WYKЈAD 13

WYKŁAD 12
3.6. Całka oznaczona Riemanna i jej własności. Zastosowania geometryczne
całki oznaczonej.
3A+B135 (Definicja: całka oznaczona Riemanna). Rozważmy funkcję
f :[a, b]  . Punkty a  x0  x1  ...  xn  b tworzą podział odcinka [a, b] na n
części. Niech xk  xk  xk 1 - długość k-tego odcinka,  n  max xk - średnica
1k n
podziału,  k - punkt pośredni k-tego odcinka, k [ xk 1, xk ] , gdzie 1  k  n .
Utwórzmy n-tą sumę całkową dla funkcji f :
n
 n   f (k )xk
(1)
k 1
Jeżeli ciąg (  n ) sum całkowych jest zbieżny, gdy średnica  n  0 , do granicy
właściwej niezależnej ani od sposobu podziału przedziału [a, b] ani od sposobów
wyboru punktów pośrednich  k , gdzie 1  k  n , to tę granicę nazywamy całką
b
oznaczoną funkcji f w przedziałe [a, b] i oznaczamy symbolem
 f ( x)dx . Mamy
a
b
zatem

a
n
f ( x)dx  lim  n  lim  f ( k )xk . Wtedy funkcja f jest całkowalna w
 n 0
 n 0
k 1
przedziale [a, b] , a i b nazywamy dolną granicą i górną granicą całkowania.
3A+B136 (Twierdzenie). Funkcja ciągła w przedziale [a, b] jest całkowalna w tym
przedziale.
Uwaga. Jeżeli funkcja f jest całkowalna na przedziale [a, b] , to
ba n 
b  a 
f
(
x
)
dx

lim
f
a

k



a
n 
n  
 n k 1 
(obliczanie całek przy pomocy sumy całkowej podziału równomiernego).
b
n(n  1) 1
1 n k
xdx

lim

lim
 .



2
0
n n
ciąg n
n
2
n
2
 k 1  aryt .
1
Przyklad: f ( x)  x, x [0,1] 
3A+B137 (Własności całek). Jeżeli funkcje f i g są całkowalne na [a, b] , to
137.1) liniowość:
b
 (
a
f ( x)   g ( x)) d x  
 , 
b
b
a
a
 f ( x) d x    g ( x) d x ;
137.2) addytywność ze względu na przedział całkowania: dla c  (a, b) mamy
b
c
b
a
a
c
 f ( x)dx   f ( x)dx   f ( x)dx;
137.3) monotoniczność (o zachowaniu nierówności przy całkowaniu):
jeżeli f ( x)  g ( x) dla x [a, b] to
b
b
a
a
 f ( x)dx   g ( x)dx,
b
w szczególności m(b  a)   f ( x)dx  M (b  a) , gdzie
a
inf
sup
x[ a ,b ]
x[ a ,b ]
m  min f ( x), M  max f ( x);
137.4) twierdzenie całkowe o wartości średniej: jeżeli f jest ciągła na [a, b] , to
b
b
1
a f ( x)dx  f (c)(b  a) dla pewnego c  (a, b) ; liczbę b  a a f ( x)dx
nazywamy wartością średnią funkcji f na przedziale [a, b] ;
137.5) całka funkcji nieparzystej, parzystej: niech [a, b]  [c, c], c  0 ; wtedy
c
a)
b)
 f ( x)dx  0 dla funkcji
c
c
c
c
0
f nieparzystej na [c, c] ,
 f ( x)dx  2 f ( x)dx dla funkcji
a
137.6) definiujemy
def
f parzystej na [c, c] ;
a
b
b
a
 f ( x)dx  0,  f ( x)dx   f ( x)dx .
a
3A+B138 (Uwaga: warunki całkowalności funkcji).
138.1. Warunek konieczny: jeżeli funkcja f jest całkowalna na przedziale [a, b] , to
jest ograniczona na tym przedziale. Ale nie każda funkcja ograniczona na [a, b]
jest na [a, b] całkowalna.
1, x  Q
Przykład: funkcja Dirichleta D( x)  
, x [a, b]  [0,1] , gdzie Q jest
0, x  Q
zbiorem liczb wymiernych, nie jest całkowalna na przedziale [0,1] .
138.2. Warunek wystarczający: jeżeli funkcja f jest ograniczona na przedziale
[a, b] i ma na tym przedziale skończoną liczbę punktów nieciągłości pierwszego
rodzaju, to jest na nim całkowalna. Wtedy całkę definiujemy ze wzoru
addytywnosci z punktami pośrednimi c w punktach nieciągłości.
3A+B139 (Funkcja górnej granicy całkowania). Jeżeli funkcja f jest całkowalna
w przedziale [a, b] oraz c [a, b] , to funkcja
x

