Lista przygotowawcza przed kolokwium zaliczeniowym z przedmiotu
Transkrypt
Lista przygotowawcza przed kolokwium zaliczeniowym z przedmiotu
Lista przygotowawcza przed kolokwium zaliczeniowym z przedmiotu Matematyka MAP3032 E/AiR, rok IV Zadania będą wymagały podania jakiejś definicji i rozwiązania zadania analogicznego do poniższych. Trzeba znać: 1. definicje: podprzestrzeni liniowej, kombinacji liniowej, podprzestrzeni generowanej przez ustalony zbiór, liniowej niezależności wektorów, wymiaru i bazy przestrzeni liniowej (patrz wykład 1); przekształcenia liniowego i funkcjonału liniowego (wykład 2); normy i przestrzeni unormowanej, ciągu zbieżnego i warunku Cauchy’ego, przestrzeni Banacha (wykład 3); iloczynu skalarnego, przestrzeni unitarnej i przestrzeni Hilberta (wykład 4); wektorów ortogonalnych, bazy ortonormalnej, współczynników Fouriera i szeregu Fouriera (wykład 5); σ-algebry, σ-algebry borelowskiej w R, funkcji mierzalnej, miary (wykład 6). 2. definicje przestrzeni: lp i Lp (X, µ) dla 1 ¬ p ¬ ∞, c0 , c, C([0, 1]) oraz postaci norm w tych przestrzeniach (ewetualnie iloczynów skalarnych). PRZYKŁADOWE ZADANIA 1. Sprawdzić, czy zbiór A = {f ∈ C([0, 1]) : R1 f (x) dx = 0)} jest podprzestrzenią linio- 0 wą przestrzeni C([0, 1]). 2. Znaleźć bazę i wymiar przestrzeni liniowej V = {W ∈ R3 [x] : W 0 (0) = 0}, gdzie R3 [x] oznacza przestrzeń wielomianów stopnia nie wyższego niż 3, a W 0 to pochodna wielomianu W . 3. Znaleźć macierz przekształcenia liniowego L : R3 → R4 danego wzorem L(x, y, z) = (x + y, x + z, x + y + z, 2x − y − z), gdy w R3 przyjmiemy bazę standardową, a w R4 bazę {(1, 0, 0, 0), (1, 1, 0, 0), (1, 1, 1, 0), (1, 1, 1, 1)}. 4. W przestrzeni l2 wyznaczyć normy elementów 1 1 1 x = ( , , ..., , 0, 0, ...) |9 9{z 9} 9 razy 1 1 1 y = (0, 0, 0, , , ..., , 0, 0, ...) |9 9{z 9} 9 razy i obliczyć odległość między nimi. 5. W przestrzeni l2 dany jest układ wektorów 1 1 1 1 A = {( √ , √ , 0, 0, ...), ( √ , − √ , 0, 0, ...)}. 2 2 2 2 Sprawdzić, że jest to układ ortonormalny. Obliczając współczynniki Fouriera elementu x̄ = ( n1 )n∈N = (1, 21 , 31 , ...) względem podanego układu, znaleźć rzut x̄ na podprzestrzeń lin(A). 6. Obliczyć całkę Lebesgue’a z fuunkcji 1([−2,2]) względem miary µ(A) = δ0 (A) + ∞ X ∞ X 1 1 δ (A) + δ (A). n n n −n n=1 2 n=1 3 ROZWIĄZANIA 1. Tak, A jest podprzestrzenią liniową C([0, 1]), bo jeśli f i g należą do A, a a jest dowolną liczbą, to Z1 f (x) + g(x) dx = 0 Z1 f (x) dx + 0 Z1 0 a · f (x) dx = a · Z1 g(x) dx = 0, więc f + g ∈ A 0 Z1 f (x) dx = 0, więc af ∈ A 0 2. Przestrzeń V składa się z wielomianów postaci W (x) = ax3 + bx2 + cx + d. Wtedy W 0 (x) = 3ax2 + 2bx + c, więc W 0 (0) = c. Otrzymujemy warunek c = 0, czyli V = {ax3 + bx2 + d : a, b, d ∈ R} = lin{1, x2 , x3 }. Stąd bazą V jest {1, x2 , x3 }, a dim V = 3. 