Analiza numeryczna

Analiza numeryczna
II rok informatyki magisterskiej
egzamin I A - 7 lutego 2006
Wyniki i wpisy do indeksu: 10 lutego, godz. 12-14, C-11/P1.03
1. Wyznaczyć wskaźniki uwarunkowania zadania obliczania mniejszego pierwiastka wielomianu x2 − 2rx + s2 . Kiedy to zadanie jest źle uwarunkowane?
2. Niech f (x) = 1/(3 + x) i niech [a, b] = [−1, 1]. Porównać oszacowanie reszty interpolacji
dla funkcji f na przedziale [a, b] dla dwóch przypadków wyboru węzłów interpolacji:
(a) x0 = −1, x1 = 1
(b) x0 i x1 - pierwiastki wielomianu Czebyszewa T2 (x).
3. Niech
A=
"
0.005 1
1
1
#
,
b = [0.5, 1]T .
Czy zadanie rozwiązania układu równań liniowych Ax = b jest dobrze uwarunkowane?
Od czego zależy wrażliwość rozwiązania układu na zaburzenia elementów macierzy A?
Niech y będzie rozwiązaniem układu (A+∆)y = b. Podać oszacowanie błędu względnego
||x − y||/||x||.
4. Czy można tak dobrać stałe A1 , A2 , A3 , żeby dla dowolnego wielomianu w stopnia ¬ 5
zachodziła równość
Z
1
−1
w(x)
√
dx = A1 w(−1) + A2 w(0) + A3 w(1)?
1 − x2
Odpowiedź uzasadnić.
5. Niech f (x) = 1/x. Na przedziale [1, 2] wyznaczyć wielomian optymalny stopnia pierwszego, aproksymujący funkcje f w sensie aproksymacji
• średniokwadratowej, waga p(x) = 1,
• jednostajnej.
6. Sformułować twierdzenia będące podstawą metod zastosowanych w poprzenim twierdzeniu. Dlaczego te metody można było zastosować? Czy wyznaczone wielomiany optymalne są jednoznaczne? Dlaczego?
7. Wiadomo, że funkcja f (x) = 2x − [cos x]2 ma zero r ≈ 0.42. Czy ciąg
1
xi+1 = [cos xi ]2
2
jest zbieżny do r? Dlaczego? Czy przybliżenie początkowe x0 może być dowolne?
8. Znaleźć błąd, z jakim wyrażenie
1
[f (x + 2h) − 4f (x + h) + 6f (x) − 4f (x − h) + f (x − 2h)]
h4
przybliża czwartą pochodną f (IV ) (x).
Analiza numeryczna
II rok informatyki magisterskiej
egzamin I B - 7 lutego 2006
Wyniki i wpisy do indeksu: 10 lutego, godz. 12–14, C-11/P1.03
1. Jak obliczyć w komputerze y = x/(1 − x2 )? Przeprowadzić analizę błędów zaokrągleń
zaproponowanego algorytmu i zbadać uwarunkowanie zadania obliczania y. Jaki stąd
otrzymujemy wniosek?
2. Niech h(x) = af (x) + bg(x) (a i b są ustalonymi liczbami). Niech dane będą różne węzły
interpolacji x0 , x1 , . . . , xn . Niech wielomiany w(x) i u(x), stopnia ¬ n, interpolują w
tych węzłach odpowiednio funkcje f (x) i g(x): w(xj ) = f (xj ), u(xj ) = g(xj ) (j =
0, 1, . . . , n). Dlaczego stąd wynika następujący związek między ilorazami różnicowymi
h[x0 , . . . , xn ] = af [x0 , . . . , xn ] + bg[x0 , . . . , xn ]? Czy resztę interpolacji dla funkcji f
można wyrazić za pomocą odpowiedniego ilorazu różnicowego?
3. Wyznaczyć wskaźnik wzrostu (growth factor) dla eliminacji Gaussa bez wyboru elementu głównego zastosowanej do rozwiązania układu Ax = b z macierzą