def
f (t ) dt  F ( x ) górnej granicy
c
całkowania jest ciągła na przedziale [a, b] i ma pochodne właściwe w każdym
punkcie x0 , w którym funkcja f jest ciągła, przy czym F '( x0 )  f ( x0 ) . Wtedy,
jeżeli funkcja f jest ciągła na przedziale [a, b] , to funkcja F jest jej funkcją
pierwotną, przy czym
x
d
f (t )dt  f ( x), x  (a, b) .
dx c
2
Przykład:
'
'
x
c
x
x
  x t 2

2
d  t 2   t 2
t 2
  e dt     e dt   e dt     e dt   et dt  
  x
 c

dx   x
c
c
 
 

2
2
( F ( x2 )  F ( x)) '  F '( x 2 )2 x  F '( x)(1)  e x 2 x  e x .
4
2
3A140 (Główne twierdzenie podstawowe rachunku całkowego: wzór NewtonaLeibniza). Jeżeli funkcja f jest ciągła na [a, b] , to
b

def
f ( x)dx  F (b)  F (a)  F ( x) ba ,
a
gdzie F jest dowolną funkcją pierwotną funkcji f w tym przedziale.
Uwaga. Twierdzenie 3A140 pozwala sprowadzić obliczenie całki oznaczonej
funkcji ciągłej f do obliczenia całki nieoznaczonej czyli jakiejkolwiek funkcji
pierwotnej funkcji f.
Przykład (korzystamy z algorytmu calkowania funkcji wymiernych, zobacz
3A+B131.1):
1
1
3x5  2 x 4  x3  3x 2  x  1
1
x 1 

dx    3x 2  2 x  1 
 2
 dx 
3
0
x 1
x

1
x

x

1


0
1

1
x

 3

1
3 2
2   3  ln 2  2 .
  x  x 2  x  ln x  1  ln x 2  x  1 
arctg
2
3
3 
3


2  0
3A141 (Twierdzenie o całkowaniu przez części). Jeżeli funkcje u i v mają ciągłe
pochodne na przedziale [a, b] , to
b
b
 u( x)v '( x)dx  [u( x)v( x)]   v( x)u '( x)dx.
b
a
a
a
Przykład:
dx 

1
u

arccos
x
,
d
u

xd x
1

2 

1  x   [ x arccos x] 0  
0 arccos x d x  
2
0 1 x
vx
 d v  d x,

1
1 (2 x) d x
1
 
   2 1  x2
2 0 1  x2
2
1
1
0
 1.
3A142 (Twierdzenie o całkowaniu przez podstawienia). Jeżeli
1) funkcja f jest ciągła na przedziale [a, b] ,
2) funkcja  :[t0 , t1 ]  [a, b] ma ciągłą pochodną na przedziale [t0 , t1 ] ,
3)  (t0 )  a oraz  (t1 )  b , to
b
t1
a
t0
 f ( x)dx   f ( (t ))   '(t )dt.
Przykłady:
1
a)

1
1
b)

1
 x  cos t , dx   sin tdt  0

1  cos 2t



1  cos t1    sin t ( sin t )dt  
1  x dx   1  cos t0 ,
dt  ;
2
2
0
t0  
 
t1  0

 x  sin t , dx  cos t dt  2
1
  cos 2 tdt   .
1  x 2 dx  2 1  x 2 dx  

0  sin 0, 1  sin
 0
2
0

2 
2
3A143 (Interpretacja geometryczna całki oznaczonej). Niech T oznacza trapez
krzywoliniowy, ograniczony wykresem nieujemnej funkcji f na [a, b] , osią Ox,
n
prostymi x=a, x=b. Suma całkowa  n   f ( k )xk tej funkcji na [a, b] jest
k 1
przybliżeniem pola trapezu T przez sumę pól prostokątów Pk o podstawach
T
i wysokościach
trapezu
f (k ), 1  k  n . Pole
xk  xk  xk 1
krzywoliniowego T definiujemy wtedy jako granicę (o ile istnieje) sumy pól
prostokątów Pk aproksymujących ten trapez, gdy średnica (podziału)  n  0 .
Mamy zatem, T  lim
n

