1 Twierdzenie Bochnera

M. Beśka, Twierdzenie Bochnera-Minlosa
1
1.1
1
Twierdzenie Bochnera-Minlosa
Dystrybucje
Niech Ω ⊂ Rn będzie niepustym zbiorem otwartym. Przez C0∞ (Ω) oznaczmy przestrzeń
funkcji gładkich określonych na Ω o zwartych nośnikach i o wartościach zespolonych.
Definicja 1.1 Mówimy, że ciąg {ϕm }m≥1 ⊂ C0∞ (Ω) jest zbieżny do zera, jeśli:
1) istnieje zbiór zwarty K ⊂ Ω taki, że nosniki wszystkich funkcji ϕm leżą w K,
2) funkcje oraz ich pochodne cząstkowe wszystkich rzędów dążą jednostajnie do zera.
Przestrzeń C0∞ (Ω) z tak określoną zbieżnością nazywamy przestrzenią funkcji próbnych i oznaczamy przez D(Ω).
Lemat 1.2 Niech {ϕm }m≥1 będzie ciągiem Cauchy’ego w D(Ω). Wtedy istnieje takie ϕ ∈
C0∞ (Ω), że ϕm → ϕ, gdy m → ∞ w D(Ω).
Definicja 1.3 Liniowy funkcjonał T : D(Ω) → C nazywamy dystrybucją jeśli jest ciągły
na przestrzeni D(Ω), tzn. taki, że gdy ϕm → ϕ, gdy m → ∞ w D(Ω), to T (ϕm ) → T (ϕ).
Przestrzeń dystrybucji (sprzężoną do D(Ω)) oznaczamy przez D0 (Ω).
Twierdzenie 1.4 Liniowy funkcjonał T : D(Ω) → C jest dystrybucją wtedy i tylko wtedy,
gdy dla każdego zwartego K ⊂ Ω istnieją takie stałe A = A(K) i p = p(K), że
X
|T (ϕ)| ≤ A
sup |Dα ϕ(K)|, dla ϕ ∈ C0∞ (K).
|α|≤p
W twierdzeniu powyżej użyliśmy skrótu: Niech α = (α1 , . . . , αn ) będzie wielowskaźnikiem (n – wymiar przestrzeni). Wtedy |α| = α1 + . . . + αn oraz
Dα ϕ =
∂ |α| ϕ
.
∂xα1 1 . . . ∂xαnn
Dowód. Dostateczność podanego warunku jest oczywista. Podamy dowód konieczności,
niewprost. Przypuśćmy, że podane oszacowanie nie zachodzi, to znaczy istnieje K ⊂ Ω
takie, że dla każdego A = p = m istnieje funkcja ϕm ∈ C0∞ (K) taka, że
X
|T (ϕm )| > m
sup |Dα ϕm (K)|
|α|≤m
Korzystając z jednorodności powyższej nierówności mamy T (ϕm ) = 1, natomiast
sup |Dα ϕm (K)| < 1/m dla |α| ≤ m.
2
M. Beśka, Twierdzenie Bochnera-Minlosa
Stąd ϕm → 0 w D(Ω), gdy m → ∞ oraz T (ϕm ) = 1 dla m ≥ 1 co przeczy ciągłości T .
2
Gdy stała p w powyższym twierdzeniu może być wybrana niezależnie od K, wtedy
mówimy, że dystrybucja T jest rzędu skończonego na Ω, a najmniejsza taka liczba p
nazywa się rzędem dystrybucji T w Ω.
1.2
Przykłady dystrybucji
1) Niech Ω = Rn oraz niech µ będzie miarą borelowską skończoną na zbiorach zwartych.
Wtedy
Z
T (ϕ) =
ϕ dµ,
ϕ ∈ C0∞ (Rn ).
Rn
jest dystrybucją (rzędu 0).
2) Niech n = 1, Ω = (0, 1). Wtedy
T (ϕ) =
∞
X
Dj ϕ(1/j)
j=1
jest dystrybucją rzedu nieskończonego.
3) bardzo ważną klasę stanowią dystrybucje regularne tj. reprezentowalne przez funkcje
lokalnie całkowalne (skończenie całkowalne na zbiorach zwartych w Rn ). Niech f będzie
taką funkcją. Określmy dystrybucję
Z
Tf (ϕ); =
f (x)ϕ(x) dλn (x), ϕ ∈ C0∞ (Ω).
Ω
Liniowość Tf jest oczywista. Ciągłość wynika z twierdzenia Lebesgue’a o zbieżności ograniczonej.
Szczególnym przypadkiem dystrybucji z przykładu 1) jest delta Diraca
δa (ϕ) := ϕ(a),
ϕ ∈ C0∞ (Ω).
Wykażemy, że dystrybucja Diraca nie jest regularna. Bez straty ogólności możemy przyjąć
a = 0. Załóżmy, że δ0 jest regularna. Wtedy istniałaby funkcja lokalnie calkowalna f taka,
że Tf = δ0 . Jak wiadomo istnieją funkcje próbne gi ∈ D takie, że gi (x) = 0 dla kxk > 1/i,
gi (0) = 1, 0 ≤ gi (x) ≤ 1 dla x ∈ Rn , i = 1, 2, . . . Zatem
Z
Z
Z
1 = gi (0) = Tf (gi ) =
f gi dλn =
f gi dλn ≤
f dλn → 0.
