skalarny
macierzy γ:
−
Rozpisujac
, ūγ u dostajemy
4m2
ūp1 mλ1 γ − up2 mλ2 = u†p1 mλ1 2Λ− up2 mλ2 ≈ p + + ζ1† Λ− ζ2 ,
p 1 p2
gdyż w przybliżeniu nierelatywistycznym dominuje czlon z m2 . Natomiast
2m
+
ūp1 mλ1 γ i up2 mλ2 = u†p1 mλ1 αi up2 mλ2 ≈ p + + ζ1† αi (p+
1 Λ− + p2 Λ+ )ζ2
p 1 p2
gdzie w przybliżeniu nierelatywistycznym pozostawiliśmy czlon dominujacy
,
i
w p edach.
Macierze
α
Λ
maj
a
niezerowe
elementy,
gdy
cz
astki
maj
a
prze±
,
,
,
,
ciwny spin.
† ⊥
† ⊥
Korzystajac
, z faktu, że ζ1 α Λ− ζ2 = −ζ1 α Λ+ ζ2 , dostajemy że czlonu ten
+
jest proporcjonalny do różnicy p edów
p+
spin jest
1 − p2 . Czlon zmieniajacy
,
,
zatem pomijalnie maly w przybliżeniu nierelatywistycznym.
3.3. Potencjaly efektywne w przybliżeniu nierelatywistycznym
31
p
Zatem ūγ µ uv̄γµ v ≈ x(1 − x)y(1 − y)4m4 . Oddzialywanie nie zmienia
spinu czastek.
p
,
Pomijajac
czynnik
x(1 − x)y(1 − y) który sie, skraca z analogicznym
,
czynnikiem w potencjale, przy definicji funkcji falowej mezonu wzorem
Z
d2 κ dx
P =
p
φ(κ, x)b† d† 0 ,
(3.40)
2(2π)3 x(1 − x)
dostajemy, że w przybliżeniu nierelatywistycznym struktura spinorowa wyrazu oddzialywania dana jest nastepuj
acymi
wzorami:
,
,
ūγ + uv̄γ + v
ūγ µ uv̄γµ v
3.3
−→
−→
4p+ 2
4m2
(3.41a)
(3.41b)
Potencjaly efektywne w przybliżeniu nierelatywistycznym
W drugim rzedzie
rachunku zaburzeń dostajemy także czlon anihilacyjny,
,
ale ponieważ macierze kolorowe sa, bezśladowe, wiec
, nie daje on wkladu do
oddzialywania dla ukladu q q̄, b ed
singletem kolorowym. Nie zawiera on
, acego
,
również czynnika rozbieżnego. Czlon ten móglby mieć znaczenie przy rozważaniu oddzialywań van der Waalsa miedzy
dwoma mezonami, ale daje on
,
potencjal krótkozasiegowy,
wiec
,
, można go pominać
, w rozważaniach.
Rozpatrzmy teraz pelna, postać oddzialywania kwark–antykwark w przybliżeniu nierelatywistycznym.
Czlon coulombowski przybiera postać
βc = −g 2 F2λ
θ(x − y)
ū1 γ µ u2 v̄1 γµ v2 + (analogiczny z x ↔ y)
+
(x − y)P
Korzystajac
czynnik
, z przybliżenia nierelatywistycznego na wewnetrzny
,
podobieństwa oraz na strukture, spinorowa, otrzymujemy
hc = βc fac =
gλ2 4m2 FF
f
f
−
1
fac
ab
bc
q2
(3.42)
gdzie FF oznacza czynnik kolorowy dla wymiany. Ponieważ zewnetrzny
czyn,
nik podobieństwa w granicy nierelatywistycznej jest w przybliżeniu równy
jeden, wiec
go pomijać w dalszych wzorach.
, b edziemy
,
Używajac
operatora
Casimira
,
C2 (ψ) = (Fq + Fq̄ )2 = Fq2 + 2Fq · Fq̄ + Fq̄2 = C2 (3) + 2Fq · Fq̄ + C2 (3∗ )) (3.43)
3.3. Potencjaly efektywne w przybliżeniu nierelatywistycznym
32
dostajemy, że czynnik kolorowy daje sie, zapisać w postaci
2FF = 2Fq · Fq̄ = C(ψ) − 2C(3),
(3.44)
w zależności od stanu kolorowego w którym znajduje sie, mezon. Dla mezonu
w singlecie kolorowym dostajemy identyczny czynnik kolorowy jak ten, który
mamy w masie efektywnej.
Kolorowe oddzialywanie Coulomba zawiera obciecie
przekazów p edów
od
,
,
dolu (przez czynnik pochodzacy
z
transformacji
podobieństwa),
zapewniaj
a,
,
ce, że p ed
niesiony
przez
gluon
jest
dostatecznie
duży.
Wyraz
ten
pojawia
si
e,
,
w hamiltonianie jako rezultat wyeliminowania oddzialywań miedzy
stanami
,
różniacymi
sie, energia, swobodna, o wiecej
niż λ.
