Topologia Algebraiczna II - zadania 1. Udowodnic lemat o pie ciu

Topologia Algebraiczna II - zadania
1. Udowodnić lemat o pie,ciu izomorfizmach: jeśli w przemiennym diagramie grup abelowych jak niżej fi jest izomorfizmem dla i = 1, 2, 4, 5 to f3 też jest izomorfizmem.
A1
↓ f1
B1
→
→
A2
↓ f2
B2
→
→
A3
↓ f3
B3
→
→
A4
↓ f4
B4
→
A5
↓ f5
B5
→
2. Policzyć homologie kompleksu Ãlańcuchowego:
d
d
d
3
2
1
0 → C3 −→
C2 −→
C1 −→
C0 → 0
gdzie C3 = Z ⊕ Z, C2 = Z ⊕ Z ⊕ Z, C1 = Z ⊕ Z, C0 = Z ⊕ Z i przeksztaÃlcenia zadane sa,
macierzami
#
"
"
#
·
¸
2 4
1 −1 1
1 1
, d2 = −1 1 −1 , d1 =
.
d3 = 4 8
3 3
2 4
f
3. Policzyć zerowa, grupe, homologii kompleksu 0 → C1 → C0 → 0, gdzie grupy Ci sa,
wolnymi grupami abelowymi rangi n dla i = 0, 1 a f jest zadane macierza, A taka,, że
det(A) 6= 0.
3. Udowodnić lemmat o we,żu: jeśli w diagramie
→
0
→
A1
↓f
B1
→
→
A2
↓g
B2
→
→
A3
↓h
B3
→
0
→
0
wiersze sa, dokÃladne to istnieje homomorfizm δ : ker(h) → coker(f ) taki, że cia,g ker(f ) →
δ
ker(g) → ker(h) → coker(f ) → coker(g) → coker(h) jest dokÃladny.
4. Udowodnić naturalność homomorfizmu δ z poprzedniego zadania ze wzgle,du na odwzorowania caÃlych diagramów.
5. Udowodnić, że grupy T or(A, B) traktowane jako funktory dwóch zmiennych sa, w każdej
z nich addytywne i speÃlniaja, T or(A, B) = T or(B, A.
6. Udowodnić izomorficzność grup T or(Zn , Zm ) i Zn ⊗ Zm .
7. Udowodnić, że jeśli A lub B sa, grupami wolnymi to T or(A, B) = 0.
8. Udowodnić, że grupy Ext(A, B) traktowane jako funktory dwóch zmiennych sa, w każdej
z nich addytywne
9. Pokazać, że Ext(Z, B) = 0 dla dowolnej grupy abelowej B.
10. Policzyć, że grupa Ext(Zm , Zn ) jest izomorficzna z Zn ⊗ Zm a Ext(Zn , Z) = Zn .
11. Udowodnić, że ∂n1 ◦ ∂n = 0 gdzie ∂n oznacza brzeg w kompleksie singularnym.
12. Udowodnić, że operator podziaÃlu barycentrycznego definiuje Ãlańcuchowy endomorfizm
kompleksu singularnego.
13. Udowodnić, ze aksjomat wycinania jest równoważny warunkowi:
Jeśli X = Int(A) ∪ Int(B) to zanurzenie (A, A ∩ B) ,→ (X, B) indukuje izomorfizm w
homologiach.
P
14. Udowodnić, że H̃i−1 (X) ' H̃i ( X) dla i = 1, 2, ....
15. Udowodnić istnienie homologicznego cia,gu Mayera-Vietorisa: Jeśli A i B sa, podprzestrzeniami X oraz X = IntA ∪ IntB to istnieje dÃlugi cia,g dokÃladny homologii
... → Hn (A ∩ B) → Hn (A) ⊕ Hn (B) → Hn (X) → Hn−1 (A ∩ B) → ...
16. Niech przestrzeń X be,dzie suma, swoich podzbiorów otwartych Ui , i = 1, ..., n.
ZaÃlóżmy, że dla dowolnego j ≤ n i wyboru indeksów i1 , ..., ij zbiór Ui1 ∩ ... ∩ Uij jest
ścia,galny lub pusty. Udowodnić, że Hs (X) = 0 dla s ≥ n − 1.
17. Czy formuÃla hn (x) = Hom(Hn (X); Z) definiuje teorie, kohomologii dla CW-kompleksów ?
18. Niech f : S n → S n be,dzie odwzorowaniem stopnia m. Zdefiniujmy X = S n ∪f
Dn+1 . Zbadać jakie przeksztaÃlcenie w homologiach i kohomologiach singularnych indukuja,:
naturalne zanurzenie S n → X i przeksztaÃlcenie ilorazowe X → S n+1 (ścia,gnie,cie S n ).