 n 0
k 1
Pk  lim
n

 n 0
k 1
b
f ( k )  x k   f ( x) dx.
a
3A+B144 (Zastosowania całek oznaczonych w geometrii).
144.1. Obliczanie pól: jeżeli funkcje f i g są ciągłe na [a, b] , to pole D obszaru
D ograniczonego wykresami funkcji y  f ( x) i y  g ( x) oraz prostymi x=a, x=b
wyraża się wzorem
b
D   f ( x)  g ( x) dx ,
a
b
w szczególności, D   ( g ( x)  f ( x))dx dla f ( x)  g ( x), x [a, b] . Analogicznie
a
d
D   f ( y )  g ( y ) d y jeżeli obszar D jest ograniczony wykresami funkcji
c
x  f ( y) i x  g ( y) oraz prostymi y  c, y  d .
Przykłady. Obliczyć pola figur geometrycznych ograniczonych podanymi
krzywymi:
1) y  x  4  0, y 2  4 y  x  0; mamy:
1

y3 3 y 2 
5
D   ( y  4  y  4 y )dy   4 y  
 20 .

3
2  4
6

4
2) y  sin x, y  cos x, x  0, x   ; mamy:
1
2

D   sin x  cos x dx 
 /4

0 (cos x  sin x)dx  / 4 (sin x  cos x)dx  2
0
2.

x2 y 2 
3) ćwiczenie (B): D   ab dla obszaru D  ( x, y ) : 2  2  1 (a  0, b  0)
a
b


ograniczonego ellipsej.
144.2. Długość L krzywej L:
1) o równaniach parametrycznych: L  {( x(t ), y(t )) : t [t0 , t1 ], t0  t1} , gdzie funkcje
x  x(t ), y  y(t )
mają
ciągłe
pochodne
na
przy
czym
[t0 , t1 ] ,
 x '(t )    y '(t ) 
2
t1
2
 0, t [t0 , t1 ] ; wtedy
 x '(t )    y '(t ) 
L 
2
2
dt , w szczególności,
t0
2) o równaniu (jawnym) y  f ( x), x [a, b], a  b , gdzie f ' jest ciągła na [a, b] ;
b
mamy zatem L   1   f '( x)  dx .
2
a
Przykłady. Obliczyć długość łuku krzywej:
a) cykloidy x  r (t  sin t ), y  r (1  cos t ),0  t  2 ,
L
2
2

t
r (1  cos t )  r sin tdt   2r sin dt  4r  sin udu  8r;
2
0
0
0
2

2
2
2

b) L  ( x,ln x ) : x  [1, e ] 
e
1  x2
1 e 1 t
1
dt  ...
L   1    dx  
dx 2 
x t 2
t
x
x


1
1
1
144.3. Objętość bryły. Niech bryła V leży między płaszczyznami x=a, x=b, a
pole S(x) przekroju bryły płaszczyzną prostopadła do osi Ox w punkcie x jest
funkcją ciągłą na [a, b] . Wtedy objętość V bryły V wyraża się wzorem
2
e
b
V   S ( x) dx .
a
Przykłady:
1) objętość Vox bryły i pole Sox powierzchni obrotowej powstałej z obrotu
wykresu nieujemnej funkcji y  f ( x), x [a, b] , wokół osi Ox:
b
Vox    f ( x) dx,
2
a
b
Sox  2  f ( x) 1   f '( x)  dx ;
a
2
podobnie wyraża się Vo y , So y :
d
Voy    x ( y ) dy,
2
b
Soy  2  x( y ) 1   x '( y)  dy ;
c
2
a
2) (objętość obszaru ograniczonego ellipsoidej). Niech

x2 y 2 z 2 
V  ( x, y, z )  3 : 2  2  2  1 , a  0, b  0, c  0 . Wtedy na mocy
a
b
c


3A+B144.1(3) mamy:
a
a
 x2 
x2
x2
4
V    b 1  2  c 1  2 dx  2  2 bc  1  2  dx   abc.
a
a
a 
3
a
0
3B145 (Zastosowania w fizyce):
145.1) droga L przebyta w ruchu ze zmienną szybkością V (t )  v(t ) na [a, b]
b
wyraża się wzorem L   V (t )dt ;
a
145.2) praca A wykonana przez zmienną siłę F ( x)  F ( x) od x=a do x=b
b
wyraża się wzorem A   F ( x)dx
a
itd.
3B146 (Uwaga). Aproksymacja całek sumami całkowymi daje metody przybliżone
obliczania całek.
146.1. Metoda prostokątów:
b
ba
f
(
x
)
dx