,
,
Jeśli pominać
p edy
od dolu to, że od, czynnik podobieństwa obcinajacy
,
,
2
dzialywanie w przestrzeni p edów,
zachowuj
ace
si
e
jak
1/q
, daje potencjal
,
,
,
coulombowski. W naszym przypadku wewnetrzny
czynnik podobieństwa za,
pewnia, że energia gluonu przenoszacego
oddzialywanie jest duża, ∼ |q|,
,
w porównaniu z energia, kinetyczna, kwarków ∼ q2 /m (jest tak w przypadku
nierelatywistycznym, gdzie |q| m).
Czlon coulombowski nie jest jedynym wyrazem typu oddzialywania potencjalnego w Hλ . W oddzialywaniu efektywnym mamy poza nim dwa wyrażenia, ze struktura, spinorowa, typu ūγ + uv̄γ + v.
Wypiszmy najpierw czlon pochodzacy
z dru, z wymiany gluonu, zwiazany
,
gim skladnikiem wzoru na sume, po polaryzacjach gluonu:
βw1
k̃p2 + k̃q2
θ(x − y)
ū1 γ + u2 v̄1 γ + v2 + (x ↔ y)
= −g FFF2λ
+
2
+
2
(x − y)P 2(x − y) P
2
W przybliżeniu nierelatywistycznym k̃p2 ≈ k̃q2 . Wtedy k̃p2 = k̃q2 = q2 .
Korzystajac
, z nierelatywistycznego wzoru na F2λ (3.36) dostajemy
F2λ
k̃p2 + k̃q2
FF
≈
(x − y)P + 2(x − y)2 P + 2
(x − y)P + FF
q2
≈
fab fbc − 1
=
q2
(x − y)P + (x − y)2 P +2
FF
=
(fab fbc − 1)
(x − y)2 P + 2
Pomijajac
, czynniki, które skracaja, sie, z odpowiednimi czynnikami wynikajacymi
z
definicji
funkcji falowej możemy w przybliżeniu nierelatywistycz,
przez
nym spinorowe czynniki ūγ + uv̄γ + v, zgodnie z wzorem (3.41a), zastapić
,
3.3. Potencjaly efektywne w przybliżeniu nierelatywistycznym
33
P + 2:
−g 2 fab fbc − 1 =
2
(x − y)
−g 2 4m2 f
f
−
1
,
= FF
ab
bc
qz2
βw1 = FF
df
gdzie qz = 2m(x − y).
Pozostaje do rozważenia czlon oddzialywania natychmiastowego. Ma on
postać
FF
βw2 = −g 2
ū1 γ + u2 v̄1 γ + v2 .
(x − y)2 P + 2
Gdy dodamy do siebie te dwa czlony, to oddzialywanie natychmiastowe
skasuje jedynke, w wyrażeniu [fab fbc − 1]. Dostajemy zatem
βw =
−g 2 4m2 FF
fab fbc .
qz2
(3.45)
Czlon ten prowadzi do logarytmicznego potencjalu wiaż
nie zacho, acego,
,
wujacego
symetrii
obrotowej,
co
wyjaśnimy
później.
Ścis
le
wyliczenie
poten,
cjalu dla funkcji podobieństwa w postaci funkcji schodkowej znajduje sie,
w [9], a jakościowe wytlumaczenie, dlaczego jest on logarytmiczny dla dużych odleglości jest podane w [11] i [12].
Czlon (3.45) jest rozbieżny dla qz → 0. Wydzielamy cześć
rozbieżna, w
,
potencjale wiaż
acym,
aby
porównać
j
a
z
rozbieżności
a
napotkan
a, w wyrazie
, ,
,
,
masowym. W tym celu obliczamy elementy macierzowe cześci
hamiltonia,
nu odpowiadajacej
za uwiezienie
(zobacz też [11]) miedzy
funkcjami
,
,
,
falowyP sa unormowane do P P 0 =
mi danymi wzorem (3.40),
gdzie
stany
,
2(2π)3 P + δ 3 (P − P 0 ) 00 :
ψ(P )Hconf ψ(P 0 ) = −2(2π)3 P + δ 3 (P − P 0 )g 2 CF
Z
(3.46)
FF
dy1 d2 κ1 dy2 d2 κ2
fab fbc rδ φ∗ (κ2 , y2 )φ(κ1 , y1 )
×
3
3
2
2(2π) 2(2π) (y1 − y2 )
Rozbieżność pochodzi z obszaru, gdzie y1 ∼ y2 . Możemy zatem zalożyć,
2
2
dzieki
, czynnikowi podobieństwa, że (κ1 −κ2 ) λ . Zamieniamy zmienne na
K = (κ1 + κ2 )/2, k = κ1 − κ2 ; analogicznie definiujemy Y i y dla p edów
po,
dlużnych. Ograniczamy sie, w calkowaniu do malych y. Podstawiajac
, czynnik
podobieństwa w przybliżeniu nierelatywistycznym zgodnie ze wzorem (3.39),
dostajemy taka, sama, postać cześci
rozbieżnej (rozbieżność logarytmiczna)
,
,
jak dla mas efektywnych. Wyliczajac
czynniki
kolorowe
(dla
mas
jest
to
C
,
F
,
3.4. Problem uwiezienia
,
34
dla potencjalu FF) dla mezonu w singlecie, dostajemy że nieskończoności
te sie, skracaja, wzajemnie. Pozostala skończona cześć
daje potencjal miedzy
,
,
kwarkami, które maja, masy konstytuentne.
