Rachunek prawdopodobieństwa

Rachunek prawdopodobieństwa
Ćwiczenia 12
Definicja 1. Dla każdej dystrybuanty F , a więc też dla każdej zmiennej losowej, określa się tak zwany
kwantyl rzędu p, gdzie 0 < p < 1. Jest to liczba:
qp = min{x : F (x) ­ p}.
W przypadku gdy dystrybuanta jest funkcją odwracalną, określenie kwantyla znacznie się upraszcza:
qp = F −1 (p).
Wówczas kwantyl ma prostą interpretację w języku zmiennych losowych. Mianowicie:
P (X < qp ) = P (X ¬ qp ) = F (qp ) = p,
P (X > qp ) = 1 − P (X ¬ qp ) = 1 − F (qp ) = 1 − p.
Definicja 2. Kwantyl rzędu
1
2
nazywa się medianą.
Uwaga 1. Jednak nawet w tym przypadku obliczanie kwantyli może być trudne, gdyż nie znamy
jawnych wzorów na funkcje odwrotne do dystrybuant wielu ważnych rozkładów. Niemniej, dla szeregu podstawowych rozkładów opracowano tablice, z których można odczytać kwantyle qp dla często
używanych wartości p. Pamiętajmy jednak, iż dużo prościej jest skorzystać z dowolnego programu
komputerowego z modułem statystycznym - w szczególności za pomocą programu Excel.
W przypadku rozkładu dyskretnego, wyznaczenie kwantyla rzędu p trzeba bezpośrednio oprzeć na
jego definicji. Załóżmy, dla ustalenia uwagi, że zmienna losowa o rozkładzie dyskretnym przyjmuje
następujące wartości (ustawione w ciąg rosnący):
x1 < x2 < x3 < . . . < xn , gdzie n ¬ ∞.
Wtedy qp jest tym jedynym elementem xi0 , dla którego zachodzi warunek:
F (xi0 −1 ) < p ¬ F (xi0 ) ,
przy czym przyjmujemy, że F (x0 ) = 0.
Oznaczenie 1. Dystrybuantę rozkładu normalnego N (0, 1) będziemy oznaczać przez Φ(·).
Zadanie 1. Obliczymy kwantyl rzędu 0.95 rozkładu jednostajnego skupionego na przedziale (−1, 1).
Zadanie 2. Obliczymy medianę rozkładu zmiennej losowej T, przyjmującej wartości 1, 2, 3, . . . z
prawdopodobieństwami p1 , p2 , p3 , . . . , określonymi jako:
pi = P (T = i) =
1
i−1
5
1
6
6
.
2
Zadanie 3. (2 punkty) Znaleźć estymatory największej wiarygodności parametrów m (pokazywałem
na ćwiczeniach) oraz σ rozkładu normalnego.
Zadanie 4. Na podstawie n-elementowej próbki prostej pobranej z populacji, w której badana cecha
X ma rozkład Poissona
p(x, λ) = P (X = x, λ) =
λx −λ
e
x!
(x ∈ N ∪ {0}),
wyznaczyć metodą największej wiarygodności estymator parametru λ tego rozkładu.
Zadanie 5. Znaleźć estymator największej wiarygodności parametru a, w rozkładzie jednostajnym
na przedziale (0,a).