Lista zadań na ćwiczenia

Matematyka Ubezpieczeniowa
Lista nr 2
1. Udowodnić
(a) t px =
◦
(b) e=
s(x+t)
s(x)
1 R∞
s(x) x
= exp −
R x+t
x
µs ds
s(y)dy
2. Wykazać, że przy hipotezie JP i założeniu stałego natężenia zgonów µt = µ mamy
qx = 1 − exp(−µ).
3. Wykazać, że przy HJP
d t px
= t px (µx − µx+t ).
dx
4. Udowodnić wzory na s(x) i t px dla praw de Moivre’a, Gompertza, Makehama i Weibulla.
5. Pewien eksperymentalny gatunek gryzoni ma czas życia dany przez lewostronnie ucięty
w punkcie 1 rozkład normalny N (11, σ = 6). Jaki procent zwierząt dożyje 2 lat? Jaki
jest średni wiek 25% najdłużej żyjących gryzoni tego gatunku?
6. Dla µt = α + βt, α, β, t > 0 znajdź s(t).
7. Dla µt =
b
,
t+a
a, b, t > 0 znajdź s(t).
t
8. Czas życia noworodka jest zmienną losową o dystrubuancie F (t) = 115
, t ∈ (0, 115).
Oblicz 20 p20 , 10|10 q40 oraz wartość oczekiwaną przyszłego czasu życia noworodka.