Do znajdowania sil van der Waalsa potrzebujemy znać postać potencjalu
na dużych odleglościach. Ponieważ potencjal zawiera staly czlon rozbieżny,
kasowany przez masy efektywne, wiec
, dla uproszczenia obliczmy pochodna,
,
która nie zawiera rozbieżności, a opisuje potencjal [11]. Przechodzimy do przestrzeni polożeń za pomoca, transformaty Fouriera. Pochodna po wspólrzednej
,
z potencjalu w przybliżeniu nierelatywistycznym dana jest wzorem
4
Z
∂
q 2m2 −g 2 4m2
d3 q
V (z) =
exp − 2 4
(iqz )eiqz z
(3.47)
3
2
∂z
(2π)
qz λ
qz
Znaczacy
wklad do tej calki pochodzi z obszaru malych qz , tak ze wzgledu
,
,
na to, że funkcja podcalkowa ma osobliwość w qz = 0, jak i dlatego, że
dominujacy
wklad do transformaty Fouriera dla dużych z pochodzi z obszaru
,
gdzie qz z . 1. Możemy zatem zalożyć, że dla dużych z mamy qz q⊥ ,
w miejsce q polożyć q⊥ , i odcalkować po p edach
prostopadlych. Dostajemy,
,
pamietaj
ac
,
, że zalożyliśmy iż qz jest male, wiec
, jest ograniczone qz ≤ Pz .
r
Z
∂
−ig 2 4m2 1 2πλ4 Pz qz iqz z
V (z) '
e
∂z
(2π)3 2 4m2 0 |qz |
(3.48)
1 cos(Pz z)
∼ −
z
z
Pierwszy czlon jest pochodna, logarytmu. Drugi po odcalkowaniu daje cosinus
calkowy, czyli potencjal krótkozasiegowy.
Gdybyśmy pomineli
,
, ograniczenie
na qz dostalibyśmy δ(z) zamiast cos(Pz z)/z, jako dodatkowy, obok logarytmicznego, czlon oddzialywania. Daje on potencjal który jest ograniczony dla
dużych z.
W podobny sposób można pokazać, że w kierunku prostopadlym, dla dużych odleglości, też dostajemy potencjal logarytmiczny, ale o innym wspólczynniku liczbowym. Dlatego nie jest on sferycznie symetryczny. Zwiazane
,
jest to z tym, że prowadzimy obliczenia na froncie świetlnym, dla którego
obroty zależa, od oddzialywania, symetria obrotowa może wiec
, być lamana
przy obliczeniach w rachunku zaburzeń.
3.4
Problem uwiezienia
,
Warto zauważyć że czynniki podobieństwa przy czlonie coulombowskim
oraz przy czlonie wiaż
sa, nawzajem komplementarne (skladaja, sie, do
, acym
,
3.4. Problem uwiezienia
,
35
jedności). Dzieki
temu, gdy w QED prowadzimy redukcje, za pomoca, trans,
formacji R z przestrzeni trójczastkowej
(z fotonem) wystepuj
a, w niej czlony
,
,
kasujace
czlon fab fbc w czlonie coulombowskim odtwarzajac
,
, pelne oddzialywanie coulombowskie, i jednocześnie kasuje sie, potencjal wiaż
Zatem w
, acy.
,
QED, gdzie nie możemy zaniedbać stanów z jednym fotonem nie dostajemy
uwiezienia
— zgodnie z oczekiwaniami. Fotony sa, bezmasowe i nie można
,
pominać
ich
wplywu.
,
Z kolei gluony oddzialuja, same ze soba., W modelu kwarków konstytuentnych nie widać w ogóle gluonów. Jeśli gluony uzyskuja, dynamicznie niezerowa,
mase, efektywna,, to dla dostatecznie malego λ, wskutek skończonej szerokości hamiltonianu, nie może zajść efektywna emisja gluonu. Efektywna teoria
opisuje wiec
oddzialujace
, w takim przypadku czastki
,
, ze soba, za pomoca, potencjalów. Ponadto efektywna stala sprzeżenia
dla hadronów staje sie, duża
,
dla malych λ. Nie robimy transformacji R tam, gdzie nie można stosować
rachunku zaburzeń. Wydaje sie, nieprawdopodobne, by ścisla diagonalizacja
HλQCD prowadzila do kasowania osobliwości jak w QED, skoro gluony oddzialuja, ze soba, i z kwarkami zupelnie inaczej niż fotony w QED. Fotony
w sektorze z jednym fotonem i para, e+ e− w problemie pozytronium musza,
być traktowane jak swobodne, by skasować potencjal wiaż
Zakladamy
, acy.
,
(2)
wiec
że
w
QCD
potencja
l
wi
aż
acy
pozostaje
nie
skasowany.
