RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE
ZWYCZAJNE
Marta Zelmańska
Toruń 2009
1
Rozdział 1
Wstęp
Definicja 1.
Równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu n nazywamy równanie:
F (t, x, x0 , x00 , ..., x(n) ) = 0
(1.1)
Rozwiązaniem równania (1.1) nazywamy funkcję ϕ(t) klasy C n , która podstawiona do równania w miejsce x zmienia to równanie w tożsamość. Wykres
funkcji ϕ (t) w przestrzeni Rm+1 zmiennych (t,x) nazywamy krzywą całkową
równania (1.1).
Definicja 2.
Weźmy równanie:
x0 (t) = f (t, x(t))
(1.2)
Zagadnienie początkowe(Cauchy’ego) dla równania (1.2) z warunkiem początkowym x(t0 ) = x0 :
½ 0
x (t) = f (t, x(t))
(1.3)
x(t0 ) = x0
Definicja 3.
autonomiczne(zależy tylko od x)
x0 = f (x)
√
x0 = 2 x
nieautonomiczne(zależy dodatkowo od czasu t)
x0 = f (t, x)
√
x0 = t2 + x
Tablica I: Rodzaje równań
Definicja 4.
Rozwiązaniem zagadnienia (1.3) nazywamy funkcję klasy C 1 na przedziale
[t0 , t0 + a] spełniającą równanie (1.2) oraz warunek początkowy x(t0 ) = x0 .
2
Rozdział 2
Istnienie i jednoznaczność rozwiązań równań różniczkowych
Założenia wspólne:
• f (t, x) : Rm+1 → Rm
• Q = {(t, x) : |t − t0 | ≤ a, |x − x0 | ≤ b}
• M := sup(t,x)∈Q |f (t, x)|
nazwa tw.
PEANO
założenia
f ciągła na Q
α = min(a, Mb )
PICARDA- f Lipschitzowska ze stałą L
LINDELÖFA
α < min(a, Mb , L1 )
teza
zagadnienie (1.2) ma rozwiązanie
na [t0 , t0 + α]
zagadnienie (1.2) ma jednoznaczne
rozwiązanie na |t − t0 | ≤ α
Tablica I: Twierdzenia o istnieniu rozwiązań
UWAGA:
Są to twierdzenia dotyczące rozwiązań lokalnych jednak zbiory rozwiązań
można konstruować tak, aby je przedłużać.
Przykład 1.
Niejednoznaczność rozwiązań przy braniu funkcji nie będącej Lipschitz’a.
Metoda rozdzielania zmiennych:
√
dx
0 = x(1) = (1 + ( 2c ))2
=
2
R dtdx
R x
c
√ =
2dt
= −1 =⇒ c = −2
2
x
1
2x 2 = 2t + C
x(t) = (t − 1)2
x = (t + C2 )2 - całka ogólna
x(t)=0
dorzucamy jeszcze rozw. osobliwe NIEJEDOZNACZNOŚĆ
-4
4
x(t)
2
0
-2
0
2
4
t
-2
3
-4
Rozdział 3
Równania liniowe
3.1
Równania liniowe pierwszego rzędu
Definicja 5.
Równanie liniowe:
x’+p(t)x=q(t)
(3.1)
gdzie p(t),q(t) — funkcje zmiennej t ∈ (a, b)
Równanie liniowe jednorodne:
x’+p(t)x=0
(3.2)
Twierdzenie 1.
Niech będzie dany operator liniowy L(x)=x’+p(t)x. Wtedy:
a). Jądro operatora LRjest przestrzenią jednowymiarową, jej bazą jest funkcja u(t) = exp(− p(s)ds); x-rozw.(3.2) ⇐⇒ L(x) = 0(x ∈ Ker).
