R ´OWNANIA R ´O ˙ZNICZKOWE, II ROK MATEMATYKI LISTA 4

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE, II ROK MATEMATYKI
LISTA 4
Zadanie 1. Wyznaczyć rozwiazania ogólne równań różniczkowych czastkowych
‘
‘
pierwszego rzedu:
‘
∂z
∂u
∂u
y
∂z
− xz
= ez ,
y
+u
= ,
yz
∂x
∂y
∂x
∂y
x
(x − z)
∂u
∂u
∂u
+ (y − z)
+ 2z
= 0.
∂x
∂y
∂z
Zadanie 2. Znaleźć ogólna postać rozwiazania równania ux − uy = f (x, y).
‘
‘
Zadanie 3. Znaleźć rozwiazania spelniajace dodatkowe warunki
‘
‘
∂u ∂u
∂u
+
+2
= 0, u = yz dla x = 1,
∂x ∂y
∂z
∂z
∂z
y2
+ xy
= x, z = y 2 dla x = 0,
∂x
∂y
∂z
∂z
x
− 2y
= x2 + y 2 , z = x2 dla y = 1.
∂x
∂y
∂z
∂z
Zadanie 4. Znaleźć powierzchnie spelniajaca równanie x ∂x
+ y ∂y
= 2xy
‘
‘
‘
2
i przechodzaca przez krzywa y = x, z = x .
‘ ‘
‘
Zadanie 5. Pokazać, że jeżeli dane poczatkowe dla równania
‘
∂z
∂z
a(x, y)
+ b(x, y)
+ c(x, y, z) = 0
∂x
∂y
sa zadane na charakterystyce, to albo nie istnieje żadne rozwiazanie, albo
‘
‘
jest nieskończenie wiele rozwiazań (jak w poprzednim zadaniu).
‘
Zadanie 6. Wyjaśnić dlaczego nie istnieje rozwiazanie równania liniowego
‘
ux + uy = u przechodzace przez prosta x = t, y = t, u = 1.
‘
‘
Zadanie 7. Udowodnić, że rozwiazanie równania quasiliniowego ut +a(u)ux =
‘
0 z warunkiem poczatkowym u(x, 0) = h(x) w niejawny sposób może być
‘
1
zadane jako u = h(x − a(u)t). Jeżeli a(h(s)) nie jest niemalejaca funkcja
‘ ‘
‘
argumentu s, to u przestaje być dobrze określone dla pewnego t > 0.
Zadanie 8. (Ilustracja do wyniku z poprzedniego zadania.)
Rozwiazać równanie ut + uux = 0 z warunkiem poczatkowym u(x, 0) =
‘
‘
−x exp(1 − x2 ).
Zadanie 9. Pokazać, że ogólne rozwiazanie równania
‘
∂u
∂u
−y
=0
x
∂x
∂y
jest postaci u(x, y) = f (xy). Znaleźć rozwiazanie, którego wykres zawiera
‘
prosta u = x = y. Znaleźć rozwiazanie, które na krzywej y = x1 jest równe 1.
‘
‘
14 kwietnia 2014
Piotr Biler
2