Egzamin ustny z matematyki II semestr

Egzamin ustny z matematyki – semestr II
Zakres wymaganych wiadomości i umiejętności
I. Pojęcie funkcji – definicja
– różne sposoby opisu funkcji
– określenie dziedziny, zbioru wartości, miejsc zerowych
1. Należy podać przykłady opisów funkcji i w każdym z nich określić dziedzinę, zbiór
wartości i miejsca zerowe, jeśli istnieją.
2. Określ dziedzinę i miejsca zerowe funkcji:
x−2
x
B) f(x) =
A) f(x) = 2
x +4
x+3
3. Funkcja jest określona wzorem:
A) f(x) = -2x +1
Oblicz: f(0);
f(-1);
f(-
1
);
2
Wyznacz argumenty dla których:
f(x) = 0;
f(x) = 2;
x( x + 1)
x2 −1
C) f(x) =
B) f(x) = 2 x 2 − 4
f( 2 )
f(x) = -2
4. Oblicz miejsca zerowe funkcji:
A) y = -2x +9
B) y = x 2 -1
C) y =
x −1
II Własności funkcji:
- monotoniczność funkcji (przedziały, w których funkcja rośnie, maleje lub jest stała)
5. Korzystając z wykresu funkcji opisz jej własności. (Zadanie 3 str.130 podręcznik –
omówienie wylosowanego)
III. Przekształcenia wykresu funkcji
- przesuniecie o wektor u = [p, q]
- symetria względem osi OX
- symetria względem osi OY
6. Mając dany wykres funkcji f(x) naszkicuj wykresy
funkcji:
a) g(x) = f(x) + 2
x
f(x)
b) h(x) = f(x -2)
c) i(x) = f(x+1) – 3
d) j(x) = - f(x)
e) k(x) = f(-x)
7. Zapisz wzory funkcji, których wykresy otrzymano wykonując podane przekształcenie:
- wykresu f(x) = x 2
a) przesunięcie o 2 w lewo
b) przesunięcie o 3 w dół
c) przesunięcie o wektor u = [-1, 3]
- wykresu f(x) = 2x - 3
a) symetrię względem osi OX
b) symetrię względem osi OY
y
IV funkcja liniowa – jej wykres i własności
8. Sporządź wykres funkcji i omów jej własności: (dziedzina, zbiór wartości, miejsca
zerowe, monotoniczność, wartości dodatnie, współrzędne punktów przecięcia z osiami
układu współrzędnych).
a) f(x) = 2x – 3
b) f(x) = -x +1
c) f(x) =
1
x+3
3
d) f(x) = -
3
x +1
4
9. Wyznacz wzór funkcji, której wykres przechodzi przez punkty:
a) (1, 0) (0, 1)
c) (-1, 1) (3, 3)
b) (0, 2) (3, 1)
d) (0, 3) (-2, 1)
10. Napisz równanie prostej równoległej do prostej l o równaniu y=2x – 3 i przechodzącej
przez punkt P(1, -4)
11. Wśród prostych o podanych równaniach wskaż pary prostych równoległych i pary
prostych prostopadłych:
l: y = 2x +1
n: y = -2x – 5
s: y = - 2x + 1
m: y =
1
x+3
2
K: y = −
1
x+3
2
r: y =
1
x−2
2
V. Równania i nierówności liniowe z jedna niewiadomą:
12. Rozwiąż równanie:
a) 2x – 5 = 9
b) 2x – 1 = 5(x+1)
c) 5(x-2) – 2x = 3 (-3 + x) -1
x x −1 x
d)
−
=
2
6
3
2
2
e) ( x − 4 ) − ( x + 2 ) = x − 5
13. Rozwiąż nierówność; zbór rozwiązań przedstaw na osi liczbowej i zapisz w postaci
przedziału:
a) x - 1 ≤ 0
b) 3(x - 4) > 5(x - 2) + 2
a−3 a a+3 a
c)
+
≤
−
7
21
3
7
2
2
d) ( x − 4 ) > 1 + (3 − x )
IV. Układy równań liniowych:
- metody rozwiązywania układów
- ilustracja graficzna układu równań liniowych (rodzaje układów: oznaczony,
nieoznaczony, sprzeczny)
14. Rozwiąż układ równań metodą podstawiania:
a)
t – 3u – 2 = 0
3t + u + 2 = 0
b)
x+ y x− y
+
=5
3
2
x+ y x− y
−
=1
3
2