t0
b). u(t) =
R
t0
q(τ )exp(−
R
p(s)ds)dτ jest szczególnym rozwiązaniem równa-
τ
nia niejednorodnego L(x)=q(t) (uzmiennianie stałych).
c). Każde rozwiązanie równania L(x)=q(t) można przedstawić w postaci
sumy rozwiązania szczególnego up (t) i pewnego rozwiązania z jądra
operatora L, tzn.
x(t) = up (t) + u(t)
UWAGA: Istnieją różne typy równań sprowadzalnych do równań liniowych
np. Bernoulliego , Riccatiego.
4
3.2
Równania liniowe drugiego rzędu
Definicja 6.
Zagadnienie początkowe:
x”+p(t)x’+q(t)x=r(t)
(3.3)
x(t0 ) = x0 ,x0 (t0 ) = x1
(3.4)
Warunek początkowy:
Definicja 7.
Niech x1 (t), x2 (t) — funkcje różniczkowalne na (a,b).
Wrońskianem układu x1 , x2 nazywamy wyrażenie:
µ
¶
x1 (t) x2 (t)
W (x1 , x2 )(t) = det
= x1 (t)x02 (t) − x2 (t)x01 (t)
x01 (t) x02 (t)
(3.5)
Gdy W (x1 , x2 )(t) 6= 0 to układ funkcji x1 , x2 nazywamy liniowo niezależnym.
Twierdzenie 2.
Niech będzie dany operator liniowy 2 rzędu : L(x)=x”+p(t)x’+q(t)x.
Wtedy:
a). Jądro operatora L jest dwuwymiarowe, jego bazą są funkcje x1 , x2 spełniające warunek W (x1 , x2 )(t) 6= 0
b). Każde rozwiązanie równania L(x)=q(t) można przedstawić w postaci
sumy rozwiązania szczególnego xp (t) i pewnego rozwiązania z jądra
operatora L, tzn.
x(t) = xp (t) + C1 x1 (t) + C2 x2 (t)
Definicja 8.
Równanie charakterystyczne operatora liniowego L(x) = ax00 + bx0 + cx:
aλ2 + bλ + c = 0
5
(3.6)
Rozwiązania równania L(x) = 0 zależą od ∆ :
pierwiastki
rozw. L(x)=0
∆>0
λ1 6= λ2 ∈ R
eλ1 t , eλ2
rozw.ogólne
c1 eλ1 t + c2 eαt
∆<0
∆=0
b
λ1 6= λ2 - sprzężone ∈ C podwójny: λ1 (t) = e− 2a t
eλ1 t = eαt (cosβt + isinαt)
eλ1 t , teλ1 t
eλ2 t = eαt (cosβt − isinαt)
c1 eαt cosβt + c2 eλ2 sinβt
tλ1 (t)
Tablica II: Rozwiązania równania L(x)=0
Znajdziemy rozwiązanie ogólne równania: x00 + 5x0 + 4x = 0 oraz zagadnienia początkowego : x(0) = 1, x0 (0) = 2
• λ2 + 5λ + 4 = 0 — równanie charakterystyczne
• λ1 = −4, λ2 = −1 — pierwiastki
• x(t) = c1 e−4t + c2 e−t — rozwiązanie ogólne
• x(0) = c1 + c2 , x0 (0) = −4c1 − c2
• c1 = −1, c2 = 2
• x(t) = −e−4t + 2e−t — rozwiązanie zagadnienia początkowego
3.3
Układy równań liniowych
Definicja 9.
Niech A(t) - macierz m × m Rozważmy równanie:
x0 = A(t)x
(3.7)
Macierzą fundamentalną układu (3.7) nazywamy macierz kwadratową m×m
spełniającą równanie X’=A(t)X, dla której ∆(t) 6= 0.