Rn
Otrzymaliśmy sprzeczność.
kx||≤1/i
kx||≤1/i
3
M. Beśka, Twierdzenie Bochnera-Minlosa
1.3
Granice induktywne
Niech dana będzie przestrzeń X i jej podzbiory Xi = (Xi , TS
i ), i ∈ I będące przestrzeniami
topologicznymi takimi, że Xi 6= Xj dla i 6= j oraz X = i∈I Xi . Niech Gi : Xi → X
będzie injekcją kanoniczną. Przestrzeń X wyposażona w topologię induktywną (tzn. najmocniejszą topologię, przy której każde odwzorowanie Gi jest ciągłe) nazywa się granicą
induktywną przestrzeni Xi i oznacza się limi∈I indXi .
Twierdzenie 1.5 Niech X będzie granicą induktywną przestrzeni topologicznych (Xi , Ti ),
i ∈ I i niech (Y, T ) będzie przestrzenią topologiczną. Odwzorowanie T : X → Y jest ciągłe
wtedy i tylko wtedy, gdy T |Xi jest ciągłe na (Xi , Ti ) dla każdego i ∈ I.
Granice induktywne przestrzeni lokalnie wypukłych metryzowalnych (a więc takich,
których topologia dana jest przez ciąg półnorm) nazywają się przestrzeniami bornologicznymi (czyli Mackey).
Niech Ω ⊂ Rn będzie niepustym otwartym zbiorem. Wtedy istnieje ciąg zbiorów
zwartych Kj takich, że Kj ⊂ Kj+1 , j ≥ 1, każdy podzbiór zwarty K ⊂ Ω jest zawarty w
pewnym Kj oraz Kj % Ω. Oznaczmy
Xi = D(Ω, Ki ) := {ϕ ∈ C)∞ (Ω) : supp(ϕ) ⊂ Ki }.
Przestrzeń Xi ma topologię okreslona przez przeliczalną rodzinę półnorm:
kϕkp,Ki := sup |Dα ϕ(Ki )|,
p = 1, 2, . . .
|α|≤p
Jak wiemy D(Ω, Ki ) jest przestrzenią Frecheta (metryzowalną i zupełną).
Definicja 1.6 D(Ω) = limi ind D(Ω, Ki ).
Zatem D(Ω) jest przestrzenią Mackey. Twierdzenie 5 mówi, że dystrybucja jest ciągłym
funkcjonałem na D(Ω). Wniosek ten jest szczególnym przypadkiem twierdzenia, które
mówi, że odwzorowanie liniowe A przestrzeni Mackey E jest ciągłe wtedy i tylko wtedy,
gdy jest ono ciągowo ciągłe tzn. gdy dla każdego ciągu ϕm → 0 mamy Aϕm → 0.
1.4
Działania na dystrybucjach
1) Różniczkowanie dystrybucji. Niech α będzie wielowskaźnikiem. Wtedy odzorowanie
Dα określone wzorem
(Dα T )(ϕ) := (−1)|α| T (Dα ϕ),
ϕ ∈ D(Ω).
lub w innym zapisie
hϕ, Dα T i = (−1)|α| hDα ϕ, T i
4
M. Beśka, Twierdzenie Bochnera-Minlosa
jest dystrybucją.
2) Mnożenie dystrybucji przez funkcję (gładką). Niech T będzie dystrybucją i niech
f ∈ C ∞ (Ω). Wtedy
(f · T )(ϕ) := T (f ϕ), ϕ ∈ D(Ω).
Okazuje się, że nie da się określić mnożenia dystrybucji przez dystrybucję tak aby działenie
to było łączne. Inne działania które dają się okreslić, to iloczyn tensorowy dystrybucji,
translacja dystrybucji, splot dystrybucji.
1.5
Przestrzeń funkcji szybko malejących
Transformatę Fouriera dla f ∈ L1 (λn ) określa się wzorem
Z
ˆ
f (y) =
f (x)e−2πihy,xi dλn (x),
Rn
gdzie x = (x1 , . . . , xn ), y = (y1 , . . . , yn ) ∈ Rn oraz hy, xi = y1 x1 + . . . + yn xn .
Gdy f ∈ C0∞ (Rn ), wtedy całkując przez części |α| razy, otrzymujemy wzór
Z
α f (y) =
d
(1.1)
D
(Dα f )(x)e−2πihy,xi dλn (x) = (2πi)|α| y α fˆ(y),
Rn
gdzie dla wielowskaźnika α = (α1 , . . . , αn ) mamy oznaczenie y α = y1α1 · · · ynαn .
Różniczkując wzór na transformatę Fouriera i korzystając z twierdzenia o różniczkowaniu całek z parametrem, otrzymujemy
(1.2)
(Dα fˆ)(y) = (−2πi)|α| (ed
α · f )(y),
y ∈ Rn ,
gdzie eα (x) = xα := xα1 1 · · · xαnn .
