Modelowanie układów mechanicznych

Modelowanie układów mechanicznych - równania Lagrange’a
Równania ruchu układów mechanicznych formułuje się głównie z zastosowaniem równania
Lagrange’a drugiego rodzaju, pochodzących pośrednio od II prawa dynamiki Newton’a.
Równania te przyjmują postać:


d  E  E

 Qi , i = 1,2,......,s
dt   q  qi
 i
1.1
gdzie; E - energia kinetyczna układu, Q - siła uogólniona qi - i-ta współrzędna uogólniona,

qi - i-ta pochodna współrzędnej uogólnionej, s - liczba stopni swobody układu
Zdarza sie iż siły występujące w układach mają charakter potencjalny
U
. Wprowadzając te
qi
siły do równania 1.1 otrzymujemy


d  E  E U


 Qi , i = 1,2,......,s
dt   q  qi qi
 i
1.2
gdzie; U - energia potencjalna układu
Prostszą postać równania Lagrange’a drugiego rodzaju możemy uzyskać wprowadzając
pojęcie Lagrangianu który jest różnicą energii kinetycznej i potencjalnej:
L=E-U
1.3
Wówczas otrzymamy równanie Lagrange’a drugiego rodzaju w postaci:


d  L  L

 Qi , i = 1,2,......,s
dt   q  qi
 i
W przypadku gdy siły w układzie mają charakter również dyssypatywny
1.4
D

równanie
 qi
Lagrange’a drugiego rodzaju możemy zapisać w postaci:


d  E  E D U



 Qi , i = 1,2,......,s
dt   q  qi  q qi
i
 i
gdzie; D - dyssypacja energii,
1.4