1. Mac

DIAGONALIZACJA
prosty przykład krok po kroku
Dane jest przekształcenie liniowe L : R2 → R2 , L(x, y) = (x + 2y, 3x + 2y);
1. Macierz AL przekształcenia L w bazie standardowej B = {(1, 0), (0, 1)}:
znajdujemy obrazy wektrów bazowych - składowe tych wektorów (w bazie standardowej) wpisujemy
do kolumn macierzy A:
"
L(1, 0) = (1 + 0, 3 + 0) = (1, 3) →
"
#
#
2
2
L(0, 1) = (2, 2) →
1
3
Stąd:
"
1 2
3 2
AL =
#
(oczywiście macierz tę można napisać od razu :)
2. Wartości własne przekształcenia L, a tym samym macierzy AL znajdujemy z warunku:
det (A − λI) = 0
"
det
1−λ
2
3
2−λ
♠
#
λ2 − 3λ − 4 = 0
⇒
=0
⇒
λ1 = −1,
λ2 = 4.
3. Dla znalezionych wartości własnych λ1 = −1 i λ2 = 4 wyznaczamy odpowiadające im wektory własne
(x, y) z warunku:
"
(A − λI)
x
y
#
"
0
0
=
#
♠♠
Dla λ1 = −1:
"
Stąd x + y = 0
⇒
y = −x
2 2
3 3
#"
#
x
y
⇒
"
=
0
0
#
(x, y) = (x, −x) = x(1, −1), x ∈ R.
Zatem odpowiednia przestrzeń wektorów własnych :
W−1 = lin {(1, −1)} .
Dla λ1 = 4:
"
Stąd −3x + 2y = 0
⇒
−3 2
3
−2
y = 23 x
#"
x
y
#
"
=
0
0
#
(x, y) = (x, 23 x) = x(1, 32 ), x ∈ R.
⇒
Zatem odpowiednia przestrzeń wektorów własnych :
3
W4 = lin (1, ) .
2
4. Otrzymane generatory przestrzeni wektorów własnych: (1, −1) oraz (1, 32 ) są liniowo niezależne, więc
tworzą bazę przestrzeni R2 :
3 def n~ ~ o
0
B = (1, −1), (1, ) = b1 , b2 .
2
Gdy istnieje baza wektorów własnych, macierz AL jest diagonalizowalna. ♠♠♠
5. Macierz przekształcenia L w bazie wektorów własnych (w bazie B 0 ):
L~b1 = L(1, −1) = (1 + 2(−1), 3 · 1 + 2(−1) = (−1, 1) = (−1)(1, −1) = −1 · ~b1 + 0 · ~b2 = [−1, 0]B 0
3
3
L~b2 = L(1, ) = (4, 6) = 4(1, ) = 0 · ~b1 + 4 · ~b2 = [0, 4]B 0
2
2
Stąd wpisując otrzymane składowe do kolumn macierzy A0l otrzymujemy:
"
A0L
= DL =
−1 0
0 4
#
.
Oznaczenie DL - dla macierzy przekształcenia L w bazie, w której jest ona diagonalna. Z powyższego
widać, że macierz tę można napisać od razu wpisując na diagonali wartości własne w odpowiedniej
kolejności (zgodnej z porządkiem bazy).
A teraz DL inaczej:
Macierz przekształcenia w „nowej” bazie:
DL = A0L = P −1 AL P
♥
gdzie P jest macierzą przejścią od „starej"(tutaj standardowej) do „nowej” (tutaj bazy wektorów własnych). Kolumnami tej macierzy są składowe wektorów „nowej” bazy zapisanych w „starej” bazie:
"
~b1 =
1
−1
#
"
~b2 =
,
#
1
"
→
3
2
P =
1 1
−1 32
#
Macierz odwrotną P −1 można wyznaczyć np. metodą eliminacji Gaussa:
"
[P |I] =
1 1 1 0
−1 32 0 1
#
"
→
#
1 1 1 0
0 25 1 1
"
→
1 1 1 0
0 1 25 25
#
"
→
1 0 0 1 3
5
2
5
− 25
#
2
5
Stąd
P
oraz
1
DL =
5
"
3 −2
2 2
#"
−1
"
3 −2
2 2
#
#"
1 1
−1 32
#
1
=
5
1 2
3 2
"
= ··· =
−1 0
0 4
#
6. Mając DL , P oraz P −1 można w prosty sposób wyznaczyć n-tą potęgę przekształcenia L np. wektora
(1, 0) (lub ogólniej n-tą potęgę macierzy A):
"
n
L (1, 0) =
♥
AnL
1
0
#
"
= AL AL · · · AL
1
0
#
P DL P −1 = P P −1 AL P P −1 = AL
AnL = P DL P −1 P DL P −1 · · · P DL P −1 = P DLn P −1
Stąd:
"
AnL
1
0
#
"
=
P DLn P −1
1
0
#
"
=
1 1
−1 32
#"
(−1)n 0
0
4n
#
1
5
"
3 −2
2 2
#"
1
0
#
1
0
#
"
= ··· =
Przykładowo dla n = 5
"
A5L
1
0
#
"
=
409
615
#
,
co można sprawdzić „na piechotę”:
"
1 2
3 2
#"
1 2
3 2
#"
1 2
3 2
#"
1 2
3 2
#"
1 2
3 2
#"
= ···
1
5
(3(−1)n + 2 · 4n )
− 53 ((−1)n − 4n )
#