λ
,
, ,
Analogicznie postapiliśmy
przy
obliczaniu kontrczlonów do wyrazu maso,
wego, umieszczajac
w
nich
cz
eść,
która
bylaby kasowana tylko w rachunku za,
,
burzeń. Zatem efektywny wyraz masowy zawiera rozbieżności malych x–ów,
czekajace
na skasowanie nieskończoności pochodzacych
z redukcji sektorów
,
,
zawierajacych
gluony,
dla
mi
ekkich
gluonów.
Ale
ich
nie
ma, bo gluony sie,
,
,
odprzegaj
a., Podobnie mamy dla potencjalu wiaż
który także zawiera
,
, acego,
,
nieskończoności. Czeka on na skasowanie przez wymiane, miekkich
gluonów.
,
Zatem zarówno w czlonie masowym jak i w czlonie oddzialywania wiaż
, acego
,
w efektywnym hamiltonianie pojawiaja, sie, rozbieżności malych x–ów. Czlony
te maja, taka, sama, strukture,
, różniac
, sie, pochodzeniem czynnika kolorowego. Dla stanów, które sa, singletem grupy SU(3)kolor , te czynniki kolorowe sa,
sobie równe. Zatem dla takich stanów zatem nieskończoności te kasuja, sie,
nawzajem. W stanach kolorowych natomiast nieskończoności te nie skracaj a,
sie.
,
4. Fenomenologiczny model potencjalny i sily van der Waalsa
4
4.1
36
Fenomenologiczny model potencjalny i sily
van der Waalsa
Fenomenologiczny model potencjalny
Omówimy teraz różnice miedzy
oddzialywaniem wyliczonym za pomoca,
,
transformacji podobieństwa z efektywnego hamiltonianu, a fenomenologicznym oddzialywaniem za pomoca, addytywnego potencjalu kolorowego.
W modelu potencjalnym oddzialywanie opisujemy za pomoca, wzoru
X
Fi · Fj V (|xi − xj |)
(4.1)
HI = −
i<j
gdzie sumowanie rozciaga
sie, na wszystkie pary czastek
(kwarków i antykwar,
,
a
ków), zaś Fi oznacza generator grupy w reprezentacji podstawowej (sprze,
żonej) dla i-tego kwarku (antykwarku).
Dla grupy nieabelowej i wiaż
potencjalu V (r), (tzn. takiego że V (r) ≥ 0
, acego
,
oraz V (r) → ∞, dla r → ∞), dla stanów nie b ed
singletami kolorowymi
, acych
,
hamiltonian oddzialywania dany przez ten potencjal jest nieograniczony od
dolu [13]. Na przyklad dla grupy SU(3) dla mezonu w singlecie oraz w oktecie
dostajemy
4
1(qq̄)HI 1(qq̄) = V (rqq̄ ) ≥ 0,
3
1
8(qq̄)HI 8(qq̄) = − V (rqq̄ ) → −∞, rqq̄ → ∞.
6
(4.2)
(4.3)
Model potencjalny nie uwzglednia
rozbieżności malych x–ów w wyrazach
,
masowych i potencjale wiaż
oraz kasowań pomiedzy
nimi, jakie wyste, acym,
,
,
,
puja, w QCD. W naszym przypadku w stanach kolorowych dostajemy brak
kasowania rozbieżności malych x–ów w masach efektywnych z rozbieżnościami w efektywnym oddzialywaniu wiaż
Rozbieżność w masie efektywnej
, acym.
,
przeważa i energia wlasna takich stanów staje sie, nieskończona rozbieżnościami malych x–ów. Zatem stany te jako majace
nieskończona, energie, nie
,
sa, realizowane fizycznie. Rozwiazuje
to
problem
niestabilności
stanu próżni,
,
który powstaje gdy hamiltonian nie jest operatorem pólograniczonym. Nie
rachunek
musimy też wprowadzać sztucznego potencjalu [14] stabilizujacego
,
wariacyjny dla HλQCD .
Ponadto, ten sam mechanizm powoduje, że pojedynczy kwark nie jest
stanem fizycznym. Rozbieżność malych x–ów w sektorze jednokwarkowym
nie jest kompensowana przez analogiczna, rozbieżność w oddzialywaniu wia,
żacym,
zatem
stan
ten
otrzymuje
nieskończon
a
energi
e
i
nie
jest
stanem
fi,
,
,
zycznym.
4.2. Kolorowe sily van der Waalsa
37
Także stany b ed
, ace
, trypletem i antytrypletem kolorowym (np. stan fermion—
fermion w antytryplecie) także maja, nieskończona, energie, i nie sa, stanami
fizycznymi. W naturalny sposób otrzymujemy wiec
jako konse, uwiezienie
,
kwencje, wzrostu mas efektywnych wraz z usuwaniem obciecia
ma
lych x–ów
,
i silnych efektów oddzialywań, które kompensuja, wzrost mas tylko w singletach kolorowych.