Definicja 1.7 Przestrzeń S jest to zbiór wszystkich funkcji f ∈ C ∞ (Rn ) takich, że dla
wszystkich wielowskaźników α = (α1 , . . . , αn ), β = (β1 , . . . , βn ) zachodzi
kf kα,β := sup |xβ Dα f (x)| < ∞.
x∈Rn
Topologia lokalnie wypukła przestrzeni S dana jest przez przeliczalną rodzinę półnorm
k · kα,β .
Lemat 1.8 Transformata Fouriera odwzorowuje S → S w sposób ciągły.
Pokażemy tylko, że transformata Fouriera działa z S w S. Niech f ∈ S. Korzystając ze
wzorów (1.2) i (1.1) dostajemy
y β (Dα fˆ)(y) = y β (−2πi)|α| ed
α f (y) =
Zachodzi następujący lemat
(−2πi)|α| β
(D (eα f ))b(y).
(2πi)|β|
5
M. Beśka, Twierdzenie Bochnera-Minlosa
Lemat 1.9 Można wykazać nastepujące własności S.
1) Zbiór C0∞ (Rn ) jest gęsty w S.
2) Zanurzenie D → S jest ciągłe.
Z lematu tego wynikają następujace wnioski:
Wniosek 1.10 Jeśli T ∈ S 0 oraz T (D(Rn )) = 0, to T = 0.
Wniosek 1.11 T ∈ S 0 ⇒ T |D(Rn ) ∈ D0 (Rn ).
Z obu tych wniosków wynika, że możemy identyfikować (zanurzać) S 0 z podzbiorem D0 .
Uzasadnia to następującą definicję: Przestrzeń D0 nazywa się przestrzenią dystrybucji
temperowanych.
Warto zauważyć, że nie każda funkcja lokalnie całkowalna będąca dystrybucją, jest
dystrybucją temperowaną. Łatwo też zauważyć, że funkcje całkowalne są dystrybucjami
temperowanymi tj. L1 ⊂ S 0 . mamy następującą własność takich dystrybucji
Lemat 1.12 Jeśli f ∈ L1 , to dla dowolnej ϕ ∈ S zachodzi równość
hϕ, fˆi = hϕ̂, f i.
Dowód. Na mocy twierdzenia Fubiniego mamy
Z
Z
ˆ
hϕ, f i =
ϕ(y)
f (x)e−2πihy,xi dλn (x) dλn (y) =
Rn
Z
Rn
Z
f (x)
ϕ(y)e
Rn
−2πihy,xi
n
Z
n
dλ (y) dλ (x) =
Rn
f (x)ϕ̂(x) dλn (x) = hϕ̂, f i.
Rn
2
Na mocy powyzszego lematu możemy przyjąć następującą definicję transformaty Fouriera dystrybucji temperowanej.
Definicja 1.13 Transformata dystrybucji temperowanej T dana jest wzorem
hϕ, T̂ i = hϕ̂, T i,
ϕ ∈ S.
Stosując inną natację piszemy T̂ (ϕ) = T (ϕ̂), ϕ ∈ S.
6
M. Beśka, Twierdzenie Bochnera-Minlosa
1.6
Przestrzenie nuklearne
Przestrzeń wektorową E nazywamy przestrzenia przeliczalnie Hilbertowską jeśli E jest
przestrzenią zupełną względem topologii generowanej przez przeliczalną ilość Hilbertowskich, zgodnych norm k · kn , n ≥ 0. Zgodność norm oznacza, że jeśli jakis ciąg w E jest
zbieżny do zera w normie k·km oraz jest ciągiem Cauchy’ego w normie k·kn , to jest zbieżny
do zera w normie k · kn . Dla n ≥ 0 oznaczmy przez En uzupełnienie E względem normy
k · kn . Wtedy mamy
∞
\
E=
En .
n=0
T∞
Rzeczywiście, jeśli x ∈ n=0 En , to x jest ciągiem Cauchy’ego w każdej normie k · kn .
Zatem z zupełności E jest w niej zbieżny, tzn. x ∈ E. Zawieranie w drugą stronę jest
oczywiste. Bez straty ogólności możemy normy ustawić w ciąg niemalejący
k · k 0 ≤ k · k1 ≤ . . . ≤ k · kn ≤ . . . ,
a stąd (jako injekcyjne zanurzenia)
E0 ⊃ E1 ⊃ . . . ⊃ En ⊃ . . . .
Oznaczając przez En∗ przestrzen dualną (sprzężoną) do En mamy
E0 = E0∗ ⊂ E1∗ ⊂ . . . ⊂ En∗ ⊂ . . . .
Gdy natomiast oznaczymy przez k · k−n normę En∗ otrzymujemy {k · kn : −∞ < n < ∞}
niemalejący ciąg Hilbertowskich norm.
Lemat 1.14 Liniowy funkcjonał f : E → R jest ciągły wtedy i tylko wtedy, gdy jest ciągły
względem k · kn dla pewnego n ≥ 0
Dowód. Dostateczność jest oczywista. Udowodnimy konieczność. Niewprost. Załóżmy,
że f nie jest ciągły względem żadnej normy k · kn dla n ≥ 0, tzn. dla każdego k ≥ 0 istnieje
xk ∈ E taki, że
|f (xk )| > (k + 1)kxk kk .
