Wstęp do algebry liniowej i geometrii analitycznej B

Uniwersytet Śląski w Katowicach
Wydział Matematyki, Fizyki i Chemii
str. 1
Kierunek i poziom studiów: Matematyka, studia I stopnia (licencjackie), rok I
Sylabus modułu: Wstęp do algebry liniowej i geometrii analitycznej B (03-MO1S-12-WALGB)
Nazwa wariantu modułu (opcjonalnie):
1. Informacje ogólne
Koordynator modułu
rok akademicki
semestr
forma studiów
sposób ustalania
oceny koocowej
modułu
dr Beata Rothkegel, [email protected]
2012/2013
letni
stacjonarne
Na ocenę koocową składają się: oceny z dwóch kolokwiów (36%), krótkich
testów pisemnych ze znajomości treści wykładów i ich elementarnych
zastosowao (19%), ocena z rozwiązywania zadao przy tablicy (9%; w formie
punktów bonusowych) oraz ocena z pisemnego egzaminu koocowego (36%).
informacje
dodatkowe
2. Opis zajęd dydaktycznych i pracy studenta
nazwa
wykład
prowadzący
grupa(-y)
treści zajęd
kod
WALGB_fs_1
Beata Rothkegel, [email protected]
Wszyscy studenci specjalności: modelowanie matematyczne, teoretyczna,
nauczycielska – nauczanie matematyki i zajęd komputerowych.
Przestrzeo liniowa Rn, n<=3 (3 godz.): wektory na prostej, płaszczyźnie i w
przestrzeni, działania na wektorach, kombinacje liniowe, liniowa niezależnośd i
liniowa zależnośd wektorów, podprzestrzeo, suma i suma prosta podprzestrzeni,
baza, zmiana bazy.
Przestrzeo liniowa Kn, n dowolne (4 godz.): uogólnienie pojęd z poprzedniego punktu
na przypadek dowolnego ciała K i dowolnego n, rząd macierzy i jego zastosowania,
twierdzenie Kroneckera-Capelli, struktura zbioru rozwiązao układu równao liniowych.
Przestrzeo afiniczna Rn, n<=3 (2 godz.): suma afiniczna, układy punktów, środki
ciężkości, podprzestrzeo afiniczna, baza punktowa, afiniczny układ współrzędnych i
jego zmiana, proste i płaszczyzny oraz ich równania.
Przestrzeo afiniczna Kn, n dowolne (3 godz.): uogólnienie pojęd z poprzedniego
punktu na przypadek dowolnego ciała K i dowolnego n, postad ogólna, parametryczna
i kanoniczna podprzestrzeni afinicznej przestrzeni Kn.
Przestrzeo euklidesowa Rn, n<=3 (7 godz.): iloczyn skalarny, macierz iloczynu
skalarnego, funkcjonał kwadratowy, prostopadłośd, dopełnienie ortogonalne, baza
ortogonalna, ortogonalizacja Grama-Schmidta, metoda Lagrange’a, długośd wektora,
baza ortonormalna, kąty i ich miary, orientacja przestrzeni, iloczyn wektorowy,
przestrzeo euklidesowa Rn dla dowolnego n.
Afiniczna przestrzeo euklidesowa Rn, n<=3 (7 godz.): odległośd, wzajemne położenie
prostych i płaszczyzn, rzut i symetria prostopadła, wybrane twierdzenia geometrii
elementarnej, pole i objętośd, afiniczna przestrzeo euklidesowa R n dla dowolnego n.
Utwory stopnia 2 (4 godz.): stożkowe i powierzchnie (nad R) oraz ich własności,
postacie kanoniczne stożkowych i powierzchni, klasyfikacja.
Uniwersytet Śląski w Katowicach
Wydział Matematyki, Fizyki i Chemii
metody
prowadzenia
zajęd
liczba godzin
dydaktycznych
(kontaktowych)
liczba godzin
pracy własnej
studenta
opis pracy
własnej
studenta
organizacja
zajęd
literatura
obowiązkowa
literatura
uzupełniająca
adres strony
www zajęd
informacje
dodatkowe
str. 2
Jak w opisie modułu.
30
30
Samodzielne studiowanie notatek sporządzonych na wykładzie oraz literatury
wskazanej w sylabusie.
2 godziny tygodniowo, ul. Bankowa 14, sala wg planu zajęd
http://www.math.us.edu.pl/plan1213/index.html
1. G. Banaszak, W. Gajda, Elementy algebry liniowej, t. 1 i 2, WNT, Warszawa
2002.