Wyliczanie efektywnych oddzialywań z hamiltonianu QCD ma ponadto
te, przewage, nad fenomenologicznym modelem potencjalnym, że można latwo
wyliczać poprawki relatywistyczne, oraz przejść do wyższego rz edu.
,
4.2
Kolorowe sily van der Waalsa
Model potencjalny cierpi na jeszcze jedna, przypadlość, obok oddzialywania nieograniczonego od dolu dla stanów nie b ed
singletem, trypletem
, acych
,
lub antytrypletem kolorowym. Przewiduje on mianowicie istnienie kolorowego analogu sil van der Waalsa miedzy
odseparowanymi hadronami. Oddzia,
lywanie to daje sile, miedzy
dwoma
obiektami
zależna, od ilości nukleonów,
,
w przeciwieństwie do oddzialywania grawitacyjnego, które zależy od masy
obiektów. Takie oddzialywania nie sa, obserwowane w przyrodzie, a ograniczenia na nie sa, silne [15].
Czy sily tego typu powstaja, także w obliczeniach za pomoca, efektywnego
hamiltonianu QCD? W modelu potencjalnym nie ma gluonów, zatem w celu porównania powinniśmy wyeliminować sektory Focka je zawierajace.
Przy
,
rozważaniu oddzialywań miedzy
efektywnymi
kwarkami
w
mezonie,
za
lożyli,
śmy, że efekty nieperturbacyjne spowodowaly odprzegni
ecie
sie, gluonów. Tym
,
,
niemniej nie wiadomo czy w ten sam sposób nastapi
ecie
w sektorze
, odprzegni
,
,
dwumezonowym, t.j. czy można po prostu wyciać
sektory
zawieraj
ace
glu,
,
ony. Gdyby dla odseparowanych mezonów, przy liczeniu oddzialywań miedzy
,
nimi, można bylo korzystać z rachunku zaburzeń przy wyliczaniu efektów
eliminacji gluonów za pomoca, transformacji R, to tak jak dla QED (patrz
rozdzial 3.4) dostalibyśmy wyeliminowanie potencjalu uwiezienia,
a wiec
,
, i kolorowych sil van der Waalsa.
W naszych obliczeniach, dzieki
kasowaniu sie, czlonu rozbieżnego w wy,
razie masowym z rozbieżnościa, w potencjale wiaż
stany, które nie sa,
, acym,
,
singletem kolorowym, zyskuja, nieskończona, energie.
Można
je zatem w na,
turalny sposób wykluczyć, w przeciwieństwie do fenomenologicznego modelu
potencjalnego. Stan, w którym dwa mezony sa, w stanie b ed
singletem
, acym
,
kolorowym, jest rozpiety
przez dwie konfiguracje kolorowe.
,
W pierwszej obie czastki
sa, w singletach kolorowych. Mezon w singlecie
,
jest stanem realizowanym fizycznie. Element macierzowy hamiltonianu oddzialywania van der Waalsa miedzy
dwoma różnymi mezonami w singletach
,
4.2. Kolorowe sily van der Waalsa
38
kolorowych jest równy zeru (co wynika np. z równania (4.5) poniżej).
Jednak można zlożyć stan b ed
singletem kolorowym z dwu mezonów
, acy
,
b ed
w oktecie. W opisie mezonu pojawiaja, sie, wówczas nieskończono, acych
,
ści, wynikajace
z niepelnego kasowania rozbieżności malych x–ów pomiedzy
,
,
efektywnym wyrazem masowym a oddzialywaniem wiaż
Jeśli można
, acym.
,
zalożyć, że przy liczeniu oddzialywań miedzy
dwoma odseparowanymi mezo,
nami sektor gluonowy odprzega
si
e,
to
nieskończoności
te powinny kasować
,
,
sie, nawzajem miedzy
mezonami. Zobaczmy czy kasowanie to w istocie zacho,
dzi.
Niech czastki
1 i 2 to kwarki, a 3 i 4 to antykwarki. Przestrzeń stanów,
,
dla których mamy dwu mezony
, ace
b ed
, jako calość w singlecie kolorowym,
rozpi
, jest przez
eta
wektory: α = (13)1 (24)1 (singlet razy singlet) oraz
β = (14)1 (23)1 . Symbol (ij)1 oznacza że czastki i i j (kwark i antykwark)
,
sa, w singlecie kolorowym. Stany te nie sa, ortogonalne, ale sa, liniowo niezależne, latwo je zapisać i z nich korzystać.
Ograniczajac
, sie, do sektora, gdzie oba mezony sa, jako calość w singlecie
kolorowym, oraz korzystajac
, z tożsamości [16]:
αβ = 1/3
(4.4a)
X
X
F a F a α =
F a F a α = −(8/3)α
(4.4b)
1
a
X
a
(F1a
3
2
4
a
X a a F1a F4a β =
F2 F3 β = −(8/3)β
(4.4c)
a
+ F3a )α = (F2a + F4a )α = (F1a + F4a )β = (F2a + F4a )β = 0 (4.4d)
a a a a α F F α = β F F β = 0
(4.4e)
1a 4a 1a 3a αF1 F4 β = β F1 F3 α = −(8/3) αβ = −8/9
(4.4f)
wynikajacych
z tego, że odpowiednie czastki
sa, w singletach kolorowych,
,
,
dostajemy nastepuj
acy
uklad równań [16]:
,
,
3HI α = (8uα − uβ + uq )α + 3(uβ − uq )β
(4.5a)
3HI β = 3(uα − uq )α + (8uβ − uα + uq )β
(4.5b)
gdzie
uα = u13 + u24
uβ = u14 + u23
uq = u12 + u34 ,
(4.6)
zaś uij =
kwarkami.
