Lista 9 - Arsenic Rose

Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka
Lista zadań nr 9. 28 kwietnia i 9 maja 2016
[Do zadań 1–2] Zmienna losowa (X, Y ) ma rozkład o gęstości:
f (x, y) = 1, 0 <≤ x, y ≤ 1.
1. Znaleźć gęstość zmiennej Z = X/Y .
2. Obliczyć prawdopodobieństwo tego, że pierwszą cyfrą znaczącą Z jest 1.
[Do zadań 3–6] Zakładamy, że zmienne X1 , X2 , X3 są niezależne i mają ten sam ciągły rozkład o dystrybuancie F (x) i gęstości f (x). Tworzymy nowe zmienne losowe,
mianowicie: X(1) = min {X1 , X2 , X3 }, X(2) to druga co do wielkości wartość, X(3) =
max {X1 , X2 , X3 }.
3. Wykazać, że f(1) (x) = 3 ⋅ (1 − F (x))2 ⋅ f (x) oraz f(3) (x) = 3 ⋅ (F (x))2 ⋅ f (x).
Wsk.: Obliczyć najpierw dystrybuantę.
4. Udowodnić, że f(2) (x) = 6 ⋅ F (x) ⋅ (1 − F (x)) ⋅ f (x).
[Do zadań 5–6] Dodatkowo zakładamy, że Xk ∼ U[0, a], k = 1, 2, 3.
X(1) + X(3)
X1 + X2 + X3
, Y2 = X(2) , Y3 =
. Udowodnić, że wartości oczeki3
2
a
wane są takie same: E (Y1 ) = E (Y2 ) = E (Y3 ) = .
2
3Y1 − Y2
.
Wsk.: E (Y1 ) z własności wartości oczekiwanej, E (Y2 ) – całkowanie, Y3 =
5. Niech Y1 =
2
a2
a2
6. Wykazać, że : V (Y1 ) =
, V (Y2 ) =
.
36
20
Wsk.: Wariancja sumy niezależnych zmiennych losowych, E (Y22 ) poprzez całkowanie.
7. Niech (X, Y ) oznacza wybrany losowo punkt na płaszczyźnie. Załóżmy, że współrzędne
X i Y są niezależne i podlegają rozkładowi N (0, 1). Od zmiennej (X, Y ) przechodzimy do zmiennej (R, Θ), gdzie R i Θ są współrzędnymi biegunowymi punktu (X, Y ).
Wykazać, że gęstość zmiennej (R, Θ) określona jest wzorem
g(r, Θ) =
1
r2
r ⋅ exp {− } , gdzie 0 < Θ < 2π, 0 < r < ∞.
2π
2
8. Znaczenie zmiennej (X, Y ) niech będzie takie, jak w poprzednim zadaniu. Niech
D = R2 = X 2 + Y 2 , Θ = tan−1
Y
.
X
(a) Udowodnić, że gęstość zmiennej (D, Θ) to: f (d, Θ) =
gdzie 0 < d < ∞, 0 < Θ < 2π.
(b) Sprawdzić czy zmienne D i Θ są niezależne.
(c) Jaki rozkład ma zmienna D?
1
d 1
exp {− }
,
2
2 2π
9. Załóżmy, że niezależne zmienne losowe X, Y mają rozkłady, odpowiednio,
X
Gamma(b, p) i Gamma(b, q). Niech U = X + Y oraz V =
. Wykazać, że
X +Y
(a) Zmienne U i V są niezależne.
(b) X + Y ma rozkład Gamma(b, p + q).
(c) Zmienna V ma rozkład Beta(p, q), tzn. f (x) =
1
xp−1 (1 − x)q−1 , x ∈ [0, 1].
B(p, q)
10. Niech zmienne X1 , X2 , . . . , Xn będą niezależne i niech mają ten sam rozkład Exp(λ).
Niech Yi = X1 + . . . + Xi , dla i = 1, . . . , n. Wykazać, że dla gęstości zmiennej (Y1 , . . . , Yn )
zachodzi wzór fY1 ,...,Yn (y1 , . . . , yn ) = λn exp (−λyn ), gdzie
0 < y1 < y2 < . . . < yn .
11. Dla gęstości fY1 ,...,Yn (y1 , . . . , yn ) z poprzedniego zadania wykazać, że gęstość brzegowa
ynn−1
względem zmiennej Yn wyraża się wzorem fYn (yn ) = λn
exp (−λyn ), gdzie 0 < yn .
(n − 1)!
Witold Karczewski