3. Kolumny macierzy przekształcenia tworzą współrzędne obrazów wektorów bazowych. Baza standardowa w R3 to : {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)} Niech v̄1 = (1, 0, 0, 0) v̄3 = (0, 0, 1, 0) v̄2 = (0, 1, 0, 0) v̄4 = (0, 0, 0, 1). Mamy L(1, 0, 0) = (1, 1, 1, 2) = (2, 2, 2, 2) − (1, 1, 1, 0) = 0 · v̄1 + 0 · v̄2 − 1 · v̄3 + 2v̄4 L(0, 1, 0) = (1, 0, 1, −1) = −(1, 1, 1, 1) + 2(1, 1, 1, 0) − (1, 1, 0, 0) + (1, 0, 0, 0) = 1 · v̄1 − v̄2 + 2 · v̄3 − v̄4 L(0, 0, 1) = (0, 1, 1, −1) = −(1, 1, 1, 1) + 2(1, 1, 1, 0) + 0 · (1, 1, 0, 0) − (1, 0, 0, 0) = −1 · v̄1 + 0 · v̄2 + 2 · v̄3 − v̄4 . Zatem AL = 0 1 −1 0 −1 0 −1 2 2 2 −1 −1 . 4. ||x||2 = v u∞ uX t xk s = 9· 2 k=1 1 9 = 1 3 Podobnie ||y||2 = 31 . 1 1 1 1 1 1 x − y = ( , , , 0, 0, 0, 0, 0, 0, − , − , − , 0, 0, ...) 9 9 9 9 9 9 Zatem odległość między x a y, to s ||x − y||2 = 3· 1 1 1√ + 3 · (− )2 = 6 9 9 3 5. Nasz zbiór ma tylko dwa wektory, więc aby sprawdzić ortogonalność wystarczy obliczyć ich iloczyn skalarny. Niech 1 1 v̄ = ( √ , √ , 0, 0, ...), 2 2 Wtedy hv̄, w̄i = 1 1 w̄ = ( √ , − √ , 0, 0, ...). 2 2 ∞ X 1 1 1 1 vn wn = √ · √ + √ · (− √ ) = 0 2 2 2 2 n=1 Ponadto normy v̄ i w̄ wynoszą 1, bo ||v̄||2 = v u∞ uX t |v |2 n = v u u t = v u u t n=1 ||w̄||2 = v u∞ uX t |w |2 n n=1 1 √ 2 1 √ 2 !2 !2 1 + √ 2 !2 1 + −√ 2 = 1, !2 =1 Zatem jest to układ ortonormalny. Rzut wyznaczamy obliczając szereg Fouriera względem tego układu (będzie oczywiście skończony). 1 1 1 3 hx̄, v̄i = 1 · √ + · √ = √ 2 2 2 2 2 ! 1 1 1 1 hx̄, w̄i = 1 · √ + · − √ = √ 2 2 2 2 2 Rzutem jest więc element 3 √ v̄ 2 2 + 1 √ w̄, 2 2 którego współrzędnymi są 3 1 1 1 3 1 1 1 1 ( √ · √ + √ · √ , √ · √ − √ · √ , 0, 0, ...) = (1, , 0, 0, ...). 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 (Ta ostatnia odpowiedź jest oczywista, bo przecież v̄ i w̄ rozpinają przestrzeń zależną od dwóch pierwszych współrzędnych.) 6. Miara ta przypisuje zeru masę 1, każdemu punktowi naturalnemu n masę 21n , a całkowitemu ujemnemu masę 31n . Funkcja charakterystyczna zbioru jest funkcją prostą. Całka z funkcji charakterystycznej zbioru to po prostu miara tego zbioru. Do [−2, 2] należą punkty −2, −1, 0, 1, 2, więc mamy Z 1[−2,2] dµ = µ([−2, 2]) = 1 1 4 + 12 + 36 + 3 + 9 64 16 1 1 + +1+ + = = = 9 3 2 4 36 36 9