10 1 1


A =  1 10 1  .
1 1 10
Sformułować twierdzenie, w którym występuje wskaźnik wzrostu.
4. Aproksymujemy funkcję f ∈ C[−1, 1] w sensie normy
||f ||2 =
sZ
1
−1
(1 − x2 )−1/2 f 2 (x)dx.
Wyrazić n−ty wielomian optymalny dla f za pomocą wielomianów Czebyszewa. Sformułować twierdzenie, z którego wynika odpowiedź.
5. Wyznaczyć węzły x1 , x2 i współczynniki A1 , A2 kwadratury Gaussa A1 f (x1 ) + A2 f (x2 )
dla całki
Z
1
x4 f (x)dx.
0
6. Niech f (x) = xn . Funkcję f aproksymujemy w sensie aproksymacji jednostajnej na
przedziale [−1, 1] za pomocą wielomianów stopnia ¬ n − 1. Jaki wielomian jest (n − 1)szym wielomianem optymalnym dla f ? Dlaczego? Jak wyznaczyć analogiczny wielomian
optymalny, jeśli zamiast na przedziale [−1, 1] będziemy aproksymować na przedziale
[0, 1]?
√
7. Niech f (x) = 1 − x2 . Zbadać, czy zmodyfikowana metoda Newtona
xk+1 = xk − τ
f (xk )
f ′ (xk )
może być zastosowana do wyznaczenia zera funkcji f . Rozważyć parametr τ ∈ [0, 1].
Dla jakiego τ zbieżność będzie kwadratowa?
1
8. Pokazać, że błąd, z jakim wyrażenie 12h
[−f (x + 2h) + 8f (x + h) − 8f (x − h) + f (x − 2h)]
′
przybliża pierwszą pochodną f (x), zależy od h4 .
Analiza numeryczna
II rok informatyki magisterskiej
egzamin I C - 7 lutego 2006
Wyniki i wpisy do indeksu: 10 lutego, godz. 12–14, C-11/P1.03
1. Dany jest układ równań x+dy = 1, dx+y = 0. Wyrazić niewiadome x i y jako funkcje
parametru d i zbadać, czy x i y są tak samo wrażliwe na zaburzenia parametru d.
2. Niech funkcja f określona w przedziale [0, 3] ma następujące wartości: f (0) = 1, f (1) =
2, f ′ (1) = 1, f (3) = f ′ (3) = 0. Za pomocą interpolacji Hermite’a wyznaczyć przybliżoną wartość f (2). Skorzystać z uogólnionego wzoru Newtona.
3. Niech x będzie dokładnym rozwiązaniem układu Ax = b, A - macierz nieosobliwa, b 6= 0.
Niech y będzie dokładnym rozwiązaniem układu Ay = c. Udowodnić, że
||c − b||2
||x − y||2
¬ cond2 (A)
.
||x||2
||b||2
Czy można podać jakieś inne lepsze oszacowanie błędu względnego ||x − y||/||x|| (tzn.
nie przekraczające podanego powyżej oszacowania z góry)?
4. Niech a > 0. Udowodnić, że ciąg
xi+1 =
jest zbieżny do
√
a
1
xi +
2
xi
a dla dowolnego x0 > 0. Jaki jest wykładnik zbieżności tej metody?
5. Wyznaczyć stałe a, b, c, żeby wyrażenie
s
Z
0
1
√
[x x − ax2 − bx − c]2 dx
miało najmniejszą możliwą wartość. Sformułować twierdzenie, które jest podstawą zastosowanej metody.
6. Znaleźć takie węzły x1 , x2 oraz współczynniki A1 , A2 , że dla każdego wielomianu f
stopnia ¬ 3 zachodzi równość
Z
1
0
xf (x)dx = A1 f (x1 ) + A2 f (x2 ).
Czy to jest kwadratura Gaussa? Dlaczego?
7. Niech f (x) = 1/(1 + x2 ). Funkcję f aproksymujemy w sensie aproksymacji jednostajnej na przedziale [−1, 1] wielomianami stopnia ¬ 2. Jak można wybrać przybliżenie
początkowe alternansu i jakie potem je poprawić?
8. Wyprowadzić wzór na błąd, z jakim wyrażenie
1
[f (x + 2h) − 2f (x + h) + 2f (x − h) − f (x − 2h)]
2h3
przybliża trzecią pochodną f ′′′ (x).
Analiza numeryczna
II rok informatyki magisterskiej
egzamin I D - 7 lutego 2006
Wyniki i wpisy do indeksu: 10 lutego, godz. 12–14, C-11/P1.03
2
2
+y
s = g(x, y) = xx2 −y
1. Niech z = f (x, y) = x+y
2 . Porównać uwarunkowania zadań
x−y ,
obliczania wartości s i z. Kiedy te zadania są dobrze uwarunkowane?
2. Niech funkcja f będzie aproksymowana wielomianem stopnia ¬ n na zbiorze n+2 punktów w sensie Czebyszewa (aproksymacja jednostajna). Jakie warunki interpolacyjne
spełnia wielomian optymalny i jak dzięki temu można go wyznaczyć bez rozwiązywania
odpowiedniego układu równań liniowych?
3. Zbadać uwarunkowanie zadania rozwiązania układu równań liniowych Ax = b z macierzą
"
#
1
1
A=
.
1 0.999
Niech y będzie rozwiązaniem układu Ay = b + ∆. Podać oszacowanie błędu względnego
||x−y||/||x||. Wybrać normę wektora zgodną z normą macierzy wybraną przy obliczaniu
wskaźnika uwarunkowania.
4. Określić stałe A1 , A2 , A3 i α takie, by kwadratura
Z
1
−1
f (x) dx ≈ A1 f (−α) + A2 f (0) + A3 f (α)
była kwadraturą Gaussa, czyli była dokładna dla wszystkich wielomianów możliwie
najwyższej stopnia. Jakiego?
5. Zbadać, czy funkcja
generuje
√ ciąg xi+1
x0 > 2.
x 1
g(x) = +
2 x
√
= g(xi ) zbieżny do 2 dla, na przykład, przybliżenia początkowego
6. Niech funkcja f przyjmuje w punktach xj = j (j = 1, 2, 3, 4, 5) odpowiednio wartości
2, 1, 1, 2, 0. Wyznaczyć takie stałe a, b, c, dla których wyrażenie
5
X
[ax2k + bxk + c − f (xk )]2
k=1
przyjmuje najmniejszą możliwą wartość. Czy te stałe są określone jednoznacznie? Z jakiego twierdzenia wynika odpowiedź? Uwaga. Nie musi sie wykonać wszystkich obliczeń
do końca.
7. Wyznaczyć taki wielomian u ∈ P3 , żeby funkcja
s(x) =
(
u(x)
(2 − x)3
x ∈ [0, 1]
x ∈ [1, 2]
była naturalną funkcją sklejaną, o wartościach s(0) = 0, s(1) = 1, s(2) = 0.
8. Znaleźć błąd, z jakim wyrażenie
trzecią pochodną f ′′′ (x).
1
h3 [f (x + 3h) − 3f (x + 2h) + 3f (x + h) − f (x)]
przybliża