Rachunek prawdopodobie«stwa

Rachunek prawdopodobie«stwa
‚wiczenia 11
Denicja 1. Prost¡ prób¡ losow¡ (lub krócej prób¡ losow¡) o liczno±ci n nazywamy ci¡g niezale»nych
zmiennych losowych X1 , X2 , . . . , Xn okre±lonych na przestrzeni zdarze« elementarnych Ω i takich, »e
ka»da ze zmiennych ma taki sam rozkªad.
Uwaga 1. Konkretny ci¡g warto±ci
x1 , x2 , ..., xn (prostej) próby losowej X1 , X2 , . . . , Xn nazywamy
realizacj¡ (prostej) próby losowej lub próbk¡.
Denicja 2. Statystyk¡ nazywamy ka»d¡ zmienn¡ losow¡ b¦d¡c¡ ustalon¡ funkcj¡ próby losowej
X1 , X2 , . . . , Xn .
Uwaga 2. Statystyk¡ jest wi¦c, na przykªad, najmniejsza, najwi¦ksza warto±¢ w próbie, iloczyn lub
suma kwadratów wszystkich warto±ci. Oczywi±cie, wybór konkretnej statystyki zwi¡zany jest z nieznan¡
wielko±ci¡ (parametrem) charakteryzuj¡c¡ populacj¦, któr¡ chcemy szacowa¢.
Statystyk¦
n
X̄ =
X1 + X2 + . . . + Xn
1X
=
Xi
n
n
i=1
nazywamy ±redni¡ z próby losowej X1 , X2 , . . . , Xn .
Denicja 3. Ka»d¡ statystyk¦, któr¡ przyjmujemy jako oszacowanie (przybli»enie) nieznanego parametru rozkªadu b¦dziemy nazywa¢ estymatorem.
Denicja 4. Estymator Θ̂n parametru Θ bodniemy nazywa¢ nieobci¡»onym je»eli (dla wszystkich n)
E(Θ̂n ) = Θ.
Zadanie 1.
Czy ±rednia z próby jest nieobci¡»onym estymatorem parametru ±redniej (poªo»enia)
dla rozkªadu Normalnego.
Zadanie 2.
Niech
X1 , . . . , Xn
sko«czon¡ i ró»n¡ od zera warto±¢
b¦dzie prób¡ prost¡ pobran¡ z populacji, w której cecha
σ2.
X
ma
Poka», »e wariancja empiryczna
n
1 X
(Xi − X̄)2 ,
S =
n−1
2
n
gdzie
i=1
jest estymatorem nieobci¡»onym nieznanej wariancji
1X
X̄ =
Xi .
n
i=1
σ2.
Zadanie 3.
Niech X1 , X2 b¦d¡ niezale»nymi zmiennymi losowymi takimi, »e E(X1 ) = 1, E(X2 ) = 3,
D2 (X1 ) = D2 (X2 ) = σ 2 . Dla jakiej staªej c, statystyka T = cX12 + (1 − c)X22 jest estymatorem
nieobci¡»onym parametru σ 2 ?
Zadanie 4.
(2 punkty) Znale¹¢ estymatory najwi¦kszej wiarygodno±ci parametrów
rozkªadu normalnego.
1
m
oraz
σ
2
Zadanie 5.
cecha
X
Na podstawie
n-elementowej
próbki prostej pobranej z populacji, w której badana
ma rozkªad Poissona
p(x, λ) = P (X = x, λ) =
λx −λ
e
x!
(x ∈ N ∪ {0}),
wyznaczy¢ metod¡ najwi¦kszej wiarygodno±ci estymator parametru
Zadanie 6.
λ
Znale¹¢ estymator najwi¦kszej wiarygodno±ci parametru
tego rozkªadu.
a,
w rozkªadzie jednostajnym
na przedziale (0,a).
Denicja 5. Dla ka»dej dystrybuanty F , a wi¦c te» dla ka»dej zmiennej losowej, okre±la si¦ tak zwany
kwantyl rz¦du p, gdzie 0 < p < 1. Jest to liczba:
qp = min{x : F (x) ≥ p}.
W przypadku gdy dystrybuanta jest funkcj¡ odwracaln¡, okre±lenie kwantyla znacznie si¦ upraszcza:
qp = F −1 (p).
Wówczas kwantyl ma prost¡ interpretacj¦ w j¦zyku zmiennych losowych. Mianowicie:
P (X < qp ) = P (X ≤ qp ) = F (qp ) = p,
P (X > qp ) = 1 − P (X ≤ qp ) = 1 − F (qp ) = 1 − p.
Denicja 6. Kwantyl rz¦du
1
2
nazywa si¦ median¡.
Uwaga 3. Jednak nawet w tym przypadku obliczanie kwantyli mo»e by¢ trudne, gdy» nie znamy
jawnych wzorów na funkcje odwrotne do dystrybuant wielu wa»nych rozkªadów. Niemniej, dla szeregu podstawowych rozkªadów opracowano tablice, z których mo»na odczyta¢ kwantyle qp dla cz¦sto
u»ywanych warto±ci p. Pami¦tajmy jednak, i» du»o pro±ciej jest skorzysta¢ z dowolnego programu
komputerowego z moduªem statystycznym - w szczególno±ci za pomoc¡ programu Excel.
W przypadku rozkªadu dyskretnego, wyznaczenie kwantyla rz¦du p trzeba bezpo±rednio oprze¢ na
jego denicji. Zaªó»my, dla ustalenia uwagi, »e zmienna losowa o rozkªadzie dyskretnym przyjmuje
nast¦puj¡ce warto±ci (ustawione w ci¡g rosn¡cy):
x1 < x2 < x3 < . . . < xn , gdzie n ≤ ∞.
Wtedy qp jest tym jedynym elementem xi0 , dla którego zachodzi warunek:
F (xi0 −1 ) < p ≤ F (xi0 ) ,
przy czym przyjmujemy, »e F (x0 ) = 0.
Oznaczenie 1. Dystrybuant¦ rozkªadu normalnego N (0, 1) b¦dziemy oznacza¢ przez Φ(·).
Zadanie 7.
Zadanie 8.
Obliczymy kwantyl rz¦du
0.95 rozkªadu jednostajnego skupionego na przedziale (−1, 1).
Obliczymy median¦ rozkªadu zmiennej losowej T, przyjmuj¡cej warto±ci
prawdopodobie«stwami
p1 , p2 , p3 , . . . ,
okre±lonymi jako:
i−1
5
1
pi = P (T = i) =
.
6
6
1, 2, 3, . . .
z