Wersja do wydruku - Wydawnictwa PTM

Wiad. Mat. 00 (0) 0000, 1–6
c 0000 Polskie Towarzystwo Matematyczne
Nowi profesorowie
Anna Zdunik
Profesor Anna Zdunik urodziła się w 1959 roku
w Warszawie. W latach 1977–1982 studiowała na
Wydziale Matematyki, Informatyki i Mechaniki Uniwersytetu Warszawskiego. Napisała znakomitą pracę
magisterską pod kierunkiem Michała Misiurewicza,
opublikowaną później w Fundamenta Mathematicae,
w której podała przykład rosnącej rodziny przekształceń odcinka z malejącą entropią. W 1987 roku obroniła doktorat pod moim kierunkiem na Wydziale Matematyki, Informatyki
i Mechaniki Uniwersytetu Warszawskiego (MIMUW). Rozprawa nosiła
tytuł Miara harmoniczna i miara z maksymalną entropią dla podzbiorów
niezmienniczych dla dynamiki holomorficznych. Otrzymała za tę pracę
nagrodę Rektora. Od 1982 roku do chwili obecnej Anna Zdunik pracuje
na MIMUW, na różnych stanowiskach, począwszy od asystenta stażysty do profesora nadzwyczajnego (od 2004 roku). Habilitację uzyskała
w 2002 roku. Od kilku lat pełni funkcję zastępcy dyrektora Instytutu
Matematyki ds. naukowych.
Główną tematyką prac Anny Zdunik są układy dynamiczne, przede
wszystkim iteracje funkcji holomorficznych (dynamika holomorficzna).
Jednym z narzędzi jest formalizm termodynamiczny, stany (miary)
równowagi i ogólniej – teoria ergodyczna. Jest autorem dwudziestu
dwóch prac. Wszystkie opublikowane były w renomowanych czasopismach, niektóre w najlepszych na świecie (Annals of Mathematics,
Inventiones Mathematicae, Advances in Mathematics). Omówię krótko
niektóre z nich.
Większość prac Anny Zdunik z lat osiemdziesiątych i dziewięćdziesiątych dotyczy porównania miar harmonicznych, miar z maksymalną
2
Nowi profesorowie
entropią, oraz miar geometrycznych dla iteracji funkcji wymiernych i konsekwencji geometrycznych. Jej najbardziej znane twierdzenie, opublikowane w artykule [2] mówi, że zbiór Julii dla wielomianu, jeśli jest spójny
i nie jest okręgiem lub odcinkiem, jest zawsze fraktalem (tzn. ma wymiar
Hausdorffa większy od jedności). Dla wielomianu f zbiór Julii J = J(f )
definiuje się jako brzeg basenu przyciągania do nieskończoności.
Ogólniej, twierdzenie Zdunik mówi, że jeśli funkcja f jest wymierna
na sferze Riemanna i nie jest specjalna (tzn. nie ma parabolicznego
orbifoldu), to wymiar Hausdorffa zbioru Julii jest ostro większy od
wymiaru Hausdorffa miary µmax z maksymalną entropią. Dla funkcji wymiernych, a także całkowitych przestępnych lub meromorficznych, zbiór
Julii można zdefiniować jako domknięcie zbioru trajektorii okresowych
odpychających.
W przypadku wielomianu i spójnego zbioru Julii µmax jest miarą
harmoniczną (z nieskończonością, na brzegu basenu przyciągania do
nieskończoności) i ma wymiar 1. Jeśli sytuacja nie jest specjalna, to
występują odchylenia logarytmu średnic małych kul od średniej (całki
względem µmax ), co pozwala skonstruować iterowany układ funkcji będących iteracjami f −1 i w efekcie graniczny zbiór Cantora w J, o wymiarze
większym niż 1. W pracach [1,3], autorstwa niżej podpisanego, M. Urbańskiego i Zdunik, pokazano, że fluktuacje średnic małych kul względem
ich miary harmonicznej powodują singularność miary harmonicznej
względem jednowymiarowej miary Hausdorffa; dokładniejszy opis jest
w języku prawa iterowanego logarytmu.
Inną znakomitą pracą jest [4]. Mówimy, że funkcja holomorficzna
f jest typu wielomianowego, jeśli jest określona na skończonej sumie
rozłącznych dysków Uj zawartych w dysku W i na każdym Uj jest
przekształceniem właściwym na W . Głównym wynikiem jest twierdzenie, że miara harmoniczna na zbiorze Julii J jest równoważna mierze
z maksymalną entropią wtedy i tylko wtedy, gdy f w odpowiednich
holomorficznych współrzędnych na sferze rozszerza się do wielomianu.
