1 Definicja całki oznaczonej
Transkrypt
1 Definicja całki oznaczonej
1 Definicja całki oznaczonej Niech dana będzie funkcja y = g(x) ciągła w przedziale [a, b]. Przedział [a, b] podzielimy na n podprzedziałów punktami a = x0 < x1 < x2 < . . . x0 < xn−1 < xn = b Długość i−tego podprzedziału oznaczymy ∆xi = xi − xi−1 , a cały zbiór n podprzedziałów oznaczymy ∆n . Podziałowi ∆n możemy przyporządkować liczbę δn = max ∆xi , nazywaną średnicą podziału. Możemy rozpatrywać ciąg podziałów (∆n ). Taki ciąg nazywamy normalnym, gdy lim δn = 0. n→∞ Dla danego podziału ∆n wybieramy w każdym podprzedziale liczbę ξi , xi−1 ¬ ξ ¬ xi i tworzymy sumę n X σn = f (ξi )∆xi . (1) i=1 Jeżeli dla każdego ciągu normalnego podziałów przedziału [a, b] każdy ciąg sum (σn ) dąży do granicy skończonej (niezależnej od wyboru punktów ξi ), to granicę tę nazywamy całką oznaczoną funkcji f (x) w przedziale [a, b] i oznaczamy przez Z b f (x) dx. a Pojedyncze składniki sumy (1) są polami prostokątów o podstawie ∆xi i wysokości f (ξi ). Suma tych pól przybliża pole figury ograniczonej od dołu osią Ox, od góry wykresem funkcji f (x), a z boków odcinkami prostych x = a, x = b (taką figurę nazywamy trapezem krzywoliniowym). Przybliżenie to jest coraz dokładniejsze gdy n rośnie. Wartość graniczna, czyli całka oznaczona, jest polem trapezu krzywoliniowego. Uwaga. Powyższe określenie całki dotyczy przypadku gdy a < b. Przyjmujemy ponadto, że Z b Z a Z a f (x) dx = − f (x) dx dla a < b. f (x) dx = 0, a b a Twierdzenie 1 (własności całki) 2. Rb 3. Rb a (f (x) a ± g(x)) dx = f (x) dx = Rc a Rb a 1. f (x) dx ± f (x) dx + Rb c Rb a Rb a Af (x) dx = A Rb a f (x) dx; g(x) dx; f (x) dx dla a < c < b; 4. Jeżeli f (x) ¬ g(x) dla x ∈ [a, b], to Rb a f (x) dx ¬ Rb a g(x) dx. Przykład Obliczymy z definicji całkę 01 x dx. W tym celu rozpatrzymy ciąg podziałów na n równych części: 2 n 1 0 < < < · · · < = 1. n n n Punkty ξi wybierzemy jako środki odpowiednich odcinków: R ξi = xi−1 + 1 i−1 1 2i − 1 = + = . 2n n 2n 2n 1 Wtedy σn = n X 2i − 1 1 i=1 2n n n 1 X 1 1 + (2n − 1) 1 (2i − 1) = 2 · ·n= . 2 2n i=1 2n 2 2 = Ciąg jest stały, więc 1 1 x dx = lim σn = . n→∞ 2 0 Zauważmy, że dla innego wyboru liczb ξi , np. ξi = xi−1 = Z σn = n X i−11 i=1 n n = i−1 n otrzymamy n 1 X 1 0 + (n − 1) n−1 (i − 1) = · · n = . n2 i=1 n2 2 2n Tym razem ciąg nie jest stały, ale granica jest taka sama: lim n→∞ n−1 1 = . 2n 2 Jeszcze inaczej: gdy ξi = xi = ni , to otrzymamy σn = n X i1 i=1 = nn n 1 X 1 1+n n+1 i= 2 · ·n= . 