15. Rozwiąż metodą przeciwnych współczynników (dodawania stronami) układ równań:
b)
a) 5x – y = 8
6t – 3z = 2
2x + y = 6
3t + 2z = 15
16. Rozwiąż graficznie układ równań:
a)
2x + y = 3
2x + y – 1 = 0
y=x–3
y=-
1
x+2
2
VII Funkcja kwadratowa:
- wzór funkcji kwadratowej ogólny
- wykres funkcji kwadratowej
- liczba miejsc zerowych f. kwadratowej
- przedziały monotoniczności
- współrzędne wierzchołka
17. Podaj własności funkcji przedstawionej na rysunku (Zadanie 5, 6, 7, 8 strona 164 – 165
podręcznik)
18. Podaj postać kanoniczną funkcji kwadratowej.
Funkcja f(x) = 2x 2 - 4x – 2. Zapisz jej wzór w postaci kanonicznej i naszkicuj wykres.
Określ zbiór wartości funkcji.
19. Wyznacz najmniejszą i największą wartość funkcji kwadratowej w przedziale 〈−1,2〉
a) f(x) = x 2 - 3
b) f(x) = 3 x 2 − 6 x − 1
VIII Równania i nierówności kwadratowe
20. Zbadaj ile rozwiązań ma równanie:
a) 2 x 2 − 6 x + 3 = 0
b) x 2 − 2 x + 5 = 0
c) 4t 2 − 12t + 9 = 0
d) 3 x 2 + 6 x = 0
21. Rozwiąż równanie:
a) 2 x 2 − 3 x − 9 = 0
b) x 2 − 8 x + 12 = 0
2
(db) c) ( x − 2 ) + x = 7 − 3 x
22. Rozwiąż nierówność i zbiór rozwiązań przedstaw na osi liczbowej oraz zapisz w postaci
przedziału:
a) x 2 − 4 x + 3 < 0
b) 4 x 2 − 9 ≥ 0
(bdb) c) 3(p+1) 2 +4( p + 1) − 4 ≤ 0
bdb
23. Znajdź wzór funkcji kwadratowej y = f(x), której wykresem jest parabola o wierzchołku
(1,-9), przechodząca przez punkt o współrzędnych (2,-8). Otrzymaną funkcję przedstaw
w postaci kanonicznej. Oblicz jej miejsca zerowe i naszkicuj wykres.
bdb
24. Suma długości podstawy trójkąta i wysokości opuszczonej na tę podstawę wynosi
10 cm. Wyznacz długości podstawy i wysokości tak, aby pole trójkąta było największe.
IX. Wielomiany: jednomiany, stopień wielomianu, dodawanie, odejmowanie, mnożenie
wielomianów, pierwiastki wielomianu.
25. Określ stopień wielomianu oraz oblicz; W(0); W(-1); W(2)
a) W(x) = x 3 − 5 x 2 + 7 x − 9
b) W(x) = 2 x 5 − 7 x 2 + 3 x 3 + 2 x − 1
26. Wykonaj działania na wielomianach:
a) 4 x 2 + 3 x − 2 + 2 x 3 + 4 x 2 + 2 x − 3
b)
(
) (
(2ab − 3b ) − (a + 2ab − 2b )
2
2
)
2
c) -3b (a + 2b )
(
)
d) x 2 − 2 x ( x − 7 )
(
e) (− 2 x + 1) x 2 + 3 x − 4
)
27. Sprawdź czy dana liczba jest pierwiastkiem wielomianu:
x=0
a) W(x) = 3x + 1
1
3
b) W(x) = 6 x 2 + x + 1
x=
c) W(x) = 2 x 4 + 3 x 3 − x + 84
x = -3
X. Rozkład wielomianu na czynniki
- wyłączenie czynnika przed nawias
- wzory skróconego mnożenia
- grupowanie wyrazów
28. Wykonaj działania korzystając ze wzorów skróconego mnożenia:
a) (a - 5) 2 =
b) (2a+3b) 2 =
c) (x - 2)(x + 2) =
2
 1

d)  − a + 3b  =
 3

2
e) (2x - 1) =
29. Rozłóż na czynniki wielomian:
a) x 3 + 4 x =
b) 4 x 2 − 1 =
c) x 2 −4 x + 4 =
d) 3 x 3 − 2 x 2 − 6 x + 4 =
XI. Równania i nierówności trzeciego stopnia:
30. Rozwiąż równanie:
a) x3 – x2 + x – 1 = 0
b) 2 x 3 + x 2 − 2 x − 1 = 0
31. Rozwiąż nierówność i przedstaw jej rozwiązanie na osi liczbowej oraz w postaci
przedziałów.
a) (x +1)(x - 2)(x +3) ≥ 0
c) (x 2 −4)( x + 3) > 0
b) (x 2 +5 )(x+2) <0
d) 3 x 3 − 2 x 2 − 6 x + 4 ≤ 0