 1
x1 ... xm
1
 . ... . 

Gdzie macierz : X(t) = 
 . ... . , a kolumnami są wektory x1 (t), ...xm (t)
x1m ... xm
m
nazywane fundamentalnym układem rozwiązań układu (3.7).
6
Twierdzenie 3.
Każde liniowe równanie jednorodne postaci (3.7) ma układ fundamentalny.
Przykład 2.
 0


3 5 0
 x = 3x + 5y
y 0 = 4x − 5y
Znajdź macierz fundamentalną:
⇒ A =  4 −5 0 
 0
z = 3x + 4y + 3z
3 4 3
Rozwiązanie:
• det(A − λI) = 144 ⇒ λ1 = −7, λ2 = 5 — wartości własne


3 0 0
• J(A) =  0 5 0  — macierz Jordana
0 0 −7
• (A − λI)x = 0 ⇒
x1 = (0, 0, 1), x2 = ( 52 , 1, 23
), x3 = (1, −2, 21 ) — wektory własne
4


0 52 1
• P (x1 , x2 , x3 ) =  0 1 −2  — macierz przejścia
1
1 23
4
2
 3t

e
0
0
5t
J(A)t

0
e
0 
• e
=
−7t
0 0 e
 5 5t
 2 e C2 + e−7t C3
e5t C2 − 2e−7t C3
• Rozwiązaniem układu jest: x(t) = P ·eJ(A)t ·C =
 3t
e C1 + 23
e5t C2 + 12 e−7t C3
4
7
3.4
Stabilność rozwiązań równań różniczkowych
Definicja 10.
Punkt x0 nazywamy punktem stacjonarnym (płożeniem równowagi) równania x0 = f (x), jeżeli f (x0 ) = 0.
Przykład 3.
Niech f(x)=x. Wtedy f=0, gdzy x=0. Zatem rozwiązanie x(t)=0 jest
jedynym rozwiązaniem stacjonarnym podanego równania.
Rozwiązania stacjonarne (x=const)
STABILNE (w sensie Lapunowa)
NIESTABILNE
jeśli startując z warunku początkowego x0
blisko rozwiązania stacjonarnego, pozostajemy
w pobliżu tego rozwiązaniawraz z upływem czasu.
jeśli znajdzie się taki początkowy
początkowy dowolnie blisko x=const
dla którego rozwiązanie ucieka
od x=const wraz z upływem czasu.
ASYMPTOTYCZNIE STABILNE
jeśli jest stabilne i dla warunku pocz.
dostatecznie blisko x=const rozwiązanie x(t)
z tym war. pocz. zbiega do x przy t → ∞
Przykłady
f (x) = −x (as.)
f (x) = x
Tablica III: Rodzaje rozwiązań
8
Hartmana-Grobmana
Lapunowa
0
x = Ax, σ(A)-spectrum A - zbiór wartości własnych A
Re(σ(A)) < 0 =⇒ x=0 jest
jeżeli f(p)=0 i wśród wartości własnych Df(p)
asymptotycznie stabilnym p.równowagi
nie ma wartości własnych czysto urojonych,
Re(σ(A)) ≤ 0 oraz każda wartość
0
0
to równanie nieliniowe x = f (x) i liniowe x = df (p) własna jest semiprosta =⇒ x=0 stabilny
są topologicznie sprzężone w otoczeniu p.
∃ w.własna λ ∈ σ(A) taka, że Re(λ) > 0
to x=0 jest niestabilny.
Tablica IV: Twierdzenia dotyczące stabilności punktu
Przykład 4.
½ 0
y = −y
Rozwiązanie:
z0 = z + y2
½
y=0
−y = 0
⇒ (0,0)
⇒
2
z=0
z+y =0
!
µ
¶
−1 0
⇒
2y 1
½
• szukamy punktów równowagi:
Ã
• macierz linearyzacji:
df1
dy
df2
dy
df1
dz
df1
dz
• obliczamy
µ
¶macierz linearyzacji w podanym punkcie (0,0):
−1 0
⇒ wartości własne to -1,1. Nie ma wartości czysto urojo0 1
nych więc korzystając z powyższych twierdzeń punkt (0,0) jest niestabilny.
9
Dodatek
Twierdzenie 4.
Nierównośc Gronwalla
Niech I ⊂ R będzie otwarym odcinkiem takim, że t0 ∈ I oraz α, β, u ∈
C(I, R+ ). Jeżeli ∀t ∈ I zachodzi:
u(t) 6 α(t) + |
R
β(s)u(s)ds|
t0
to dla każdego t ∈ I
u(t) 6 α(t) + |
R
|
α(s)β(s)e
R
tβ(σ)dσ|
s
ds|
t0
Definicja 11.
Ustalmy ² > 0 oraz f ∈ C(IxD, Rn ). Funkcję u : Iu → D nazywamy
² rozwiązaniem równania różniczkowego (1.1) jeżeli:
• Iu ⊂ I - niepusty i otwarty odcinek
• u ∈ C(Iu , D) - odwzorowanie kawałkami klasy C 1
• ∀J ⊂ Iu takiego, że u ∈ C 1 (J, D) zachodzi nierówność:
||u0 (t) − f (t, u(t))|| 6 ²
Twierdzenie 5.
(lemat) Niech Iu ⊂ I ⊂ R (niepusty i otwarty odcinek) i niech f ∈
C(IxD, Rn ). Ustalmy t0 ∈ I. Odwzorowanie u : Iu → D jest rozwiązaniem
równania różniczkowego ⇐⇒ u ∈ C(Iu , D) oraz ∀t ∈ Iu
Z
u(t) = u(to ) + f (s, u(s))ds
t0
10