uzupełniona

Metody analityczne w nieliniowych równaniach różniczkowych cząstkowych
Lista 1 (uzupełniona)
4 października 2016
1. Stosując metodę charakterystyk znaleźć rozwiązania podanych zagadnień. W każdym z rozważanych
przykładów: wyznaczyć dziedzinę rozwiązania, naszkicować krzywe będące rzutami charakterystyk na płaszczyznę x0y (rzuty charakterystyczne) i opisać zachowanie się rozwiązania
wzdłuż tych krzywych, wyjaśnić zachowanie się rozwiązania na brzegu dziedziny i zbadać możliwość jego przedłużenia poza wyznaczoną dziedzinę.
(a) xux + yuy = (x + y)u;
u(1, y) = 1, 1 < y < 2 ,
(b) ux + uy = u2 w półpłaszczyźnie x > 0;
2
u(0, y) = e−y dla y ∈ R,
(c) xux + yuy = 1 + y 2 ;
u(x, 1) = x + 1, x ∈ R,
(d) yux − 2xyuy = 2xu;
u(0, y) = y 3 , 1 6 y 6 2,
2. Wykazać, że w pierwszym z poniższych zagadnień nie istnieje rozwiązanie, natomiast w drugim
jest ich nieskończenie wiele. Wyjaśnić dlaczego jest to możliwe.
(a) ux + 2xuy = y;
u(x, x2 ) = 1, −1 < x < 1,
(b) ux + 2xuy = y;
u(x, x2 ) = 31 x3 + π, −1 < x < 1.
Wsk. do (a): wyrazić rzuty charakterystyczne w postaci zależności y = y(x), obliczyć
d
dx u(x, y(x)).
Wsk. do (b): np. rozwiązać zagadnienie
ux + 2xuy = y;
u(0, y) = cy + π, y ∈ R,
gdzie c ∈ R jest parametrem. Uwaga: znajomość
d
dx u(x, y(x))
pozwala wyznaczyć u(x, y).
W poniższych zadaniach przyjmujemy standartowe założenie: funkcje a(x, y, u), b(x, y, u) i c(x, y, u)
oraz x0 (s), y0 (s) i u0 (s) są klasy C 1 w rozważanych obszarach.
3. Niech u(x, y) będzie dowolnym rozwiązaniem równania a(x, y, u)ux + b(x, y, u)uy = c(x, y, u)
określonym w obszarze D ⊂ R2 i niech ` : (x(t), y(t), u
e(t)), t ∈ (α, β) będzie krzywą klasy C 1
taką, że (x(t), y(t)) ⊂ D. Udowodnić, że jeśli (x(t), y(t)) jest rozwiązaniem układu
dx
dt
dy
dt
= a(x, y, u
e(t))
= b(x, y, u
e(t))
i ` leży na powierzchni u = u(x, y), to u
e(t) spełnia równanie
krzywa ` jest charakterystyką.
du
dt
= c(x(t), y(t), u). Wniosek:
4. Niech u(x, y) będzie dowolnym rozwiązaniem równania a(x, y, u)ux + b(x, y, u)uy = c(x, y, u)
określonym w obszarze D ⊂ R2 i niech ` : (x(t), y(t), u(t)), t ∈ (α, β) będzie dowolną charakterystyką tego równania taką, że (x(t), y(t)) ⊂ D dla t ∈ (α, β). Udowodnić, że jeśli ` ma punkt
wspólny z powierzchnią u = u(x, y), to cała leży na tej powierzchni.
5. Rozważmy zagadnienie Cauchy’ego
(
a(x, y, u)ux + b(x, y, u)uy = c(x, y, u)
(∗)
u(x0 (s), y0 (s)) = u0 (s) , s ∈ [s1 , s2 ],
Udowodnić, że jeśli krzywa (x0 (s), y0 (s)) ma w każdym punkcie orientację charakterystyczną,
to zagadnienie (∗) albo nie ma rozwiązania albo ma ich nieskończenie wiele.
Wsk.: Przez dowolny punkt krzywej początkowej poprowadzić krzywą niemającą orientacji
charakterystycznej, rozważyć odpowiednie zagadnienie Cauchy’ego, skorzystać z zadań 3 i 4.
W kolejnych zadaniach uzupełniamy szczegóły konstrukcji rozwiązania zagadnienia Cauchy’ego
(
F (x, y, u, ux , uy ) = 0,
(∗∗)
u(x0 (s), y0 (s)) = u0 (s) dla s ∈ I.
Funkcje
• x = x(t, s), y = y(t, s), u = u(t, s), p = p(t, s), q = q(t, s), gdzie (t, s) ∈ ∆ ⊂ R2 są
rozwiązaniami odpowiedniego zagadnienia początkowego dla układu równań wstęg charakterystycznych,
• t = t(x, y), s = s(x, y), gdzie (x, y) ∈ D są składowymi przekształcenia odwrotnego do x =
x(t, s), y = y(t, s) gdy (t, s) ∈ ∆,
• u
e(x, y) := u(t(x, y), s(x, y)), pe(x, y) := p(t(x, y), s(x, y)), qe(x, y) := q(t(x, y), s(x, y)) dla (x, y) ∈
D.
6. Udowodnić, że u
e(x, y), pe(x, y) i qe(x, y) spełniają równość
F (x, y, u
e(x, y), pe(x, y), qe(x, y)) = 0
dla (x, y) ∈ D.
7. Udowodnić, że dla (x, y) ∈ D zachodzą równości
u
ex (x, y) = pe(x, y),
u
ey (x, y) = qe(x, y).
8. Udowodnić lokalną jednoznaczność rozwiązań zagadnienia (∗∗).
Wsk. Notatki JG (na stronie kursu).
9. (Zagadnienie pryzmy piasku). Zastosować metodę wstęg charakterystycznych do rozwiązania
zagadnienia
(
u2x + u2y = 1
u(x0 (s), y0 (s)) = 0,
gdzie x0 (s) = cos s, y0 (s) = sin s, s ∈ [0, 2π] (powierzchnia u = u(x, y) opisuje kształt
”opp
2 + y2 i
tymalnej”
pryzmy).
Uzasadnić
dlaczego
otrzymujemy
dwa
rozwiązania:
u
=
1
−
x
p
u = x2 + y 2 − 1. Wybrać ”fizycznie” właściwe.
Jan Goncerzewicz