Stąd |f (xk )| > 0 dla k ≥ 0. Określmy
√
k+1
yk =
xk ,
|f (xk )|
k ≥ 0.
Wtedy dla k ≥ n mamy
√
√
1
k+1
k+1
kxk kn ≤
kxk kk ≤ √
kyk kn =
.
|f (xk )|
|f (xk )|
k+1
7
M. Beśka, Twierdzenie Bochnera-Minlosa
Stąd gdy k → ∞ mamy kyk kn → 0. Tymczasem |f (yk )| =
ciągłości f .
√
k + 1 → ∞, co przeczy
2
Z udowodnionego lematu mamy
∗
E =
∞
[
En∗ .
n=0
Definicja 1.15 Niech E będzie przestrzenią przeliczalnie Hilbertowską. Jeśli dla każdego
m ≥ 0 istnieje n > m takie, że naturalne włożenie (injekcja)
Tn,m : En → Em
jest operatorem Hilberta-Schmidta, to E nazywamy przestrzenią nuklearną przeliczalnie
Hilbertowską lub krótko: przestrzenią nuklearną.
1.7
Przykład
Pokażemy, że przestrzeń S = S(R) funkcji szybko malejących jest przestrzenią nuklearną.
Topologia jest zadana przez przeliczalna rodzinę norm
|||f |||n = max sup |(1 + u2 )n f (k) (u)|,
0≤k≤n u∈R
lub równoważnie przez bazę otoczeń zera
n
o
Un.k (ε) = f ∈ S : sup |(1 + u2 )n f (k) (u)| < ε ,
n = 0, 1, 2, . . .
n ≥ 0, 0 ≤ k ≤ n, ε > 0.
u∈R
Pokażemy, że S jest przestrzenią przeliczalnie Hilbertowską. W tym celu wprowadzimy
równoważny wyjściowemu układ norm
kf kn =
n Z
X
k=0
(1 + u2 )2n |f (k) (u)|2 du,
n ≥ 0.
R
Równoważność układów norm {k · kn }n≥0 i {||| · |||n }n≥0 wynika z lematu
Lemat 1.16 Dla n ≥ 1 istnieją stałe Cn i Dn takie, że dla każdego f ∈ S mamy
Cn |||f |||n−1 ≤ kf kn ≤ Dn |||f |||n+1 .
Dowód. Prawa strona nierówności wynika z następujacego oszacowania dla k ≤ n.
Z
Z
du
(1 + u2 )2n |f (k) (u)|2 du ≤ sup[(1 + u2 )2n+2 |f (k) (u)|2 ]
.
2 2
u∈R
R (1 + u )
R
8
M. Beśka, Twierdzenie Bochnera-Minlosa
Stąd
kf k2n
=
n Z
X
k=0
(1 + u2 )2n |f (k) (u)|2 du ≤
R
π
π
(n + 1) max sup(1 + u2 )2n |f (k) (u)|2 = (n + 1)|||f |||2n+1 .
0≤k≤n+1 u∈R
2
2
Lewa nierówność z oszacowania poniżej dla k ≤ n − 1.
Z u
2 n−1 (k)
|(1 + u )
f (u)| = [(1 + u2 )n−1 f (k) (u)]0 du ≤
−∞
Z
2 n−1 (k+1)
|(1 + u )
f
Z
|2u(1 + u2 )n−2 f (k) (u)| du ≤
(u)| du + (n − 1)
R
R
Z
|(1 + u2 )n−1 f (k+1) (u)| du + (n − 1)
Z
R
|(1 + u2 )n−1 f (k) (u)| du ≤
R
Z
R
Z
R
1/2
du
(1 + u2 )2
Z
1/2
(1 + u2 )2n |f (k+1) (u)|2 du
+
R
1/2
Z
1/2
du
2 2n (k)
2
(n
−
1)
(1
+
u
)
|f
(u)|
du
.
(1 + u2 )2
R
Stąd
sup |(1 + u2 )n−1 f (k) (u)|2 ≤
u∈R
2
πn
Z
2 2n
(1 + u ) |f
(k+1)
2
Z
(u)| du +
R
(1 + u2 )2n |f (k) (u)|2 du .
R
Zatem
|||f |||2n−1 ≤ 2πn2 kf k2n .
2
Oznaczmy przez s przestrzeń ciągów rzeczywistych x = {xk }k≥0 takich, że dla każdego
n≥0
∞
X
kxk2n :=
(1 + k)2n x2k < ∞.
k=0
Określone powyżej normy tworzą ciag niemalejący
k · k 0 ≤ k · k1 ≤ . . . ≤ k · kn ≤ . . . ,
Domknięcie s w normie k · kn jest równe Hn , gdzie
Hn = {x = {xk }k≥0 : xk ∈ R, k ≥ 0, kxkn < ∞}.
M. Beśka, Twierdzenie Bochnera-Minlosa
9
Jak wiadomo przestrzeń ta jest zupełna. Zatem
H0 ⊃ H1 ⊃ . . . ⊃ Hn ⊃ . . . .
Ponadto ciąg norm k · kn , n ≥ 0 jest zgodny na s, bo gdy n > m (przypadek n ≤ m
jest oczywisty) i niech {xk }k≥0 ⊂ s oraz kxk km → 0, gdy k → ∞ i {xk }k≥0 jest ciągiem
Cauchy’ego w k · kn , to kxk kn → 0, gdy k → ∞, wynika z monotonicznosci ciągu norm
k · kn oraz zupelności Hn .