Narzędziem jest wyrażenie miary harmonicznej jako laplasjanu pewnej funkcji subharmonicznej, dodatniej harmonicznej na zewnętrznym
uzupełnieniu i zero na J (w przypadku wielomianu jest to po prostu
funkcja Greena). Innym wynikiem jest fakt, że wymiar Hausdorffa miary
harmonicznej na zbiorze Julii jest ostro mniejszy niż 1, jeśli ten zbiór
jest niespójny.
Znacząca jest praca [5] wspólna z K. Barańskim i A. Volbergiem.
R
Hipoteza Brennana mówi, że {z:|z|<1} |R0 |ε−2 d(Leb2 ) dla wszystkich ε ∈
Nowi profesorowie
3
(0, 2]. Tutaj R jest dowolną jednolistną funkcją konforemną określoną na
dysku {z : |z| < 1}, na obszar jednospójny Ω w płaszczyźnie zespolonej
(lub sferze Riemanna).
Hipoteza nie jest udowodniona dla ε ≈ 0 oprócz szczególnych obszarów Ω. Autorzy artykułu [5] podali dowód dla Ω będących jednospójnymi basenami przyciągania do nieskończoności dla wielomianów
kwadratowych.
Znakomity wynik – nieoczekiwany wzór dotyczący średniej miary kurczącego się celu – zawiera praca [7]. Użyta jest metoda large deviations –
Legendre transform.
W ostatnich dziesięciu latach większość prac Anny Zdunik dotyczyła iteracji funkcji całkowitych i meromorficznych z punktu widzenia
geometrycznej teorii miary. Bardzo ważne są wspólne z Urbańskim
prace [6, 9]. Zawierają one niespodziewane odkrycie, że zbiór punktów
stożkowo granicznych Jr w zbiorze Julii dla z 7→ exp z i ogólniej Jr (fλ )
dla fλ (z) := λ exp z dla λ spełniającego warunek superszybkiej ucieczki
do nieskończoności ciągu <fλn (0), lub dla fλ hiperbolicznego, gdy 0
jest przyciągane do przyciągającej trajektorii okresowej, ma wymiar
Hausdorffa hλ := HD(Jr ) < 2 = HD(J). Punkt z jest nazywany stożkowo granicznym, jeśli jest środkiem dowolnie małego koła, na którym
odpowiednia iteracja f jest jednolistna, a obraz zawiera koło o dużej
średnicy (tzn. większej niż stała) w metryce sferycznej. W przypadku
prac [6, 9] ten zbiór to po prostu podzbiór J składający się z punktów nieuciekających do nieskończoności przy działaniu f . Dla funkcji
wymiernych pytanie, czy HD(Jr ) = HD(J), jest nadal otwarte.
Autorzy udowodnili też istnienie σ-skończonej miary h-konforemnej
m na Jr ⊂ C (podniesienia skończonej miary z faktora C/2πi Z),
R
tzn. takiej, że dla każdego borelowskiego E ⊂ Jr , mamy E |f 0 |h dm =
m(f (E)). W dowodzie pojawiają się poważne trudności techniczne,
udowodnienie ścisłości ciągu miar dających w granicy m (ścisłość mówi,
że miary ciągu nie uciekają do nieskończoności). Udowodnione jest
istnienie miary f -niezmienniczej równoważnej m i zbadane jej własności
statystyczne.
We wspólnej z Urbańskim pracy [8], Zdunik udowodniła m.in. rzeczywistą analityczność funkcji λ 7→ HD(Jr (fλ )) dla fλ hiperbolicznych.
Strategia jest standardowa, ale trudności techniczne do pokonania poważne. Sprawdza się analityczną zależność od λ, t operatora Ruelle’a R,
dla potencjału −t log |fλ0 , zatem jego maksymalnej izolowanej wartości własnej σ. Jej logarytm jest tzw. ciśnieniem, a zero ciśnienia to
4
Nowi profesorowie
HD(Jr (fλ )) (formuła Bowena). Analityczna zależność tego zera od λ
wynika z twierdzenia o funkcjach uwikłanych.
Część tej teorii w klasie dowolnych funkcji całkowitych przestępnych
lub meromorficznych o skończonej liczbie wartości krytycznych i asymptotycznych została niedawno napisana przez Zdunik wspólnie z Barańskim
i Karpińską w pracy [12]. Autorzy pokazali, że HD(Jr (fλ )) to zero
ciśnienia. Z powodu trudności ze zdefiniowaniem operatora Ruelle’a na
odpowiedniej przestrzeni, autorzy zdefiniowali ciśnienie bezpośrednio,
nieco podobnie jak to robili Bowen i Ruelle w sytuacji hiperbolicznej,
a Gurewich dla układów symbolicznych z nieskończoną ilością symboli,
i co zostało rozwinięte dla dowolnych funkcji wymiernych przeze mnie
razem z S. Smirnowem i J. Rivera Letelierem.
Ostatnio opublikowane zostały dwie inne nowe prace Zdunik z tej
tematyki, wspólne z Barańskim i Karpińską (patrz [10, 11]).