,
V (|xi − xj |) oznaczaja, odpowiednie potencjaly miedzy
Dla α kasuja, sie, cześci
nieskończone
potencja
lu
i
efektywnej
masy: ka,
suja, sie, nieskończoności wewnatrz
mezonów (proste zlożenie dwu mezonów
,
4.2. Kolorowe sily van der Waalsa
39
β zachow singletach, wiec
jest
tak
jak
dla
pojedynczego
mezonu).
Dla
,
dzi skrócenie sie, nieskończoności pomiedzy
oddzialywaniami (wszystkimi)
,
a nieskończonościami w masach kwarków. W szczególności, dla tego stanu
zachodzi skrócenie sie, rozbieżności w wyrazie oddzialywania miedzy
poten,
cjalem pomiedzy
kwarkami z jednego mezonu, a antykwarkami w drugim
,
z nieskończonościami w wyrazach masowych. Nieskończoności w pozostalych
oddzialywaniach wiaż
kasuja, sie, nawzajem.
, acych
,
Oznaczmy przez δmi nieskończoność w czlonie masowym dla i-tej czastki.
,
Możemy zapisać
X
3(δH0 + HI )α = ( δmi + 8uα − uβ + uq )α + 3(uβ − uq )β , (4.7a)
i
X
3(δH0 + HI )β = 3(uα − uq )α + ( δmi + 8uβ − uα + uq )β .
(4.7b)
i
Ogólnie, nieskończoności w wyrazach masowych dla stanu α oraz β skracaja, sie, z nieskończonościami odpowiednio w uα i uβ (jak dla mezonu), natomiast nieskończoności w uβ − uq oraz uα − uq skracaja, sie, nawzajem.
Rozwiazanie
równań (4.5) daje nastepuj
ace
wartości wlasne dla oddzia,
,
,
lywania U [13]
U0 =
±
7
(uα
16
3
16
+ uβ ) + 18 uq
1/2
8(uα − uβ )2 + (uα + uβ − 2uq )2
(4.8)
Rozważamy oddzialywanie w konfiguracji, w której mezony: zlożony z cz a,
stek (13) oraz zlożony z (24), sa, od siebie oddalone o odleglość a, która jest
dużo wieksza
od ich rozmiarów. Rozwijamy wartość wlasna,, dajaca
niższa,
,
,
energie,
(uβ − uq ), które jest wyższego rzedu
niż uα i uβ , otrzy, w potegach
,
,
mujac
[13]:
,
(uβ − uq )2
0
U = uα −
+ O(uβ − uq )3 .
(4.9)
9(uβ − uα )
Pierszy czlon jest energia, wiazania
dwu mezonów. Drugi opisuje oddzialywa,
nie van der Waalsa pomiedzy
dwoma
mezonami.
,
Zatem wiemy jaki powinien być sklad kolorowy” funkcji falowej minima”
lizujacej
potencjal van der Waalsa. Pozostaje dobrać funkcje, falowa, (stosu,
jemy rachunek wariacyjny) minimalizujac
, a, wartość oczekiwana, energii. Za
Schiffem [17] bierzemy ja, w postaci (musi ona zależeć od odleglości miedzy
,
mezonami):
ψ(r1 , r2 ) = u13 (r1 )u24 (r2 )(1 + A · HvdW ),
(4.10)
gdzie u13 i u24 sa, funkcjami wlasnymi stanu podstawowego (albo ich przybliżeniami) dla izolowanych mezonów, A jest parametrem wariacyjnym, zaś
HvdW potencjalem van der Waalsa (w reprezentacji polożeniowej).
5. Podsumowanie
40
(2)
Potencjal wiaż
w QCDλ eff zachowuje sie, na dużych odleglościach jak
, acy
,
potencjal logarytmiczny. Nie ma on symetrii obrotowej, ale możemy go oszacować z dolu przez potencjal sferycznie symetryczny. Dla potencjalu logarytmicznego u = V0 log(r/r0 ), biorac
, wartość wlasna, dla funkcji falowej minimalizujacej
energie, potencjalna, i rozwijajac
r/a dostajemy na,
, w potegach
,
stepuj
ac
,
, a, sile, van der Waalsa [13]:
2 2
UvdW = V0 a−4 hr13
i /54 log(a/r13 ).
(4.11)
Sila ta szybko zanika z odleglościa, miedzy
mezonami, ale jej zbadanie ilościo,
we wykracza poza zakres niniejszej pracy.
