Ćwiczenia z analizy numerycznej

Ćwiczenia z analizy numerycznej
dla II roku informatyki magisterskiej
lista 7 - 2 grudnia 2005
Temat: Aproksymacja średniokwadratowa i jednostajna.
1. Wyznaczyć trzy pierwsze wielomiany ortogonalne p0 , p1 , p2 na zbiorze punktów
S = {−1, 0, 1}, czyli ortogonalne względem iloczynu skalarnego
< f, g >= f (−1)g(−1) + f (0)g(0) + f (1)g(1).
2. Wyznaczyć najlepszą aproksymację w sensie najmniejszych kwadratów funkcji f o
wartościach f (−1) = 1, f (0) = 0, f (1) = 1 na zbiorze punktów {−1, 0, 1} za pomocą
wielomianów stopnia ¬ 1 dwoma metodami (układ normalny, wielomiany ortogonalne).
3. Wyznaczyć trzy pierwsze wielomiany ortogonalne (Legendre’a) względem iloczynu
skalarnego
Z 1
f (x)g(x)dx.
< f, g >=
−1
4. Wyznaczyć najlepszą aproksymację g ∗ (x) = α∗ x2 + β ∗ w sensie najmniejszych kwadratów funkcji f takiej, że f (−1) = 0, f (0) = 1, f (1) = 2, na zbiorze punktów
{−1, 0, 1} za pomocą funkcji postaci g(x) = αx2 + β, tzn. rozwiązać następujący
problem:
2 2
2
min f (−1) − g(−1) + f (0) − g(0) + f (1) − g(1)
α,β
5. Wyznaczyć najlepszą aproksymacje średniokwadratową funkcji ex na przedziale [0, 1]
za pomocą wielomianów stopnia ¬ 2 względem normy związanej z iloczynem skalarnym
Z
1
f (x)g(x)dx.
< f, g >=
0
Do obliczenia odpowiednich całek zastosować całkowanie przez części. Sprawdzić, że
całka nieoznaczona z funkcji x2 ex jest równa (x2 − 2x + 2)ex , a z funkcji xex jest
równa xex − ex .
6. Niech wielomian q ∗ (x) będzie najlepszą apoksymacją funkcji f (x) względem normy
|| · || za pomocą wielomianów stopnia ¬ n. Niech w(x) będzie dowolnym wielomianem
stopnia ¬ n. Czy wielomian u(x) = q ∗ (x) + w(x) jest najlepsza aproksymacją dla
funkcji f (x) + w(x)?
7. Dlaczego wielomian zerowy jest dla n = 3 n-tym wielomianem optymalnym (w sensie
aproksymacji jednostajnej) dla funkcji cos 2x na przedziale [0, 2π]?
8. (Stożek) Dla funkcji f (x) = x3 na [−1, 1] skonstruować wielomian optymalny w sensie
aproksymacji jednostajnej stopnia 1. Wskazać punkty alternansu.
1
1
skontruowano trzy wielomiany stopnia pierwszego,
9. (Stożek) Dla funkcji f (x) = 3+x
przybliżające funkcję f na przedziale [−1, 1]. Są to:
(a) (6 − 2x)/17
(b) √18 − x8
(c) (3 − x)/8.
Który z tych wielomianów jest:
(a) wielomianem interplacyjnym Lagrange’a
(b) wielomianem interpolacyjnym Lagrange’a opartym na węzłach Czebyszewa
(c) wielomianem optymalnym w sensie aproksymacji jednostajnej.
Narysować wykresy funkcji f i powyższych trzech wielomianów.
10. Niech f (x) = sin 12 πx. Funkcję f aproksymujemy, w sensie aproksymacji jednostajnej, za pomocą wielomianów w(x) = c0 + c1 x na przedziale [0, 1]. Jakie warunki
musi spełniać ξ ∈ (0, 1), żeby 0, ξ, 1 były alternansem? Jak wyznaczyć ξ i wielomian
optymalny?