2. A. Białynicki-Birula, Algebra liniowa z geometrią, PWN, Warszawa 1976.
3. A. Kostrikin, Wstęp do algebry, t. 2, PWN, Warszawa 2004.
4. E. Piegat, Wektory i geometria. Algebra wektorów i jej zastosowania, PZWS,
Warszawa 1964.
1. K. Borsuk, W. Szmielew, Podstawy geometrii, PWN, Warszawa 1955.
2. M. Moszyoska, J. Święcicka, Geometria z algebrą liniową, PWN, Warszawa
1975.
3. M. Stark, Geometria analityczna, PWN, Warszawa 1958.
http://www.math.us.edu.pl/brothkegel/
nazwa
kod
konwersatorium
WALGB_fs_2
prowadzący
Beata Rothkegel
grupa(-y)
gr. 4. Beata Rothkegel, [email protected]
gr. 5. Alfred Czogała, [email protected]
treści zajęd
Rozwiązywanie zadao z 7 zestawów, z których każdy jest dokładnie dopasowany do
każdej z siedmiu części wykładu (patrz treśd wykładów).
metody
Jak w opisie modułu.
prowadzenia
zajęd
liczba godzin
30
dydaktycznych
(kontaktowych)
liczba godzin
60
pracy własnej
studenta
opis pracy
Samodzielne rozwiązywanie zadao z zestawów zadao dostarczonych przez
Uniwersytet Śląski w Katowicach
Wydział Matematyki, Fizyki i Chemii
własnej
studenta
organizacja
zajęd
literatura
obowiązkowa
literatura
uzupełniająca
adres strony
www zajęd
informacje
dodatkowe
str. 3
wykładowcę.
2 godziny tygodniowo, ul. Bankowa 14, sale wg planu zajęd
http://www.math.us.edu.pl/plan1213/index.html
Jak w przypadku wykładów.
Jak w przypadku wykładów oraz zbiory zadao:
1. A. Kostrikin (red.), Zbiór zadao z algebry, PWN, Warszawa 2005.
2. J. Rutkowski, Algebra liniowa w zadaniach, PWN, Warszawa 2008.
http://www.math.us.edu.pl/brothkegel/
3. Opis sposobów weryfikacji efektów kształcenia modułu
nazwa
kod
aktywnośd na zajęciach
WALGB_w_1
kod(-y) zajęd
osoba(-y)
gr. 4. Beata Rothkegel, [email protected]
przeprowadzająca(gr. 5. Alfred Czogała, [email protected]
e) weryfikację
grupa(-y)
gr. 4. Beata Rothkegel, gr. 5. Alfred Czogała
wymagania
1. Znajomośd i umiejętnośd zastosowania następujących pojęd i zagadnieo z
merytoryczne
zakresu przestrzeni liniowej Kn: kombinacja liniowa wektorów, liniowa
niezależnośd i liniowa zależnośd wektorów, podprzestrzeo liniowa, suma i
suma prosta podprzestrzeni liniowych, podprzestrzeo liniowa
generowana przez układ wektorów, minimalny układ rozpinający
podprzestrzeo, maksymalny układ liniowo niezależny, baza, warunki
równoważne na bazę, wymiar przestrzeni, współrzędne wektora w bazie,
macierz przejścia.
2. Znajomośd definicji rzędu macierzy (rzędu kolumnowego i rzędu
wierszowego) i umiejętnośd jego zastosowania (jego związek z
odwracalnością macierzy i istnieniem rozwiązao układów równao
liniowych – twierdzenie Kroneckera-Capelli), znajomośd i umiejętnośd
zastosowania definicji warstwy podprzestrzeni, podprzestrzeni
kierunkowej i układu fundamentalnego rozwiązao układu równao
liniowych.
3. Znajomośd i umiejętnośd zastosowania następujących pojęd i zagadnieo z
zakresu przestrzeni afinicznej Kn: suma afiniczna, układ punktów, środek
ciężkości, układ wag, podprzestrzeo afiniczna, podprzestrzeo afiniczna
generowana przez układ punktów, układ bazowy, baza punktowa,
współrzędne barycentryczne, afiniczny układ współrzędnych i jego
zmiana.
4. Znajomośd i umiejętnośd zastosowania postaci ogólnej, parametrycznej i
kanonicznej podprzestrzeni afinicznej przestrzeni Kn (w tym prostej i
płaszczyzny), pojęcia hiperpłaszczyzny.