( y0  y1  ...  yn1 ) ,
a
n
ba

gdzie yk  f  a  k
 dla 0  k  n  1;
n


(b  a)2
max f '( x) .
błąd  n przybliżenia określa się wzorem  n 
2n x[ a ,b ]
146.2. Metoda trapezów:
b
(b  a)3
b  a  y0  yn

f ''( x) ;
a f ( x)dx  n  2  ( y1  ...  yn1 ) ;  n  12n2 xmax
[ a ,b ]
146.3. Metoda parabol – wzór Simpsona:
b
bay  y
y  y  ...  y
2( y  y  ...  y2 n1 ) 
a f ( x)dx  n  0 6 2n  2 2 3 2n2  1 3 3
 ,
ba
(b  a)5

0

k

2
n
yk  f  a  k


max f (4) ( x) .
,
;
n

4 x[ a ,b ]
2n 
2880n

3.7. Całki niewłaściwe.
3A147 (Definicja: całki niewłaściwe pierwszego rodzaju). Niech funkcja f będzie
określona na przedziale I (gdzie I  [a, ) , (, b] lub (; ) ) i całkowalna
na dowolnym przedziale [a1, b1 ]  I . Wtedy całkę niewłaściwą (pierwszego
rodzaju) funkcji f na I definiujemy wzorem:

147.1)

def

f ( x)dx  lim


147.3)

f ( x)dx  lim
B
a
b
147.2)
def
B
 f ( x)dx
a
b
A  
def
f ( x)dx  lim
 f ( x)dx (całka niewłaściwa na półprostej);
A
c
A  

(całka niewłaściwa na półprostej);
B
c
c

 f ( x)dx  Blim
 f ( x)dx  
 
A
f ( x)dx 


f ( x)dx
c
(całka niewłaściwa na prostej, c oznacza dowolną liczbę rzeczywistą),
jeżeli granice po prawej stronie znaku równości istnieją i są właściwe, wtedy
mówimy, że całka niewłaściwa jest zbieżna. W przeciwnym przypadku mówimy,
że całka jest rozbieżna (do ,  jeżeli granica istnieje i jest równa odpowiednio
,  ).


Uwaga. Jeżeli całka
f ( x)dx w 3A147 jest zbieżna dla pewnego c  , to jest

zbieżna dla dowolnego c 
i jej wartość nie zależy od c .
3B148 (Wartość główna całki niewłaściwej). Wartość główną definiujemy
wzorem

def
V .P.  f ( x)dx  lim
A 

A

f ( x)dx .
A
3A+B149 (Uwaga). Korzystając z twierdzenia Newtona-Leibniza, mamy

1)

a

3)


def

f ( x)dx  lim F ( x)  F (a)  F ( x) a ; 2)
x

b


b
f ( x)dx  F ( x)  ;
f ( x)dx  F ( x)  , gdzie F jest funkcją pierwotną funkcji f .
3A+B150 (Przykłady).

150.1)

1
dx
  


arctg
x

lim
arctg
x

arctg
1

  ;
1
x 
2 4 4
1  x2
pole obszaru
 x 1 B
 a1


B
dla


1
dx
dx
,  1


150.2) Całka    lim    lim    1 a
dla
  1
a  0 B  x
B 
x
a
a

  ,   1
B
ln x a dla   1 
  1 jest zbieżna, dla 0    1 jest rozbieżna do  ;

150.3)


0
B
sin x dx  lim  sin x dx  lim  sin xdx  lim [ cos x]0A
A
B 
A
A
0
 lim [ cos x]0B (nie istnieje, jest rozbieżna);
A

150.4) V .P.  sin xdx  lim [ cos x]AA  lim [ cos A  ( cos( A))]  0 .
A

A
3A151 (Definicja: całki niewłaściwe drugiego rodzaju). Niech funkcja f
(może być nieograniczona) będzie określona na przedziale I
(gdzie I  (a, b], [a, b) lub [a, c)  (c, b], c  (a, b) ) i będzie całkowalna na
dowolnym przedziale [a1, b1 ]  I . Wtedy całkę niewłaściwą (drugiego
rodzaju) funkcji f (nieograniczonej) na I definiujemy wzorem:
b
151.1)

def
f ( x)dx dla I  (a, b] ;
lim 
 f ( x)dx  
0
f ( x)dx dla I  [a, b) ;
0 a 
b 
def
a
b
151.2)