11. (Stożek) Wiadomo, że n − 1-szym wielomianem optymalnym dla funkcji f (x) = xn
jest
g(x) = xn − 21−n Tn (x).
Pokazać, że g(x) jest wielomianem interpolacyjnym Lagrange’a z węzłami intrepolacji
Czebyszewa.
12. Niech n = 2 i niech S = {x0 , x1 , x2 , x3 }, gdzie
1
x1 = − ,
3
1
x2 = , x3 = 1.
3
9
1
1
f (x0 ) = , f (x1 ) = f (x2 ) = , f (x3 ) = .
2
10
2
Niech wn (x) będzie n-tym wielomianem optymalnym dla funkcji f na zbiorze S. Za
pomocą jakiego układu równań można wyznaczyć w2 (x) i w jaki sposób?
x0 = −1,
13. Niech wn (x) będzie n-tym wielomianem optymalnym dla funkcji f (x) na przedziale
[a, b]. Jaki wielomian jest n-tym wielomianem optymalnym dla funkcji h(x) = f (x) −
wn (x)? Dlaczego?
14. (Phillips) Niech n = 3. Sprawdzić, że wielomian
1 1√
1
+
2 − x2
4 2
2
jest n-tym wielomianem optymalnym w sensie aproksymacji jednostajnej dla funkcji
1/(1 + x2 ) na przedziale [−1, 1]. Wskazówka. Sprawdzić, czy punkty
q√
2 − 1,
x0 = 0, x1 = ξ, x2 = −ξ, x3 = 1, x4 = −1, gdzie ξ =
tworzą alternans?
2
15. (Phillips) Niech wn (x) będzie n-tym wielomianem optymalnym w sensie aproksymacji
jednostajnej dla funkcji f (x) na przedziale [−1, 1]. Pokazać, że wielomian αwn (x) + β
jest wielomianem optymalnym dla funkcji αf (x) + β dla dowolnych liczb rzeczywistych α i β.
16. (Taylor) Wyznaczyć wielomian √
optymalny a+bx, w sensie aproksymacji jednostajnej
na przedziale [0, 1], dla funkcji x. To samo wykonać dla funkcji f (x) = 1/(1 + x).
17. (Taylor) Niech
k
X
1
qk (x) = a0 + (aj cos jx + bj sin jx).
2
j=1
(a) Znaleźć najlepszą aproksymację średniokwadratową q3∗ (x) dla funkcji f (x) = |x|
na przedziale [−π, π] względem iloczynu skalarnego
< f, g >=
Z
π
f (x)g(x) dx
π
za pomocą funkcji postaci qk (x) (k = 3). Uwaga. Powtórzyć całkowanie przez
części.
(b) Sprawdzić, czy prawdziwa jest równość
Z
π
−π
[f (x) −
q3∗ (x)]2
dx =
Z
π
−π
2
[f (x)] dx − π
1
2
a20
+
3
X
(a2j + b2j ,
j=1
gdzie ar i br są odpowiednimi współczynnikami funkcji q3∗ (x)
18. (Cheney, str. 138, Paszkowski, str. 55-56) Wiadomo, że układ
√
√
{T0 / 2, T1 , . . . , Tn−1 , Tn / 2}
jest ortonormalny względem iloczynu skalarnego
< f, g >=
n
2X
”f (xi )g(xi ),
n i=0
xi = cos
iπ
.
n
Uwaga. Symbol ” oznacza, że połowimy pierwszy i ostatni składnik. Czemu równa
się < Tn , Tn >? Pokazać, że wielomian, który najlepiej aproksymuje, w sensie dyskretnej aproksymacji śedniokwadrtowej¡ funkcję f na zbiorze punktów {x0 , . . . , xn }
jest równy
P
a0 /2 +
n−1
X
ak Tk ,
gdzie ak =
n
X
”f (xi )Tk (xi ).
i=0
k=1
Niech n = 2. Wyznaczyć ten wielomian dla funkcji f (x) = x2 .
Krystyna Ziętak
3