Uniwersytet Śląski w Katowicach
Wydział Matematyki, Fizyki i Chemii
kryteria oceny
przebieg procesu
weryfikacji
str. 4
5. Znajomośd i umiejętnośd zastosowania następujących pojęd i zagadnieo z
zakresu przestrzeni euklidesowej Rn, n<=3: iloczyn skalarny, macierz
iloczynu skalarnego w bazie, funkcjonał kwadratowy, prostopadłośd
wektorów, dopełnienie ortogonalne, baza ortogonalna, metody
wyznaczania bazy ortogonalnej, długośd wektora, baza ortonormalna, kąt
i jego miara, kąt pomiędzy prostymi (płaszczyznami), kąt pomiędzy prostą
i płaszczyzną, iloczyn wektorowy, bazy zgodnie zorientowane, przestrzeo
zorientowana.
6. Znajomośd i umiejętnośd zastosowania następujących pojęd i zagadnieo z
zakresu afinicznej przestrzeni euklidesowej R n, n<=3: odległośd pomiędzy
punktami, odległośd punktu od prostej (płaszczyzny), odległośd pomiędzy
prostymi (płaszczyznami), odległośd pomiędzy prostą a płaszczyzną,
wzajemne położenie prostych i płaszczyzn, rzut i symetria prostopadła,
wyznacznik Grama i jego zastosowanie.
7. Znajomośd i umiejętnośd zastosowania twierdzeo z geometrii
elementarnej wybranych przez wykładowcę z monografii: E. Piegat,
Wektory i geometria. Algebra wektorów i jej zastosowania, PZWS,
Warszawa 1964.
8. Znajomośd i umiejętnośd zastosowania stożkowych i powierzchni nad R
oraz ich postaci kanonicznych; pojęcia podprzestrzeni stycznej, środków i
kierunków asymptotycznych oraz punktów osobliwych stożkowej.
Aktywnośd na zajęciach będzie głównie dotyczyd przygotowania do zajęd na
podstawie 5 krótkich pisemnych sprawdzianów ze znajomości teorii z wykładów i
jej elementarnych zastosowao. Każdy student będzie miał ponadto możliwośd
rozwiązywania zadao przy tablicy.
W każdym z pisemnych testów można będzie uzyskad 4 punkty. W sumie będzie
to stanowiło 29% maksymalnej liczby punktów do zdobycia w trakcie
konwersatoriów. Termin testów wg uznania prowadzącego. Za rozwiązywanie
zadao przy tablicy student będzie mógł uzyskad dodatkowo do 10 punktów
bonusowych (14%).
informacje
dodatkowe
nazwa
kod
sprawdziany pisemne
WALGB_w_2
kod(-y) zajęd
osoba(-y)
gr. 4. Beata Rothkegel, [email protected]
przeprowadzająca(gr. 5. Alfred Czogała, [email protected]
e) weryfikację
grupa(-y)
gr. 4. Beata Rothkegel, gr. 5. Alfred Czogała
wymagania
1. Umiejętnośd: wykonywania działao na wektorach w przestrzeni
merytoryczne
współrzędnych Kn, wyznaczania kombinacji liniowej układu wektorów,
sprawdzania czy dany wektor jest kombinacją liniową układu wektorów,
sprawdzania liniowej niezależności i liniowej zależności układu wektorów
(z definicji, przy pomocy wyznacznika), sprawdzania czy dany podzbiór
jest podprzestrzenią liniową, przedstawiania wektora w postaci sumy
wektorów z sumy podprzestrzeni, sprawdzania czy suma podprzestrzeni
Uniwersytet Śląski w Katowicach
Wydział Matematyki, Fizyki i Chemii
kryteria oceny
przebieg procesu
weryfikacji
informacje
str. 5
jest sumą prostą podprzestrzeni, wyznaczania (minimalnego) układu
rozpinającego podprzestrzeo, wyznaczania bazy, wyznaczania wymiaru
przestrzeni, wyznaczania współrzędnych wektora w bazie, wyznaczania
macierzy przejścia pomiędzy bazami, wyznaczania wzorów na zmianę
współrzędnych przy przejściu od bazy do bazy, wyznaczania rzędu
macierzy i jego zastosowania, przedstawiania zbioru rozwiązao układu
równao liniowych w postaci odpowiedniej warstwy podprzestrzeni,
wyznaczania podprzestrzeni kierunkowej i układu fundamentalnego
układu równao. Przykładowe zadania sprawdzające powyższe
umiejętności zawarte są w Zestawie 1 i Zestawie 2.