2 n i=1 n 2 2n I znowu granica jest taka sama: n+1 1 = . n→∞ 2n 2 lim Twierdzenie 2 (o istnieniu całki) Jeżeli funkcja f (x) jest ograniczona na [a, b] i ma na tym przedzialeR skończoną liczbę punktów nieciągłości pierwszego rodzaju, to istnieje całka oznaczona ab f (t) dt. Mówimy wtedy, że funkcja f (x) jest całkowalna na [a, b]. Całka oznaczona jest liczbą, a całka nieoznaczona — zbiorem funkcji. Niemniej te dwa pojęcia są blisko ze sobą związane. Następujące twierdzenia, wyjaśniające ten związek, są podstawowymi twierdzeniami rachunku całkowego. Twierdzenie 3 (o całce ze zmienną górną granicą)R Jeżeli funkcja f (x) jest ciągła na [a, b], to dla każdego x ∈ [a, b] istnieje całka oznaczona ax f (t) dt. Można więc określić funkcję Z x F (x) = f (t) dt. a Funkcja F (x) jest różniczkowalna na [a, b] i F 0 (x) = f (x). Twierdzenie 4 (Newtona-Leibniza) Jeżeli F (x) jest dowolną funkcją pierwotną funkcji f (x) ciągłej na [a, b], to Z b f (t) dt = F (b) − F (a). a 2 Zamiast F (b) −RF √ (a) piszemy F (x)|ba lub [F (x)]ba . 8 3 Przykłady 1. 1 x dx; R2 3 2 2. R1 (2x + x3 ) dx; 3. 0π√(2 sin x − 3 cos x) dx. R dx 4. 1 3 1+x 2. Następujące twierdzenia ułatwiają obliczanie całek. Twierdzenie 5 (o całkowaniu przez podstawienie) Jeżeli funkcja f (t) jest ciągła na zbiorze wartości funkcji t = ϕ(x) ciągłej i mającej ciągłą pochodną w [α, β] oraz jeżeli ϕ(α) = a, ϕ(β) = b, to Z β f (ϕ(x)) ϕ0 (x) dx = α Przykłady 1. R dx 2. 01 ex +e −x ; 3. R π/2 0 R9 4 b Z f (t) dt. a √dx ; x−1 cos2 x sin x dx. Twierdzenie 6 (o całkowaniu przez części) Jeżeli funkcje u(x) i v(x) mają w przedziale [a, b] ciągłe pochodne, to Z b 0 u(x)v(x)|ba u(x)v (x) dx = a − Z b v(x)u0 (x) dx. a Przykłady 1. 12 ln x dx; R1 x 2. R0 xe dx; π 3. −π x sin x dx. R 2 2.1 Zastosowanie całek w geometrii Obliczanie pól Pole trapezu krzywoliniowego ograniczonego od dołu osią Ox, od góry wykresem funkcji f (x) 0, a z boków odcinkami prostych x = a, x = b wynosi: P = Z b f (x) dx. a Gdy funkcja ograniczająca z góry ma równania parametryczne x = x(t), y = y(t), α ¬ t ¬ β, to: Z β P = |y(t)x0 (t)| dt. α Jeżeli obszar jest ograniczony od dołu wykresem funkcji g(x), od góry wykresem funkcji f (x) 0, a z boków odcinkami prostych x = a, x = b, to wzór na pole ulega modyfikacji i ma postać: Z b (f (x) − g(x)) dx. P = a Przykłady Obliczyć pola figur ograniczonych krzywymi: 3 1 1. xy = 1, y = 0, x = 10 , x = 10. 2 2. y = 4x + 4, y = 2 − x. 2 2 3. xa2 + yb2 = 1 (elipsa). 4. x = a(t − sin t), y = a(1 − cos t), 0 ¬ t ¬ 2π, y = 0 (łuk cykloidy). Jeżeli w biegunowym układzie współrzędnych mamy obszar określony nierównościami: α ¬ ϕ ¬ β, 0 ¬ ρ ¬ ρ(ϕ), gdzie ρ(ϕ) jest pewną krzywą (taki obszar jest trójkątem krzywoliniowym), to jego pole obliczamy stosując wzór 1Z β 2 P = ρ (ϕ) dϕ 2 α Przykłady Obliczyć pola figur ograniczonych krzywymi: π 1. ρ = 2ϕ √ dla 0 < ϕ < 2 ; 2. ρ = a cos 2ϕ, gdzie a > 0 (lemniskata Bernoullego) 2.2 Długość łuku Jeżeli chcemy obliczyć długość łuku krzywej y = f (x) dla a ¬ x ¬ b, to stosujemy wzór l= b Z q 1 + f 0 (x)2 dx. a Przykłady Obliczyć długości łuków krzywych: 1. f (x) = 1 − ln cos x, 0 ¬ x ¬ π4 ; 2. x2/3 + y 2/3 = a2/3 , gdzie a > 0 (asteroida). Jeżeli krzywa jest określona parametrycznie: x = x(t), y = y(t) dla α ¬ t ¬ β, to wzór jest inny: Z β l= q (x0 (t))2 + (y 0 (t))2 dt. α Przykłady Obliczyć długości łuków krzywych: 1. x = a(t − sin t), y = a(1 − cos t), 0 ¬ t ¬ 2π (łuk cykloidy). 