Przestrzeń ciągów s jest przestrzenią zupełną (i gęstą w l2 ) jest więc przeliczalnie
Hilbertowską, co więcej jest przestrzenią nuklearną. Rzeczywiście, łatwo zauważyć, że
włożenia Tn+1,n : Hn+1 → Hn są Hilberta-Schmidta. Stąd i z lematu:
Lemat 1.17 Przestrzeń Schwartza S jest izomorficzna z przestrzenią ciągową s.
wynika, że przestrzeń Schwartza S jest przestrzenią nuklearną. Możemy więc napisać
S ⊂ L2 (R) ⊂ S 0 ,
gdzie włożenia są ciągłe.
1.8
Twierdzenie Bochnera-Minlosa
Niech dana będzie trójka przestrzeni
E ⊂ H ⊂ E∗,
gdzie H (zazwyczaj H = L2 (T )) jest przestrzenią Hilberta, E przestrzenią nuklearną, a
E ∗ sprzężoną do niej.
Uogólnionym procesem stochastycznym nazywamy rodzinę zmiennych losowych (określonych na tej samej przestrzeni probabilistycznej) indeksowanych parametrem z przestrzeni nuklearnej E tj.
X = {X(x, ω)}x∈E .
taką, że przy ustalonym ω odwzorowanie X(·, ω) jest ciągłym funkcjonałem na E, czyli
X(·, ω) ∈ E ∗ dla ω ∈ Ω.
Rozkład łączny (X(x1 ), . . . , X(xn )) jest jednoznacznie określony przez funkcję charakterystyczną.
Z
n
X
exp i
tk X(xk , ω) dP (ω), tk ∈ R
Ω
k=1
dla k = 1, 2, . . . , n.
Korzystając z liniowości X(x, ω) wzgledem x widzimy, że powyższa funkcja charakterystyczna jest funkcją charakterystyczną zmiennej losowej X(t1 x1 + . . . + tn xn , ·). Ponieważ
10
M. Beśka, Twierdzenie Bochnera-Minlosa
t1 x1 + . . . + tn xn ∈ E możemy więc przypuszczać, że rozkład uogólnionego procesu stochastycznego jest jednoznacznie określony przez
Z
CX (x) =
exp[iX(x, ω)] dP (ω), x ∈ E.
Ω
Funkcjonał CX (x), x ∈ E nazywamy funkcjonałem charakterystycznym uogólnionego
procesu X. Posiada on następujące własności:
1) Funkcjonał CX jest ciągły względem x ∈ E.
2) Funkcjonał CX jest dodatnio określony tzn. dla dowolnego n ∈ N i α1 , . . . , αn ∈ C,
x1 , . . . , xn ∈ E, mamy
n
X
αj αk CX (xj − xk ) ≥ 0.
j,k=1
3) CX (0) = 1.
Warunki te sa identyczne jak w klasycznym twierdzeniu Bochnera. Twierdzenie BochneraMinlosa mówi, że gdy pewien funkcjonał C(x), x ∈ E spełnia warunki 1) – 3), to istnieje
miara µ na E ∗ taka, że
Z
∗
C(x) =
eihx,x i dµ(x∗ ), x ∈ E.
E∗
Najpierw określimy σ - algebrę na której będzie określona miara µ.
x1 , . . . , xn ∈ E oraz ustalonego B ∈ B(Rn ) określmy zbiór (cylinder)
Dla ustalonych
Ux1 ,...,xn ;B = {x∗ ∈ E ∗ : (hx1 , x∗ i, . . . , hxn , x∗ i) ∈ B}
Jeśli F ⊂ E jest skończenie wymiarową podprzestrzenią, to zbiór cylindrów indeksowanych elementami z F tworzy σ-algebrę którą oznaczmy przez GF . Rzeczywiście, jeśli np.
dim(F ) = n oraz e1 , . . . , en jest bazą przestrzeni F , a x1 , . . . , xk ∈ F . Wtedy dla x∗ ∈ E ∗
mamy
n
X
∗
hxi , x i =
aij hej , x∗ i, i = 1, 2, . . . , k.
j=1
Jeśli przez A oznaczymy operator liniowy z Rn w Rk o macierzy [aij ], to
(hx1 , x∗ i, . . . , hxk , x∗ i) = A(he1 , x∗ i, . . . , hen , x∗ i).
Stąd dla B ∈ B(Rk ) mamy
(hx1 , x∗ i, . . . , hxk , x∗ i) ∈ B ⇔ A(he1 , x∗ i, . . . , hen , x∗ i) ∈ B ⇔
(he1 , x∗ i, . . . , hen , x∗ i) ∈ A−1 (B) ∈ B(Rn ).
11
M. Beśka, Twierdzenie Bochnera-Minlosa
Zatem
Ux1 ,...,xk ;B = Ue1 ,...,en ;A−1 (B) .