2. Umiejętnośd: sprawdzania czy dany podzbiór jest podprzestrzenią
afiniczną przestrzeni Kn, wyznaczania bazy punktowej, wyznaczania
współrzędnych barycentrycznych, zmiany afinicznego układu
współrzędnych, wyznaczania postaci ogólnej, parametrycznej i
kanonicznej podprzestrzeni afinicznych (w tym prostej, płaszczyzny,
hiperpłaszczyzny), wykorzystania wyznacznika do konstrukcji równao
ogólnych podprzestrzeni afinicznych. Przykładowe zadania sprawdzające
powyższe umiejętności zawarte są w Zestawie 3 i Zestawie 4.
3. Umiejętnośd: swobodnego operowania iloczynem skalarnym w
przestrzeni euklidesowej Rn, n<=3, wyznaczania macierzy iloczynu
skalarnego w dowolnej bazie, sprawdzania prostopadłości wektorów,
wyznaczania dopełnienia ortogonalnego, bazy ortogonalnej (metodą
ortogonalizacji Grama-Schmidta i metodą ortogonalnych dopełnieo),
stosowania metody Lagrange’a, wyznaczania długości wektora, bazy
ortonormalnej, miary kąta pomiędzy prostymi (płaszczyznami), miary
kąta pomiędzy prostą i płaszczyzną, wyznaczania iloczynu wektorowego.
Przykładowe zadania sprawdzające powyższe umiejętności zawarte są w
Zestawie 5.
4. Umiejętnośd: posługiwania się geometryczną interpretacją rozwiązao
układów równao liniowych, wyznaczania odległości pomiędzy punktami,
odległości punktu od prostej (płaszczyzny), odległości pomiędzy prostymi
(płaszczyznami), odległości pomiędzy prostą a płaszczyzną, określania
wzajemnego położenia prostych i płaszczyzn, wyznaczania wzorów na
rzut i symetrię prostopadłą, wyznaczania obrazu wektora
(podprzestrzeni) w rzucie i symetrii prostopadłej, wyznaczania pól,
objętości, rozwiązywania zadao z geometrii elementarnej. Przykładowe
zadania sprawdzające powyższe umiejętności zawarte są w Zestawie 6.
5. Umiejętnośd: klasyfikacji stożkowych i powierzchni nad R z
wykorzystaniem wyznaczników macierzy związanych z równaniami tych
utworów, wyznaczania stycznej, środków i kierunków asymptotycznych
oraz punktów osobliwych stożkowej. Przykładowe zadania sprawdzające
powyższe umiejętności zawarte są w Zestawie 7.
2 kolokwia pisemne ze znajomości zadao z dostarczonych zestawów zadao.
Pierwsze z nich sprawdza efekty kształcenia WALGB_1, WALGB_2, WALGB_3,
WALGB_4, a drugie efekty WALGB_1, WALGB_3, WALGB_5, WALGB_6,
WALGB_7.
2 kolokwia pisemne (w 7. oraz 13. tygodniu zajęd). Każde pozwala na zdobycie 20
punktów, co stanowi 57% punktów do zdobycia w trakcie konwersatoriów.
Uniwersytet Śląski w Katowicach
Wydział Matematyki, Fizyki i Chemii
str. 6
dodatkowe
nazwa
egzamin pisemny
kod(-y) zajęd
osoba(-y)
przeprowadzająca(e) weryfikację
grupa(-y)
wymagania
merytoryczne
kryteria oceny
przebieg procesu
weryfikacji
informacje
dodatkowe
kod
WALGB_w_3
Beata Rothkegel, [email protected]
Wszyscy studenci specjalności: modelowanie matematyczne, teoretyczna,
nauczycielska – nauczanie matematyki i zajęd komputerowych.
W pierwszej części egzaminu wymagane będą umiejętności uwzględnione w
wymaganiach merytorycznych dla sprawdzianów pisemnych przeprowadzanych
w trakcie konwersatoriów, a w drugiej sprawdzane będą znajomości faktów
wymienionych w wymaganiach merytorycznych weryfikacji efektów kształcenia
w zakresie aktywności na zajęciach.
Do egzaminu student przystępuje z liczbą punktów uzyskaną w trakcie
konwersatoriów. W trakcie egzaminu można zdobyd 40 punktów. Zatem do
zdobycia będzie w sumie 110 punktów (100+10 punktów bonusowych).
Przedmiot będzie zaliczony w przypadku zdobycia co najmniej 50 punktów.
Egzamin składad się będzie z dwóch części (obie w formie pisemnej): pierwsza z
zadao (za 20 punktów) i druga z teorii i jej elementarnych zastosowao (za 20
punktów).