2.x = et sin t, y = et cos t, 0 ¬ t ¬ π2 W biegunowym układzie współrzędnych, dla krzywej ρ = ρ(ϕ), α ¬ ϕ ¬ β: l= Z β q (ρ(ϕ))2 + (ρ0 (ϕ))2 dϕ. α Przykłady Obliczyć długości łuków krzywych: 1. ρ = a sin3 ϕ3 , ϕ ∈ [0, 3π]; 2. ρ = 2a sin ϕ, a > 0, ϕ ∈ [0, π]. 2.3 Objętość i pole powierzchni brył obrotowych W układzie Oxy rozpatrujemy krzywą o równaniu y = f (x), a ¬ x ¬ b, i obracamy ją dokoła osi Ox. Krzywa zakreśla wtedy powierzchnię. Po ”zamknięciu” tej powierzchni płaszczyznami x = a i x = b otrzymujemy bryłę, której objętość wynosi: V =π Z b f 2 (x) dx, a 4 a pole powierzchni bocznej S = 2π Z b q f (x) 1 + (f 0 (x))2 dx. a W przypadku równań parametrycznych x = x(t), y = y(t) dla α ¬ t ¬ β, odpowiednie wzory to: Z β V =π y 2 (t)|x0 (t)| dt, α S = 2π Z β q |y(t)| (x0 (t))2 + (y 0 (t))2 dt. α Przykłady 1. Objętość bryły powstałej przez obrót elipsy x2 y 2 + 2 =1 a2 b dokoła osi odciętych. 2. Objętość bryły powstałej z obrotu jednego łuku cykloidy x = a(t − sin t), y = a(1 − cos t), 0 ¬ t ¬ 2π dokoła osi odciętych. 3. Pole powierzchni powstałej przez obrót dokoła osi Ox krzywej y = sin x, 0 ¬ x ¬ π. Wsk.: zastosować wzór: Z √ √ a x√ 2 x2 + a dx = ln |x + x2 + a| + x +a+C 2 2 4. Pole powierzchni powstałej przez obrót asteroidy x = a cos3 t, y = a sin3 t, a > 0 dokoła osi Ox. 3 Całki niewłaściwe Jeżeli funkcja f (x) jest ciągła w (a, b] i jest nieograniczona w otoczeniu punktu a, to określamy całkę niewłaściwą pierwszego rodzaju: b Z f (x) dx = lim a b Z ε→0 a+ε f (x) dx. Analogicznie określamy całkę z niewłaściwością w granicy górnej: Z b a f (x) dx = lim Z b−ε ε→0 a f (x) dx. Jeżeli powyższe granice istnieją i są skończone, to całki nazywamy zbieżnymi; w przeciwnym przypadku (tj. gdy granice nie istnieją lub są niewłaściwe) całki nazywamy rozbieżnymi. R Przykłady 1. 01 √1x dx = 2; √ R 2. 12 x√dxln x = 2 2; R dx 3. 01 (x−1) 2 (rozbieżna). 5 Czasem wystarcza informacja, czy całka jest zbieżna, czy nie. Można wtedy zastosować kryterium porównawcze: R R Jeżeli f (x) ¬ g(x) w (a, b) i całka ab g(x) dx jest zbieżna, to ab f (x) dx też jest zbieżna. Całkami niewłaściwymi drugiego rodzaju nazywamy całki po przedziale nieograniczonym: Z Z b b f (x) dx = lim a→−∞ a −∞ Z ∞ f (x) dx = lim ∞ f (x) dx = lim −∞ b b→∞ a a Z Z Z f (x) dx, f (x) dx, c a→−∞ a f (x) dx + lim Z b→∞ c Przykłady 1. 0∞ e−x dx = 1; R ∞ dx 2. 1 x2 +x = ln 2; R0 3. R−∞ sin x dx (rozbieżna). ∞ dx 4. −∞ x2 +2x+2 R 6 b f (x) dx.