Oznaczmy
G=
[
GF ,
F ⊂E
gdzie sumowanie jest po wszystkich skończenie wymiarowych podprzestrzeniach E. Jak
łatwo zauważyć, G jest tylko algebrą. Przestrzenią mierzalną na której określona będzie
miara µ jest (E ∗ , A), gdzie A = σ(G).
Konstrukcję miary µ dla której funkcjonałem charakterystycznym jest dany funkcjonał
C(x), x ∈ E spełniający warunki 1) – 3) podamy w trzech krokach.
1◦ Konstrukcja przestrzeni z miarą (E ∗ , GF , mF ) dla dowolnej skończenie wymiarowej przestrzeni F ⊂ E.
2◦ Korzystając kroku pierwszego podamy konstrukcję przestrzeni (E ∗ , G, m), gdzie m jest
miarą skończenie addytywną.
3◦ Rozszerzenie (E ∗ , G, m) do przestrzeni z miarą (E ∗ , A, µ).
Najtrudniejszy jest krok ostatni. Podamy teraz kolejne kroki konstrukcji
1◦ Niech F ⊂ E i niech dim(F ) = n. Przez F a oznaczmy anihilator F . jest to podprzestrzeń E ∗ okreslona wzorem
F a = {x∗ ∈ E ∗ : hy, x∗ i = 0 dla wszystkich y ∈ F }.
∼ F ), w szczególności jest n - wymiaPrzestrzeń ilorazowa E ∗ /F a jest izomorficzna z F ∗ (=
∗
a
rowa. Elementy E /F możemy traktować jako funkcjonały na F określając je wzorem
hf, [x∗ ] iF := hf, x∗ i,
f ∈ F.
Zauważmy poprawność tej definicji (nie zależy od wyboru reprezentanta klasy abstrakcji).
Rzeczywiście, gdy y ∗ ∈ [x∗ ], to y ∗ − x∗ ∈ F a . Stąd dla f ∈ F mamy
hf, [x∗ ] iF = hf, y ∗ i = hf, x∗ i.
Oznaczmy przez CF obcięcie C do F . Wtedy CF może być uważana jako funkcja charakterystyczna rozkładu mF na F ∗ tj. na E ∗ /F a , czyli
Z
∗
CF (f ) =
eihf,[x ] iF dm̃F ([x∗ ]), f ∈ F.
E ∗ /F a
Zatem mamy przestrzeń probabilistyczną (E ∗ /F a , BF , m̃F ), gdzie BF jest borelowską σ algebrą na E ∗ /F a tzn. jest ona przeniesiona z Rn za pomocą izomorfizmu
n
∗
a
T : R → E /F ,
T (a1 , . . . , an ) =
n
X
i=1
ai [e∗i ],
12
M. Beśka, Twierdzenie Bochnera-Minlosa
gdzie [e∗i ], i = 1, 2, . . . , n jest bazą w E ∗ /F a . Zatem dla B ∈ B(Rn ) mamy
T (B) =
n
nX
o
ai [e∗i ] : (a1 , . . . , an ) ∈ B =
i=1
{[x∗ ] : (he1 , [x∗ ] iF , . . . , hen , [x∗ ] iF ) ∈ B} ∈ BF ,
gdzie hei , [e∗j ] i = δij jest układem biortogonalnym i oczywiście
[x∗ ] =
n
X
hei , x∗ iF [e∗i ].
i=1
Niech ρF : E ∗ → E ∗ /F a będzie odwzorowaniem kanonicznym tj. ρ(x∗ ) = [x∗ ] = x∗ + F a
dla x∗ ∈ E ∗ . Wtedy
ρ−1
F (BF ) = GF ,
bo
∗
∗
∗
ρ−1
F ({[x ] : (he1 , [x ] iF , . . . , hen , [x ] iF ) ∈ B} =
{x∗ ∈ E ∗ : (he1 , x∗ i, . . . , hen , x∗ i) ∈ B} ∈ GF .
Jeśli teraz A ∈ GF , to A = ρ−1
F (B) dla pewnego B ∈ BF . Możemy teraz określić
mF (A) = m̃F (B)
otrzymując przestrzeń z miarą (E ∗ , GF , mF ).
2◦ Niech F i G będą skończenie wymiarowymi podprzestrzeniami E oraz niech F ⊂ G.
Wtedy odwzorowanie (Ga ⊂ F a )
T : E ∗ /Ga → E ∗ /F a
x∗ + Ga 7→ x∗ + F a ,
jest dobrze określone, bo T (x∗ + Ga ) = x∗ + F a = F a dla x∗ ∈ Ga . Ponadto dla B ∈ BF
mamy
m̃F (B) = m̃G (T −1 B),
tzn. m̃F = m̃G ◦ T −1 . Rzeczywiście, dla x ∈ F mamy CF (x) = CG (x). Z twierdzenia
Bochnera
Z
∗
CF (x) =
eihx,[y ] iF dm̃F ([y ∗ ]).
E ∗ /F a
Z drugiej strony majac na uwadze, że hx, T ([y ∗ ]) iF = hx, [y ∗ ] iG dla x ∈ F otrzymujemy
Z
CG (x) =
ihx,[y ∗ ] iG
e
E ∗ /Ga
∗
dm̃G ([y ]) =
Z
T −1 (E ∗ /F a )
eihx,T ([y
∗ ]) i
F
dm̃G ([y ∗ ]) =
13
M. Beśka, Twierdzenie Bochnera-Minlosa
Z
eihx,[y
∗] i
F
E ∗ /F a
d(m̃F ◦ T −1 )([y ∗ ]).