a
b
151.3)
b

f ( x)dx  lim

def
f ( x)dx  lim
10
a
dla I  [a, c)  (c, b] ;
a
c 1

a
f ( x)dx  lim
b

2 0 c 
2
c
b
a
c
f ( x)dx   f ( x)dx   f ( x)dx
b
 c

151.4) V .P. f ( x)dx  lim   f ( x)dx   f ( x)dx  dla I  [a, c)  (c, b] .
0
a
c 
 a

b
dx
3A152 (Przykład: zbieżność calek postaci   ).
0 x
b
def
 b1
dx
dx
,  1

Całka    lim    ...  1  
a 0 0
0 x
 x
 ,   1

dla 0    1 jest zbieżna, dla   1 jest rozbieżna do  .
b
b
3A+B153 (Twierdzenia: kryteria zbieżności całek niewłaściwych).
153.1. Kryterium porównawcze zbieżności (rozbieżności) całek:
niech 0  f ( x)  g ( x) dla x  I , gdzie I  (, b] , [a; ) , (, ) , (a, b] , [a, b)
lub [a, c)  (c, b] . Wtedy
a) jeżeli całka niewłaściwa funkcji g na przedziale I jest zbieżna, to całka funkcji
f na tym przedziale jest także zbieżna;
b) jeżeli całka funkcji f na I
jest rozbieżna, to całka funkcji
g na I jest także rozbieżna.
153.2. Kryterium ilorazowe
zbieżności całek: niech
funkcje f i g dodatnie (albo
ujemne) określone na I i
całkowalne na dowolnym
przedziale [a1, b1 ] , [a1, b1 ]  I ,
spełniają warunek
f ( x)
lim
 k (gdzie
xc g ( x)
0  k   ; c   dla I  (, b] , c   dla I  [a; ) , c   dla
I  (, ) , c  a  dla I  (a, b] , c  b dla I  [a, b) , c  c dla
I  [a, c)  (c, b] .
Wtedy całki niewłaściwe funkcji f i g na I są jednocześnie zbieżne albo
rozbieżne.
Przykład. Zbadać zbieżność całki niewłaściwej

f ( x)
dx
1
1
lim
 1,
.
Mamy:
,
,
g
(
x
)

f
(
x
)

 x1000  x 2  1
x1000 x g ( x)
x1000  x 2  1
1


dx
dx
 x1000 jest zbieżna   x1000  x 2  1 jest także zbieżna.
1
1
3A154 (Definicja: zbieżność bezwzględna całek niewłaściwych). Całka
niewłaściwa funkcji f na przedziale I jest zbieżna bezwzględnie, gdy całki
niewłaściwe funkcji f oraz f są zbieżne.
3A+B155 (Twierdzenie). Jeżeli
funkcja
przedziale [a1, b1 ]  [a, ) i jeżeli całka
jest całkowalna na dowolnym
f


f ( x)dx jest zbieżna bezwzględnie, to
a
jest zbieżna. Twierdzenie odwrotne nie jest prawdziwe.
3A+C156 (Twierdzenie Dirichleta). Jeżeli funkcja f jest całkowalna na
dowolnym przedziale [a, B]  [a, ) oraz
B
 f ( x)dx  K
( K  const dla
a
B , a  B   ) i funkcja g monotonicznie maleje do 0, gdy x   , to całka

niewłaściwa

f ( x)g ( x)dx jest zbieżna.
a
3A157 (Uwaga). Jeżeli funkcja f jest nieograniczona na sąsiedztwach punktów
c1, c2 ,..., cn [a, b] (gdzie c1  c2  ...  cn ), to całkę niewłaściwę funkcji f na [a, b]
definiujemy wzorem:
c1
b
c2
 f ( x)dx   f ( x)dx  
a
a
ck

f ( x)dx 
ck 1
f ( x)dx  ... 
c1
c

f ( x)dx 
ck 1
ck

f ( x)dx  ... 
ck 1
ck

b

f ( x)dx , gdzie
cn
f ( x)dx ( ck 1  c  ck ).
c
3A+B158 (Przykłady). Zbadać zbiezność podanych całek niewłaściwych:

1)

0
0
6)
dx
, 2)
x
e x
sin x
dx , 7)
x




0
3
x 2
dx , 3)
1  x2
0
dx

 cos x , 8) 

0
0
3
x 2
 1  x 2 dx , 4)
1
dx
.
x 1  x 


0
sin x
x
3
2

dx , 5)

0
sin x
dx ,
x