dx, (4) - E-SGH

Matematyka - lista 4
1. Obliczy¢ caªki nieoznaczone
√
R √
R
R
2
3
−x 3 x
(x3 −3x+7)dx, (2) (2 x2 − x1 + x22 )dx, (3) ( 3x √
)dx, (4) xex dx, (5)
x
R 2
R x
R
R
(x + 1) sin
, (6)
e Rcos xdx, (7) ln xdxR, (8) xα ln xdxR, gdzie α ∈ R jest
R xdx
2
2
1
staª¡, (9) ln xdx, (10) sin 2x cos xdx, (11) sin xdx, (12)
(2x+1)2 dx, (13)
√
R√
R √
R
R
3x + 1dx, (14) x x − 1dx, (15) x(2x2 +1)5 dx, (16) (3x2 +2) x3 + 2x + 1dx,
R 2x+3
R
R
R x2
2
(17)
arctan xdx (19) xe−2x +1 dx, (20) √
dx, (21)
5 3
x2 +3x−1 dx, (18)
x +1
R
R sin √x
R e− x1
R cos x
R arctan x
√
√
dx, (22) tan xdx, (23)
dx, (24)
x2 dx, (25)
1+x2 dx, (26)
x
1+sin x
R √
R
R √
R x√
3 −x
3
ln x+1
e
+1
dx, (27) e ex + 1, (28) (2x + 1) sin 3xdx, (29)
dx, (30)
x
ex
R
R
R
R
2
ln ln x
−2x
2
(3x−1)e
dx, (31) (2x+3) ln(x+1)dx, (32)
x(x +1)ex dx,
x dxR, (33)
R
R √
2
(34) 2x x2 + 1 ln(x2 +1)dx, (35) sin(2x)esin x dx, (36) ln(sin x)(tan x)−1 dx.
(1)
R
2. (∗ nadobowi¡zkowe) Obliczy¢ caªki nieoznaczone
x+1
x2 +x−1
x+1
x+1
x−1
, (3)
, (4)
x−1 dx, (2)
x+1 dx
x2 +x−2 dx
x2 +4x+5 dx, (5)
(x+1)2 (x+2) dx,
√
√
R
R
R
R
R
1+√x
x+1
ex
x
dx
(6)
dx, (9) ex +e
−x dx, (10)
(x2 +4)(x−1) dx, (7)
x dx, (8)
2ex +1 dx,
1−
x
R√
(11)
ex + 1dx.
(1)
R
R
R
R
R
3. (E1 ) Sprawdzi¢, która z liczb I1 i I2 jest wi¦ksza:
R1
(a) I1
=
(b) I1
=
2
8xe−4x dx i I2
0
R e 3 ln2 x
x dx i I2 =
1
4. (E) Niech
√
f (x) = | x − 1|
(a) Wyznaczy¢ ekstrema
R1
= 0 xe−x dx,
Re 2
x ln xdx.
1
x ≥ 0.
lokalne f .
for
(b) Znale¹¢ pole obszaru ograniczonego wykresem
5. (E) Niech
f (x) = | x1 − 1|
(a) Wyznaczy¢ ekstrema
f
i prostymi
for
x > 0.
lokalne f .
(b) Znale¹¢ pole obszaru ograniczonego wykresem
f
i prostymi
y = 0.
6. Narysowa¢ obszar ograniczony krzywymi i obliczy¢ jego pole
(1)
y = 3 − x, y =
√
x + 1, y = 0, x = 4.
(3)
y = x, y = 14 x, x > 0.
√
x = y , y = 2 − x, y = 0.
(4)
y = x2 − x − 6
(5)
y = 2x2 − 1, y =
(6)
−2x
(2)
y=
1
x,
4
y = xe
1 Oznacza,
,
and
√
x = 0, x = 4, y = 0.
y = −x2 + 5x + 14,
x, y = −x.
y = 0, x =
1
2
»e zadanie pojawiªo si¦ na egzaminie.
1
x = e−1 , x = e,
R0
tet dt dla x < 0.
(a) Wyznaczy¢ wzór f (x) obliczaj¡c caªk¦ oznaczon¡.
(b) Wyznaczy¢ przedziaª, w którym f ro±nie coraz wolniej.
7. (E) Niech
f (x) =
x
f (x) = x3 (x4 − 16)3 .
R
(a) Obliczy¢
f (x)dx.
(b) Znale¹¢ pierwotn¡ funkcji f (x),
8. (E) Niech
której warto±¢ najmniejsza w przedziale
jest równa 5.
2
[1, 3]