random(Staszic)
Transkrypt
random(Staszic)
C HB′ HB HA H HA′ F M random(Staszic) O A Niech moc, cyrkiel i linijka b¦d¡ z Tob¡. B HC HC′ 1. Rozwi¡» w liczbach caªkowitych dodatnich 2. Suma dodatnich liczb rzeczywistych x, y, z a1 , · · · , an równanie wynosi 1. x! + y! = z!. Udowodnij, »e a21 a22 a2n 1 + + ··· + > a1 + a2 a2 + a3 an + a1 2 3. Funkcja f :R→R dla dowolnego x∈R speªnia równo±ci: f (x) = f (2x) = f (1 − x). Dowie±¢, »e 4. Niech n f jest okresowa. b¦dzie liczb¡ naturaln¡, zapisu binarnego 5. n!. Wykaza¢, »e q liczb¡ jedynek n = p + q. w jej zapisie binarnym, a p liczb¡ zer na ko«cu To chyba byªo. Dany jest trójk¡t ABC w którym rzutem prostok¡tnym punktu proste AE i CM D AC = BC . Punkt D jest ±rodkiem boku AB , a punkt E jest BC . Punkt M jest ±rodkiem odcinka DE . Dowie±¢, »e na prost¡ s¡ prostopadªe. 6. Okr¡g o ±rodku ±rodki I jest wpisany w trójk¡t ABC odcinków BC i AA0 s¡ wspóªliniowe z I . 7. Wyka», »e równanie Fermata xn + y n = z n i styczny do boku nie ma rozwi¡za« w BC w punkcie x, y, z ∈ Z+ , gdy A0 . Wykaza¢, »e x<n (oczywi±cie n ∈ N). 8. Rozwi¡» nast¦puj¡cy ukªad równa« w liczbach rzeczywistych: 2 x + 1 = 2y y 2 + 1 = 2z 2 z + 1 = 2x 9. I to chyba te». W ka»de pole niesko«czonej szachownicy wpisano liczb¦ caªkowit¡ dodatni¡ w taki sposób, »e dowolna liczba jest ±redni¡ harmoniczn¡ liczb s¡siaduj¡cych z ni¡. Udowodnij, »e wszystkie te liczby s¡ parami równe.