Porównując oba równania i korzystając z jednoznaczności miary w twierdzeniu Bochnera
otrzymujemy równość m̃F = m̃G ◦ T −1 . Tak więc rodzina miar Stąd rodzina miar mF ,
F ⊂ E - podprzestrzeń skończenie wymiarowa jest zgodna tzn. jeśli F, G ∈ E oraz F ⊂ G
są podprzestrzeniami skończenie wymiarowymi i A ∈ GA ⊂ GG , to mF (A) = mG (A).
Rzeczywiście, ponieważ T ◦ ρG = ρF , więc jeśli A = ρ−1
F (B), gdzie B ∈ BF , to
−1
−1
A = ρ−1
(B)).
F (B) = ρG (T
Zatem
mF (A) = m̃F (B) = m̃G (T −1 (B)) = mG (A).
Możemy teraz określić miarę (skończenie addytywną) na G. Niech A ∈ G. Wtedi istnieje
F ⊂ E skończenie wymiarowa, taka, że A ∈ GF . Definiujemy
m(A) = mF (A)
Z rozważań powyżej definicja ta jest poprawna. Pokażemy, że m jest skończenie addytywna.
Niech A1 , . . . , An ∈ G będą parami rozłączne. Wtedy istnieją skończenie wymiarowe podprzestrzenie F1 , . . . , Fn ⊂ E takie, że Ai ∈ GFi dla i = 1, 2, . . . , n. Niech
F = span{F1 , . . . , Fn }
Wtedy Ai ∈ GF dla i = 1, 2, . . . , n oraz
mFi (A) = mF (A),
i = 1, 2, . . . , n.
Ponieważ mF jest addytywna na GF , więc
m
n
[
i=1
n
n
n
[
X
X
Ai = mF
Ai =
mF (Ai ) =
m(Ai ).
i=1
i=1
i=1
Mamy więc określoną przestrzeń (E ∗ , G, m) ze skończenie addytywną miarą m.
3◦ Chcemy rozszerzyć m do miary µ na przestrzeni (E ∗ , A). Jak wiadomo takie rozszerzenie
jest możliwe jeśli m jest σ - addytywna na G. Okazuje się, że warunki 1) – 3) nałożone
na funkcjonał C(x) implikują tę σ – addytywność. W dowodzie skorzystamy z dwóch
lematów.
Lemat 1.18 Niech µ będzie rozkładem na Rn i niech E oznacza elipsoidę tj.
n
n
o
X
n
z = (z1 , . . . , zn ) ∈ R :
a2i zi2 ≤ c2 .
i=1
14
M. Beśka, Twierdzenie Bochnera-Minlosa
Jeśli funkcja charakterystyczna ϕ rozkładu µ spelnia warunek
|ϕ(z) − 1| < ε,
z ∈ E,
to dla kuli K(0, r) o promieniu r zachodzi
n
2 X 2
µ(K(0, r)0 ) < β 2 ε + 2 2
ai ,
c r
i=1
gdzie stała β jest dodatnia i niezależna od n i r.
Dowód. Mamy następujące oszacowanie
n
h
1 X 2 i
xi dµ(x) ≥
1 − exp − 2
2r
Rn
Z
I :=
i=1
n
h
1 X 2 i
xi dµ(x) ≥ [1 − exp(−1/2)] µ(K(0, r)0 ).
1 − exp − 2
2r
0
K(0,r)
Z
i=1
Całkę I możemy zapisać w postaci
n
1 X 2
exp − 2
xi dµ(x)
2r
Rn
Z
I =1−
i=1
i traktując wyrażenie pod całką jako funkcję charakterystyczną rozkładu normalnego otrzymujemy
Z
I =1−
n
n
X
r2 X
exp i
xi zi exp −
zj2 dz dµ(x) =
2
Rn
(r2 /2π)n/2
Z
(r2 /2π)n/2
Z
Rn
j=1
j=1
[1 − ϕ(z)] exp −
Rn
n
r2 X
2
zj2 dz ≤
j=1
Z Z
(r2 /2π)n/2 +
<
E
E0
Z X
n
n
n
r2 X
2 X 2
2
n/2 2
2 2
2
ε + (r /2π)
a
z
exp
−
z
dz
<
ε
+
ai
i i
j
c2 E 0
2
c2 r2
i=1
j=1
i=1
ze wzoru na momenty drugiego rzędu rozkładu normalnego. Porównując otrzymane oszacowanie z otrzymanym powyżej dostajemy tezę lematu ze stałą β 2 = [1 − exp(−1/2)]−1 .
2
15
M. Beśka, Twierdzenie Bochnera-Minlosa
Lemat 1.19 Dostatecznym warunkiem na to aby skończenie addytywna miara m była rozszerzalna do σ - addytywnej miary na (E ∗ , A) jest: dla każdego ε > 0 istnieje naturalna
liczba n i kula Sn = {x∗ ∈ E ∗ : kx∗ k−n ≤ rn } tak, że dla dowolnego A ∈ G rozłącznego z
Sn mamy
µ(A) = m(A) < ε.
