1 Przestrzenie własne

Pomocnik część 3 pt. ”Poczucie własnej wartości (macierzy)”
1
Przestrzenie własne
Może się zdarzyć, że ktoś każe nam obliczyć wartości własne macierzy kwadratowej (nazwijmy ją A) oraz odpowiadające tym wartościom podprzestrzenie złożone z wektorów własnych. Wtedy należy oczywiście w pierwszym kroku obliczyć wielomian charakterystyczny, czyli χA (λ) = det(A − λI). Jest
to wielomian stopnia takiego jak wymiar macierzy (oznaczmy ten stopień
przez n). W następnym kroku musimy znaleźć pierwiastki wielomianu χA .
Teraz opowiem jak poprawnie interpretować zbiór pierwiastków wielomianu
charakterystycznego. Mamy następujące możliwości:
• Jeśli macierz A jest określona nad ciałem R (lub innym ciałem które
nie jest algebraicznie domknięte np. Q) wtedy χA może nie mieć żadnych pierwiastków. Oznacza to, że macierz nie ma żadnych wartości
własnych a zatem żadnych wektorów własnych. Przykładem macierzy,
która nie ma żadnych wartości własnych jest macierz obrotu płaszczyzny R2 wokół zera o dowolny kąt θ różny od zera i różny od π. Taka
macierz ma postać:
"
cos(θ) − sin(θ)
sin(θ) cos(θ)
#
Polecam państwu sprawdzić własnoręcznie, że taka macierz nie ma żadnej wartości własnej. Jednak jeśli macierz jest określona nad ciałem
zespolonym (lub innym ciałem algebraicznie domkniętym - jednak na
pierwszym roku raczej nie ma szans żeby spotkali się Państwo z innym
ciałem algebraicznie domkniętym niż C) wtedy wielomian charakterystyczny zawsze ma pierwiastki (niekoniecznie różne).
• Niektóre wartości własne mogą być jednokrotnymi pierwiastkami χA .
Niech λ1 będzie takim pierwiastkiem jednokrotnym. Wtedy sytuacja
jest prosta. Oznacza to, że przestrzeń złożona z wektorów własnych o
wartości własnej λ1 jest jednowymiarowa. Jak znaleźć taką przestrzeń
(oznaczaną zwykle Vλ1 )? Otóż ta przestrzeń jest równa jądru macierzy
A − λ1 I. Mam nadzieję, że każdy umie wyznaczyć jądro macierzy (a
jeśli nie to niech się rychło tego nauczy).
• Niektóre wartości własne mogą być wielokrotnymi pierwiastkami χA .
Niech λ2 będzie k-krotnym pierwiastkiem wielomianu charakterystycznego dla k ¬ n. Otóż wtedy w ogólności przestrzeń rozpięta przez
wektory własne o wartości własnej λ2 nie musi być k-wymiarowa.
Wiemy jedynie, że jest conajwyżej k-wymiarowa oraz conajmniej 1-wymiarowa. Proszę o tym pamiętać! Podam teraz przykład
macierzy, która ma wartość własną λ2 = 2 o krotności 3, ale taką,
że przestrzeń złożona z wektorów własnych o wartości własnej 2 jest
dwuwymiarowa:


2 0 0


 0 2 1 
0 0 2
1
Jak każdy widzi powyższa macierz ma wartość własną 2 o krotności
3. A jak przekonać się, że przestrzeń złożona z wektorów własnych o
wartości własnej 2 jest dwuwymiarowa? Ta przestrzeń to nic innego
jak jądro macierzy


0 0 0


 0 0 1 
0 0 0
Widzimy zatem, że to jądro jest rozpięte przez wektory ex i ey zatem
jest to przestrzeń dwuwymiarowa. Z kolei taka macierz:


2 1 0


 0 2 1 
0 0 2
ma wartość własną 2 o krotności 3, a przestrzeń złożona z wektorów własnych o wartości własnej 2 jest jednowymiarowa (polecam to
sprawdzić samodzielnie). Natomiast taka macierz:


2 0 0


 0 2 0 
0 0 2
ma wartość własną 2 o krotności 3, a przestrzeń złożona z wektorów
własnych o wartości własnej 2 jest 3-wymiarowa. Zatem widzimy, że
krotność λ2 (o ile ta krotność jest > 1) nie determinuje nam wymiaru
przestrzeni Vλ2 a jedynie daje odgórne oszacowanie na wymiar. Żeby
znaleźć Vλ2 trzeba znaleźć jądro macierzy A − λ2 I i dopiero badając
wymiar tego jądra możemy ustalić jaki jest wymiar Vλ2 .
Gdyby trzeba było znaleźć wartości własne endomorfizmu liniowego (czyli
odwzorowania liniowego z przestrzeni w samą siebie) wtedy należy znaleźć
macierz tego endomorfizmu w dowolnej bazie i szukać wartości własnych tej
macierzy.
2