Matematyczne Metody Fizyki i Astrofizyki I Zestaw 6

Matematyczne Metody Fizyki i Astrofizyki
I
Zestaw 6
1. Zadanie 4 z poprzedniego zestawu.
2. Zadanie 5 z poprzedniego zestawu.
3. Omówić stabilność Lapunowa dla wszystkich typów punktów krytycznych (tj. z poprzednich zadań).
4. Omówić stabliność asymptotyczną j.w.
5. Wykładniki Lapunowa (dla układu liniowego) definiujemy jako wartości
własne macierzy
ln(F T F )
lim
,
(1)
t→∞
2t
gdzie F to macierz fundamentalna danego układu. Obliczyć je dla przypadku siodła na płaszczyźnie. Dla których warunków początkowych
długość wektora wodzącego będzie się zachowywać jak eΛt , gdzie Λ to
większy z wykładników?
6. Macierz fundamentalna układu ma postać
et cos(2t) −e−t sin(2t)
.
et sin(2t) e−t cos(2t)
!
(2)
Jakie równanie różniczkowe określa taki układ? Oblicz wykładniki Lapunowa i narysuj przykładowe trajektorie w przestrzeni fazowej.
1