Technika indukowania, tj. badanie iteracji przekształcenia F powrotu
(niekoniecznie pierwszego) do dobrego zbioru przy iterowaniu f pozwoliła
niedawno Zdunik wspólnie z M. Szostakiewiczem i Urbańskim w pracy
[15] udowodnić szereg własności mieszania dla stanów równowagi funkcji
ciągłych w sensie Höldera. Najpierw dowodzi się twierdzeń dla F , potem
rozszerza się je metodą Lai Sang Young na f .
W ostatnich latach Anna Zdunik zajęła się dynamiką funkcji holomorficznych wielu zmiennych, kontynuując badania m.in. Sibony’ego. Jej
dwie prace na ten temat, na razie nieopublikowane, to praca [13], wspólna
z Urbańskim, i praca [14], wspólna z Szostakiewiczem i Urbańskim.
Anna Zdunik uzyskała szereg nagród, m.in. Sekretarza Naukowego
PAN w 1988 roku, nagrodę Ministra Edukacji Narodowej (wspólną ze
mną i Urbańskim) w 1990 roku, Rektora UW w 1990 i 2000 roku. W 2007
roku była zaproszonym plenarnym wykładowcą na Zjeździe PTM-AMS
w Warszawie.
Anna Zdunik jest bardzo dobrym dydaktykiem; miała mnóstwo
wykładów kursowych, monograficznych, ćwiczeń; wychowała i wychowuje
magistrantów i doktorantów. Była promotorem Michała Sierakowskiego
(obrona w 2009 roku). Jest promotorem dwóch doktoratów na ukończeniu
(Ł. Pawelec, Szostakiewicz). Słuchałem wielu jej wykładów. Były na
ogół doskonałe, wygłoszone z energią i entuzjazmem.
Nowi profesorowie
5
Wychowała, wraz z mężem-astronomem, trzech synów. O najstarszym, wybitnym wiolonczeliście, można przeczytać na stronie http:
//www.marcinzdunik.pl.
Feliks Przytycki (Warszawa)
Wybrane publikacje Anny Zdunik
[1] Harmonic, Gibbs and Hausdorff measures on repellers for holomorphic
maps. I, Ann. of Math. 130 (1989), nr 1, 1–40 (współautorzy: F. Przytycki,
M. Urbański).
[2] Parabolic orbifolds and the dimension of the maximal measure for rational
maps, Invent. Math. 99 (1990), nr 3, 627–649.
[3] Harmonic, Gibbs and Hausdorff measures on repellers for holomorphic
maps. II, Studia Math. 97 (1991), nr 3, 189–225 (współautorzy: F. Przytycki, M. Urbański).
[4] Harmonic measure on the Julia set for polynomial-like maps, Invent. Math.
128 (1997), nr 2, 303–327.
[5] Brennan’s conjecture and the Mandelbrot set, Internat. Math. Res. Notices
12 (1998), 589–600 (współautorzy: K. Barański, A. Volberg).
[6] The finer geometry and dynamics of the hyperbolic exponential family,
Michigan Math. J. 51 (2003), nr 2, 227–250 (współautor: M. Urbański).
[7] Pressure and recurrence, Fund. Math. 178 (2003), nr 2, 129–141 (współautorzy: V. Maume-Deschamps, B. Schmitt, M. Urbański).
[8] Real analyticity of Hausdorff dimension of finer Julia sets of exponential
family, Ergodic Theory Dynam. Systems 24 (2004), nr 1, 279–315 (współautor: M. Urbański).
[9] Geometry and ergodic theory of non-hyperbolic exponential maps, Trans.
Amer. Math. Soc. 359 (2007), nr 8, 3973–3997 (współautor: M. Urbański).
[10] Hyperbolic dimension of Julia sets of meromorphic maps with logarithmic
tracts, Int. Math. Res. Not. IMRN (2008), 10 (współautorzy: K. Barański,
B. Karpińska).
[11] Dimension properties of the boundaries of exponential basins, Bull. Lond.
Math. Soc. 42 (2010), nr 2, 210–220 (współautorzy: K. Barański, B. Karpińska).
[12] Bowen’s formula for meromorphic functions, Ergodic Theory and Dynamical Systems (2011), available on CJO 2011 doi:10.1017/S0143385711000290
(współautorzy: K. Barański, B. Karpińska).
[13] Equilibrium measures for holomorphic endomorphisms of complex projective spaces, nieopublikowana (współautor: M. Urbański).
[14] Stochastics and thermodynamics for equilibrium measures for holomorphic
endomorphisms on complex projective spaces, nieopublikowana (współautorzy: M. Szostakiewicz, M. Urbański).
6
Nowi profesorowie
[15] Fine inducing and equilibrium measures for rational functions of the
Riemann sphere, nieopublikowana (współautorzy: M. Szostakiewicz, M.
Urbański).