Algebra F2 Kolokwium poprawkowe

Algebra F2
Kolokwium poprawkowe - zadania przykładowe
1. Liniowa kombinacja wektorów / liniowa niezależność wektorów
a) Wektor (1, 0, 0, 0) przedstaw jako liniową kombinację wektorów (1, 0, 0, 2),(0, 2, 0, 0), (2, −4, 3, 4),
(0, 0, 6, 1).
b) Wektor (2, 4, 4, −2) przedstaw jako liniową kombinację wektorów (1, 2, 0, 1),(3, 1, 0, 2), (0, 0, 1, 4),
(0, 0, 5, 0).
c) Zbadaj liniową niezależność następującego zbioru wektorów z R4 :
{(1, 0, 2, −1), (1, 1, 0, 2, ), (0, 2, 1, 3), (2, 5, 4, 7)}
2. Operacja generowania / generatory / powłoka liniowa jako podprzestrzeń (podprzestrzeń jako powłoka)
a) Czy wektor (1, 0, 0, 0) należy do przestrzeni liniowej
lin {(1, 0, 1, −1), (2, 1, 5, −2), (1, 0, 3, −5), (0, 1, 2, 2)} ?
b) Czy generatory powłoki liniowej
lin {(1, 4, 2, −1, 3), (2, 9, 6, −2, 8), (1, 2, −1, −1, 0), (−2, −7, 1, 3, −1)}
są liniowo niezależne?
c) Znajdź generatory przestrzeni liniowej
V = {(r + 2s, s + t, 2t − r, 3r + s − 5t) : r, s, t ∈ R}
i sprawdź, że wektor (1, −1, −3, 8) ∈ V .
d) Znajdź generatory przestrzeni liniowej
n
V = (x, y, z, s, t) ∈ R5 : x − y = z + t = y − s − t
o
i sprawdź, że wektor (3, 4, −1, 5, 0) ∈ V .
3. Baza uporządowana i wymiar / składowe (współrzędne) wektora / bazy standardowe w Rn i Rn [x]
a) Znajdź bazę i określ wymiar przestrzeni liniowej
U = {(r + 2s + 3t, 2r − 2s, 3r + 3t, s + t) : r, s, t ∈ R} ⊂ R4 ,
a następnie podaj współrzedne (składowe) wektora (1, 8, 9, −1) w tej bazie.
b) Znajdź składowe wektora (4, 6, 3, −2) w wybranej bazie przestrzeni liniowej
n
V = (r, s, t, u) ∈ R4 : s + 2u = r + u = r − 2s − 5u
o
c) Wyznacz składowe (współrzędne) wektora (1, −5, 3) w bazie {(2, −1, 3), (1, 0, 2), (1, 2, 1)} przestrzeni R3 .
d) Znajdź dim (lin {(1, −2, 0, 1, 1), (1, −1, 1, 0, 2), (3, −4, 2, 1, 5), (1, −3, −1, 2, 0)}).
4. Zmiana bazy / macierz przejścia
a) Znaleźć macierz przejścia z bazy B do bazy B 0 przestrzeni liniowych V :
a1) V = R2 , B = Bstand , B 0 = {(1, 2), (−3, 5)}
1
a2) V = R2 , B = {(0, 1), (−1, 0)} , B 0 = {(1, 2), (−3, 5)}
a3) V = R3 , B = Bstand , B 0 = {(3, 2, 1), (2, 1, 1), (0, 3, 5)}
b) Znajdź zkładowe (współrzędne) podanych wektorów we wskazanych bazach przestrzeni liniowej V ,
wykorzystując macierz przejścia z bazy standardowej do bazy podanej
b1) V = R2 , ~v = (−3, 2), B 0 = {(1, 1), (1, −2)}
b2) V = R3 , ~v = (−2, 5, 6), B 0 = {(1, 1, 0), (2, 1, 0), (3, 3, 1)}
5. Jądro i obraz operatora liniowego jako podprzestrzenie
a) Znajdź KerL i ImL
a1) L(x, y) = (2x − y, 3x + 5y)
a2) L(x, y) = x + y
a3) L(x, y) = (x, −x, y, −y)
a4) L(x, y, z) = (x − y, y − z, z − x)
6. Wyznacz wartości własne i odpowiadające im przestrzenie wektorów własnych operatora liniowego
a) L : R3 → R3 , L(x, y, z) = (x − 2y + z, x − 2y + z, x − 2y + z);
b) L : R3 → R3 , L(x, y, z) = (z − x, 2x − 2z, 2z − 2x);
c) L : R3 → R3 , L(x, y, z) = (x + 2y + 3z, 2y, −z);
7. Diagonalizując macierz A wyznaczyć
"
n
A
1
1
#
"
,
gdzie
A=
2 2
2 −1
#
Obliczenia wykonać dla n = 5. (Odp.: [298,133])
8. Sprawdzić, że podane zbiory wektorów są bazami ortogonalnymi lub ortonormalnymi w odpowiednich
przestrzeniach euklidesowych i wyznaczyć współrzędne wskazanych wektorów w tych bazach:
(a) ~v1 = ( √13 , − √13 , √13 ), ~v2 = ( √214 , √314 , √114 ), ~v3 = ( √−4
, √142 , √542 ), ~u = (3, 2, 1) ∈ E3 ;
42
(b) ~v1 = (2, 1, 1, 0), ~v2 = (0, 1, −1, 3), ~v3 = (2, −5, 1, 2), ~v4 = (−11, 2, 20, 6),
~u = (1, 0, 0, −1) ∈ E3 ;
n
o
9. Sprawdzić, czy zbiór funkcji 1, x, x2 − 13 , x3 − 35 x jest ortogonalny w przestrzeni R4 [x] z iloczynem
R1
skalarnym hp(x)|q(x)i = −1
p(x)q(x)dx.
Wyznaczyć normy wszystkich funkcji.
1
10. W przestrzeni R3 [x] zdefiniowany jest iloczyn skalarny jako hp(x)|q(x)i = −1
p(x)q(x)dx. Wykonano
częściowo ortogonalizację Grama-Schmidta wektorów 1, x, x2 , x3 uzyskując trzy pierwsze wektory ortogonalne: 1, x, x2 − 13 .
(1) sprawdzić ortogonalność wektorów 1, x, x2 − 13 i wyznaczyć ich normy;
(2) zortogonalizować ostatni wektor (x3 ).
R
11. Zortogonalizować metodą Grama-Schmidta podane wektory w E4
(2, 1, 0, 0), (3, 2, 1, 0), (4, 3, 2, 1).
Na koniec sprawdzić ortogonalność uzyskanych wektorów.
2