ANALIZA FUNKCJONALNA I TOPOLOGIA Lista 2

ANALIZA FUNKCJONALNA I TOPOLOGIA
Lista 2 - Funkcjonały i Twierdzenie Hahna-Banacha
1. Pokazać, że jeżeli X jest unormowaną przestrzenią liniową, a Y jej podprzestrzenią,
to Int(Y ) = ∅, tzn. wnętrze Y jest zbiorem pustym.
2. Pokazać, że funkcjonał liniowy ϕ na unormowanej przestrzeni liniowej X jest
ciągły wtedy i tylko wtedy gdy Y = Kerϕ jest domkniętą podprzestrzenią liniową
przestrzeni X.
3. Pokazać, że funkcjonał niezerowy ϕ na unormowanej przestrzeni liniowej jest
ciągły wtedy i tylko wtedy gdy Y = Kerϕ jest zbiorem nigdziegęstym w X,
tzn. Int(Y ) = ∅.
4. Niech (xn ) będzie ciągiem elementów unormowanej przestrzeni liniowej X. Pokazać,
że
n
X
x = lim
ck xk
n→∞
k=1
dla pewnego ciągu liczb (cn ), wtedy i tylko wtedy gdy ϕ(x) = 0 dla dowolnego
ϕ ∈ X ∗ , takiego że ϕ(xk ) = 0 dla każdego k ∈ N.
5. Pokazać, że jeżeli wektory x1 , x2 , . . . , xn są liniowo niezależne w unormowanej
przestrzeni liniowej X nad ciałem C oraz c1 , c2 , . . . , cn ∈ C, to istnieje ϕ ∈ X ∗ ,
taki że ϕ(xn ) = cn .
6. Niech K będzie otwartym zbiorem wypukłym zawierającym wektor zerowy w
unormowanej przestrzeni liniowej X i niech p będzie odpowiadającym mu funkcjonałem Minkowskiego, tzn. p(x) = inf{a > 0 : x/a ∈ K}. Pokazać, że p spełnia
następujące warunki:
(a)
(b)
(c)
(d)
p(ax) = ap(x) dla każdego a ∈ R oraz każdego x ∈ X,
p(x + y) ≤ p(x) + p(y) dla x, y ∈ X,
istnieje M ≥ 0, takie, że 0 ≤ p(x) ≤ M k x k dla każdego x ∈ X,
K = {x : p(x) < 1}.
7. Wyznaczyć funkcjonał Minkowskiego dla otwartego koła o promieniu 1 i środku
w zerze oraz otwartego kwadratu o boku 2 i środku w zerze na płaszczyźnie R2 .
8. Udowodnić, że jeżeli A, B są wypukłymi zbiorami rozłącznymi w unormowanej
przestrzeni liniowej X, przy czym A jest domknięty, a B jest zwarty, to istnieje
hiperpłaszczyzna H, która ściśle rozdziela A oraz B. Jest to tzw Drugie Geometryczne Twierdzenie Hahna-Banacha. Wskazówka: Zdefiniować zbiory
A = A + B(0, ) oraz B = B + B(0, )
i skorzystać z Pierwszego Geometrycznego Twierdzenia Hahna-Banacha z wykładu,
które mówi, że można rodzielić dwa rozłączne zbiory wypukłe, z których jeden
jest otwarty.
R. Lenczewski
1