Przykład egzaminu 01

SGGW
Katedra Ekonometrii i Statystyki
Przykład egzaminu
z rachunku prawdopodobieństwa
Stanisław Jaworski
Uwaga: Każdy punkt jest wliczany do ogólnej
punktacji tylko wtedy, gdy są w nim zaznaczone wszystkie i wyłącznie prawidłowe odpowiedzi.
c 2009
Copyright Last Revision Date: 23 czerwca 2009
Egzamin #0
Rachunek prawdopodobieństwa
Imię:
Nazwisko:
Album:
Zaznacz wszystkie dobre odpowiedzi.
1. Niech A, B, C będą zdarzeniami losowymi takimi, że P (A) = 0.2,
P (B) = 0.3 oraz P (A ∪ B) = 0.5. Wówczas
zdarzenia A, B są rozłączne.
Zdarzenia A, B są niezależne.
P (A ∩ B) = 0.
P (A|B) = 0.
P (B|B) = 1.
2. Niech X będzie zmienną losową o dystrybuancie F . Wówczas
P (a < X ¬ b) = F (b) − F (a).
limt→∞ F (t) = 0.
limt→∞ F (t) = 1.
3
3. Zmienne losowe X oraz Y są niezależne. Niech X ∼ U (0, 1) oraz
Y ∼ P o(4). Wówczas
EX = 0.5
D2 Y = 4
EY 2 = 8
E(−3XY 2 + 4Y − 6) = −14
4. Niech X, Y będą takimi zmiennymi losowymi, dla których
EX = 3, EY = 10, D2 Y = 44
oraz niech t0 będzie taką wartością, że
min E(X + Y 2 − t)2 = E(X + Y 2 − t0 )2 .
t∈R
Wówczas
t0 = 112
t0 = 101
t0 = 147
t0 = 144
5. Gęstość zmiennej losowej X wyraża się wzorem:
(
4
(8 − x3 ) dla x ∈ [1, 2]
fX (x) = 17
0
dla x ∈
/ [1, 2]
4
Wówczas P (X ∈ [−2, 1.5)) wynosi (z dokładnością do dwóch
miejsc po przecinku)
0.32
0.41
0.80
0.22
6. Macierz kowariancji wektora losowego X = [X1 , X2 , X3 ]0 ma postać


3 −1
1
−1
3
1 .
1
1
3
Zatem współczynnik korelacji %(2X1 , −3X2 ) wynosi
1
3
1
9
− 23
7. Dwóch strzelców strzela do tarczy. Strzelec 1 trafia z prawdopodobieństwem 2/3, a strzelec 2 z prawdopodobieństwem 1/2. Po
oddaniu po jednym strzale okazało się, że tarcza została trafiona
dokładnie raz. Prawdopodobieństwo, że trafił strzelec 1 wynosi:
1
3
1
2
2
3
8. Zmienna losowa X ma gęstość fX (x) = √12π exp (− 12 x2 ) dla x ∈
R. Wówczas zmienna losowa Y = X 3 ma gęstość fY , gdzie
fY (y) =
fY (y) =
√1
exp (− 12 y 2/3 )y −2/3 dla y ∈ R.
3 2π
√3 exp (−y 6 )y 2 dla ∈ R dla y ∈ R.
2π
5
fY (y) =
√1
3 2π
exp (− 12 y 2/3 ) dla y ∈ R.
1
2
9. Gęstość wektora losowego (X, Y ) ma postać f (x, y) = 12
11 (2x +
xy)I(0,1)2 (x, y). Oznaczając przez fX gęstość zmiennej losowej X
oraz f (x|y) gęstość zmiennej losowej X przy warunku Y = y,
mamy
fX (x) =
fX (x) =
f (x|y) =
f (x|y) =
Wynik:
6
2
11 (4x + x)I(0,1) (x) dla x ∈
12
2
11 (2x + x)I(0,1) (x) dla x ∈
2
+xy
2 2x
4x2 +x I(0,1) (x) dla x ∈ R
x2 +xy
2x2 +x I(0,1) (x) dla x ∈ R
R
R