Przy użyciu metody renormalizacji można zbadać, jakie zmiany w stosunku do modelu potencjalnego wnosi w problemie van der Waalsa uwzglednienie
,
dodatkowych sektorów Focka. Ponieważ nie można tego zrobić w rachunku
zaburzeń, pozostaje nam rozwiazywać
równanie wlasne w różnych sektorach
,
i stad
, wyprowadzać mechanizmy redukcji przestrzeni stanów.
5
Podsumowanie
Za pomoca, metody renormalizacji przez podobieństwo można wyrazić
stany, b ed
skomplikowanymi stanami wielu czastek
wyjściowej teorii, za
, ace
,
,
pomoca, niewielkiej ilości czastek
efektywnych.
W
omini
eciu
problemu próżni
,
,
pomaga nam zastosowanie dynamiki na froncie świetlnym. Efektywne czastki
,
maja, oddzialywania ograniczone do niewielkich przekazów p edu.
Hamiltonian
,
zapisany w nowych zmiennych jest waski,
tzn. elementy znajdujace
sie, po,
,
za pasmem o szerokości λ wokól diagonali opadaja, szybko do zera. Dzieki
,
temu rozwiazuj
ac
zagadnienie
w
lasne
za
pomoc
a
cz
astek
efektywnych
ma,
,
,
,
my do czynienia z niewielkim zakresem energii, ponieważ funkcje falowe dla
hamiltonianu efektywnego maja, szerokość porównywalna, z λ.
Obraz czastek
efektywnych pozwala na obliczanie hamiltonianów efektyw,
nych bez ograniczania sie, do określonego zestawu elementów macierzowych.
Wystarczy raz obliczyć hamiltonian efektywny by go później stosować do
różnych sytuacji.
Ponieważ chromodynamika kwantowa jest teoria, pola z cechowaniem,
wiec
z dużymi p edami
, pojawiaja, sie, w niej, oprócz rozbieżności zwiazanych
,
,
także rozbieżności malych x–ów. Wymagaja, one wprowadzenia dodatkowego
parametru obciecia.
Ważna jest metoda wprowadzenia kontrczlonów.
,
Stosujac
t
e
metod
e, do przedstawienia cieżkich
mezonów za pomoca, kwar, ,
,
ków efektywnych, otrzymujemy, w przybliżeniu nierelatywistycznym, obciety
,
potencjal coulombowski i potencjal wiaż
acy,
który
lamie
symetri
e
obrotow
a,,
, ,
,
a dla dużych odleglości zachowuje sie, jak potencjal logarytmiczny. Ważna,
5. Podsumowanie
41
role, odgrywa kasowanie sie, rozbieżności malych x–ów miedzy
efektywnymi
,
masami a potencjalem wiaż
acym.
Zachodzi
ono
tylko
dla
stanów
b ed
, ,
, acych
,
singletami kolorowymi. Dla stanów nie b ed
acych
singletami
kolorowymi
ka, ,
sowanie nie zachodzi i nieskończona, poprzez rozbieżność malych x–ów, masa efektywna posyla energie, takich stanów do nieskończoności. Dzieki
temu
,
unikamy problemu braku ograniczoności od dolu dla stanów kolorowych”,
”
jaki pojawia sie, modelach potencjalnych. Próżnia jest stabilna. Nie ma też
potrzeby wprowadzania sztucznych potencjalów do stabilizacji rachunków
spektrum.
Bezpośrednie zastosowanie rezultatu z sektora mezonowego do obliczania
oddzialywań van der Waalsa miedzy
dwoma mezonami odleglymi o R, prowa,
1
dzi do dlugozasiegowych
oddzia
lywań
kolorowych, malejacych
jak R14 log(R/r
,
,
,
0)
tak jak dla modelu potencjalnego z potencjalem logarytmicznym. Oznacza
to, że do ostatecznego oszacowania oddzialywań miedzy
mezonami potrzebne
,
jest precyzyjne rozwiazanie
dynamiki
efektywnej.
,
Podziekowania
,
Chcialbym podziekować
swojemu opiekunowi naukowemu i promotoro,
wi pracy magisterskiej, dr hab. Stanislawowi Glazkowi, za cenne wskazówki
i liczne rozmowy w trakcie pracy.
Dziekuj
e, również mgr Markowi Wieckowskiemu
za wyjaśnienia w spra,
,
wie przybliżenia nierelatywistycznego. Profesorowi Aleksandrowi Bartnikowi
skladam serdeczne podziekowania
za opieke, w trakcie studiów.
,
A. Dodatki
A
42
Dodatki
A.1
Konwencje frontu świetlnego
Bedziemy
poslugiwać sie, nastepuj
ac
,
,
, a, konwencja:
,
x± = x 0 ± x 3
(A.1)
+
Wspólrzedn
, a, czasowa, jest x .