Dowód. Przez sprzeczność (reductio ad absurdum). Załóżmy, że {An }n≥1 ⊂ G sa parami
rozłączne oraz
∞
[
An = E ∗ .
n=1
Ponieważ m jest skończenie addytywna, to dla każdego n ≥ 1
m
n
[
n
X
Ai =
i=1
m(Ai ) ≤ 1.
i=1
Zatem
∞
X
m(Ai ) ≤ 1.
i=1
Załóżmy, że powyższa nierówność jest ostra. Wtedy istnieje ε > 0 takie, że
∞
X
m(Ai ) = 1 − 3ε < 1.
i=1
Dla każdego An możemy znaleźć otwarty cylinder Un (jego zbiór borelowski B jest otwarty)
taki, że An ⊂ Un oraz (z regularności m na cylindrach o ustalonej bazie)
m(Un \ An ) <
ε
,
2n
Oczywiste jest zawieranie
∗
Sn ⊂ E =
n ≥ 1.
∞
[
Ui .
i=1
Ponieważ Sn jest słabo zwarte, więc istnieją Ui1 , . . . , Uik takie, że
Sn ⊂ U :=
k
[
Uij .
j=1
Oczywiste jest, że U ∈ G oraz
1 = m(U ∪ U 0 ) = m(U ) + m(U 0 ),
m(U ) ≤
k
X
j=1
m(Aij ) + ε,
m(U ) < ε.
M. Beśka, Twierdzenie Bochnera-Minlosa
16
Mamy więc
1 = m(U ) + m(U 0 ) ≤
k
X
m(Aij ) + ε + ε ≤ (1 − 3ε) + 2ε = 1 − ε,
j=1
co daje sprzeczność.
2
Twierdzenie 1.20 Niech C(x), x ∈ E (E przestrzeń przeliczalnie Hilbertowska) będzie
funkcjonałem takim, że
1. Jest ciągły w normie k · km dla pewnego m ≥ 0.
2. Jest dodatnio określony.
3. C(0) = 1.
Jeśli dla pewnwgo n > m injekcja Tn,m : En → Em jest operatorem Hilberta-Schmidta, to
istnieje jedyne rozszerzenie m do miary µ na (E ∗ , A) i miara µ jest skoncentrowana na
En∗ .
Dowód. Z założenia dla każdego ε > 0 istnieje kula K(0, c) taka, że
|C(x) − 1| <
ε
,
2β 2
x ∈ K(0, c),
gdzie β jest z lematu 1.18. Także z założenia istnieje kula V ⊂ En o środku w 0 taka, że
Tn,m (V ) ⊂ U.
√
Pokażemy, że kula Sn w En∗ o środku w 0 i promieniu r = 2βkTn,m k2 / c2 ε jest kulą
spełniającą założenia lematu 19. Niech A ∈ GF i A ∩ Sn = ∅. Wtedy istnieje B ∈ BF taki,
że A = ρ−1
F (B) oraz
B ∩ ρF (Sn ) = ∅.
Niech x ∈ V ∩ F i niech dim F = k. Niech e1 , . . . , ek będzie bazą w F ortonormalną w
normie k · kn . Ponieważ normy na przestrzeniach skończenie wymiarowych są równoważne,
więc istnieje α > 0 takie, że
kykn ≤ α2 kykm , y ∈ F.
Zatem
k
k
1 X
1 X
1
2
2
hei , xi kei km ≤ 2
hei , xi2 = 2 kxk2n ≤ kx||2m ≤ c2 .
2
α
α
α
i=1
i=1
Stąd elementy V ∩ F mogą być opisane we współrzędnych jako elementy elipsoidy
k
X
i=1
a2i zi2 ≤ c2 ,
M. Beśka, Twierdzenie Bochnera-Minlosa
17
gdzie ai = kei km /α. Zauważmy, że
k
X
a2i =
i=1
k
k
X
1 X
2
ke
k
≤
kei k2m ≤ kTn,m k22 .
i m
α2
i=1
i=1
Z leamtu 1.19 mamy zatem
m̃F (ρ(Sn )0 ) < β 2
k
ε
2 X 2 ε
2β 2
<
+
kTm,n k22 = ε.
a
+
i
2β 2 c2 r2
2 c2 r2
i=1
2
Wniosek 1.21 (Twierdzenie Minlosa) Niech będzie przestrzenią nuklearną, a C(x), x ∈
E będzie funkcjonałem charakterystycznym tj. funkcjonałem spelniającym warunki 1) – 3).
Wtedy istnieje dokładnie jedna miara µ na (E ∗ , A) taka, że
Z
∗
C(x) =
eihx,x i dµ(x∗ ), x ∈ E.
E∗
Definicja 1.22 Niech CX (x), x ∈ E będzie funkcjonałem charakterystycznym uogólnionego procesu {X(x)}x∈E . Wtedy miara µ na (E ∗ , A) z twierdzenia Minlosa nazywana jest
rozkładem uogólnionego procesu {X(x)}x∈E .
Literatura
1. Hida T., Brownian motion, Springer 1981.
2. Maurin K., Analiza, cz.2, PWN 1971.