19. Niech a : S n → S n oznacza odwzorowanie antypodyczne. Udowodnić, że deg(a) =
(−1)n+1 .
20. Udowodnić, że jeśli f : S n → S n nie ma punktu staÃlego to jest homotopijne z
odwzorowaniem antypodycznym.
21. Udowodnić, że f : S 2n → S 2n ma albo punkt staÃly albo istnieje punkt x ∈ S 2n taki,
że f (x) = −x.
22. Udowodnić, że przeksztaÃlcenie Hurewicza πn (X) → Hn (X; Z) jest homomorfizmem,
naturalnym ze wzgle,du na odwzorowania przestrzeni.
23. Obliczyć strukture, multiplikatywna, w H ∗ (CP ∞ ; Z).
24. Policzyć strukture, multiplikatywna, w kohomologiach RP ∞ ze wspóÃlczynnikami w Z
i Zm dla dowolnego m.
25. Zbadać jak wygla,daja, zbiory klas homotopii odwzorowań [S n ×S k , S n+k ] , [RP n , S n ]
, [RP n , RP n ].
26. Niech x0 ∈ CP ∞ . Pokazać, że pierścienie H ∗ (CP ∞ × S 3 ; Z) oraz H ∗ (CP ∞ × S 1 /x0 ×
S 1 ; Z) sa, izomorficzne.
27. Niech X = CP 2 ∪f D3 gdzie D3 jest dyskiem trójwymiarowym a f : S 2 → S 2 =
CP 1 jest odwzorowaniem stopnia p. Niech Y = (S 2 ∪f D3 ) ∨ S 4 . Pokazać, że X i Y
maja, izomorficzne pierścienie kohomologii z Z-wspóÃlczynnikami ale nie jest to prawda,,
gdy wspóÃlczynniki weźmiemy w ciele Zp .
28. Pokazać, że przyporza,dkowanie odwzorowaniu f : S 2n−1 → S n jego niezmiennika
Hopfa H(f ) ∈ Z jest homomorfizmem grup abelowych.
29. Udowodnić, że jeśli n jest liczba, parzysta, to istnieje f : S 2n−1 → S n o niezmienniku
Hopfa 2.
30. Udowodnić, że dla dowolnej n-wymiarowej rozmaitości orientowalnej M istnieje odwzorowanie f : M → S n stopnia 1.
31. Udowodnić, że dla każdej rozmaitości M istnieje jej dwukrotne nakrycie rozmaitościa,
orientowalna,.
32. Udowodnić, że jeśli M jest rozmaitościa, nieorientowalna, wymiaru n to Hn (M ; Z) = 0.
33. Przypuśćmy, że f : M → N jest odwzorowaniem cia,gÃlym orientowalnych rozmaitości
wymiaru n. ZaÃlóżmy ponadto, że istnieje n wymiarowy dysk D ⊂ N taki, że f −1 (D) jest
suma, rozÃla,cznych dysków Di , i = 1, ..., r oraz fi = f |Di jest homeomorfizmem. Udowodnić,
że deg(f ) = Σri=1 ei gdzie ei = ±1 w zależności od tego czy fi zachowuje czy tez zmienia
orientacje,.
34. Niech C∗ be,dzie skończonym kompleksem Ãlańcuchowym skończenie wymiarowych
przestrzeni liniowych nad Q. Udowodnić, że charakterystyka Eulera kompleksu C∗ jest
równa
Σ(−1)i dimHi (C∗ )
.
35. Niech 0 → A∗ → B∗ → C∗ → 0 be,dzie krótkim cia,giem dokÃladnym kompleksów
Ãlańcuchowych przestrzeni liniowych nad Q o skończenie wymiarowych homologiach.
Pokazać, że charakterystyka Eulera jest addytywna tzn.
χ(A∗ ) + χ(C∗ ) = χ(B∗ )
36. Pokazać, że naturalne odwzorowanie S ∞ /Z2 = RP ∞ → CP ∞ = S ∞ /S 1 pochodza,ce
od wolnego dziaÃlania S 1 na S ∞ indukuje dla dowolnego naturalnego k epimorphism
H 2k (CP ∞ ; Z) → H 2k (RP ∞ ; Z)
.
37. Dla dowolnego d zbadać jaki efekt na grupach kohomologii z Z-wspóÃlczynnikami
przestrzeni CP n ma odwzorowanie zadane wzorem (z0 , ..., zn ) 7→ (Z0d , ..., znd ).
tazadania09.pdf w tazad