Iloczyn skalarny dany jest wzorem:
a·b=
A.2
1 + −
a b + a − b + − a ⊥ b⊥
2
(A.2)
Rozwiazania
swobodnego równania Diraca na fron,
cie świetlnym
Równanie Diraca we wspólrzednych
frontowych zapisuje sie, jako
,
i + − i − +
⊥
⊥
(i∂/ − m)ψ =
∂ γ + ∂ γ − i∂ γ − m ψ = 0
2
2
(A.3)
Role, pochodnej czasowej w sformulowaniu frontowym pelni ∂ − . Po pomnożeniu równania przez γ 0 ≡ β dostajemy
(i∂ + Λ− + i∂ − Λ+ − i∂ ⊥ α⊥ − βm)ψ = 0
(A.4)
gdzie wprowadziliśmy operatory
Λ± = 21 (1 ± α3 ) = 21 γ 0 γ ± = 14 γ ∓ γ ±
(A.5)
Operatory te sa, ortogonalnymi operatorami rzutowymi skladajacymi
sie, do
,
jedynki. Mnożac
równanie
Diraca
raz
przez
Λ
,
raz
przez
Λ
dostajemy
−
+
,
uklad dwu sprzeżonych
równań
na
ψ
=
Λ
ψ,
podobnie
jak
w
przypadku
±
±
,
równoczasowym. Co jest unikalna, cecha, sformulowania na froncie świetlnym
to fakt, że jedno z tych równań nie jest dynamiczne (nie zawiera pochodnej
czasowej ∂ − ).
Konstruujemy rozwiazanie
równania Diraca (w reprezentacji Diraca) z
,
czterokomponentowych spinorów Pauliego χ± :
1
χ+ =
(A.6a)
0
0
χ− =
(A.6b)
1
A.3. Wlasności macierzy Diraca
43
Fermion w spoczynku może być w dwu stanach spinowych reprezentowanych (w reprezentacji Diraca) przez spinory z dwoma niezerowymi skladnikami
√
χ+
u↑ = 2m
(A.7a)
0
√
χ−
u↓ = 2m
(A.7b)
0
zaś antyfermiony w dwu stanach spinu z dwoma niezerowymi dolnymi skladnikami
√
0
(A.8a)
v↑ = 2m
χ−
√
0
v↓ = 2m
(A.8b)
−χ+
Przeboostowane spinory dane sa, wzorami
1 Λ+ p+ + Λ− (m + α⊥ p⊥ ) uλ
+
mp
1 = √ + Λ+ p+ + Λ− (m + α⊥ p⊥ ) vλ
mp
umpλ = √
vmpλ
A.3
Wlasności macierzy Diraca
Przydadza, nam sie, nastepuj
ace
,
, wlasności macierzy Diraca
γ+γ−γ+
γ−γ+γ−
γ+γ+
γ−γ−
= 4γ +
= 4γ −
=0
=0
γ + Λ+
γ − Λ−
γ + Λ−
γ − Λ+
Ponadto mamy
Λ2± = Λ±
Λ+ + Λ − = 1
Λ+ Λ− = Λ − Λ+ = 0
Λ± α ⊥ = α ⊥ Λ∓
Λ± β = βΛ∓
= γ+
= γ−
=0
=0
(A.9)
(A.10)
LITERATURA
44
Literatura
[1] St. D. Glazek, Acta Phys. Polon., B29, 1979 (1998).
[2] P. A. M. Dirac, Rev. Mod. Phys.,21, 392 (1949).
[3] S. J. Brodsky, H.-C. Pauli, i S. S. Pinsky, Phys. Rept., 301, 299 (1998).
[4] K. G. Wilson, Phys. Rev., D2, 1438 (1970).
[5] St. D. Glazek i K. G. Wilson, Phys. Rev., D48, 5863 (1993).
[6] St. D. Glazek i K. G. Wilson, Phys. Rev., D49, 4214 (1994).
[7] St. D. Glazek, Phys. Rev., D60, 105030 (1999).
[8] R. J. Perry, w Hadron Physics 94: Topics on Structure and Interaction of Hadronic Systems, edycja V. Herscovitz et al., (World Scientific,
Singapore, 1995) i poprawiona wersja hep-th/9411037.
[9] M. Brisudová i R. J. Perry, Phys. Rev., D54, pp. 1831–1843, 1996.
[10] M. Wieckowski,
“Redukcja hamiltonowskiej dynamiki fermionów w
,
kwantowej teorii pola do równania Schrödingera w drugim rzedzie
ra,
chunku zaburzeń,” praca magisterska, Instytut Fizyki Teoretycznej, Uniwersytet Warszawski, Warszawa, 1997.
[11] R. J. Perry, hep-th/9710175 (1997).
[12] R. G. Wilson i D. G. Robertson, w Theory of hadrons and light-front
QCD, edycja St. D. Glazek, (World Scientific, Singapore, 1995) str. 56–
70.
[13] O. W. Greenberg i H. J. Lipkin, Nucl. Phys., A370, 349 (1981), i referencje tam cytowane.
[14] K. G. Wilson et al., Phys. Rev., D49, 6720–6766 (1994).
[15] G. Feinberg i J. Sucher, Phys. Rev., D20, 1717 (1979).
[16] H. J. Lipkin, Phys. Lett., B45, no. 3, 267–271 (1973).
[17] L. I. Schiff, Mechanika kwantowa. Wydawnictwa Naukowe PWN, 1977.