PRM. Drgania harmoniczne a ruch po okręgu.

Drgania
harmoniczne
a ruch po okręgu
dr inż. Romuald Kędzierski
Klasyfikacja drgań
Ze względu na
cykliczność
Okresowe
Harmoniczne
Ze względu na
działanie sił
zewnętrznych
Nieokresowe
Nieharmoniczne
Swobodne
Ze względu na
występowanie
tłumienia
Nieswobodne
Tłumione
Nietłumione
Zależność wychylenia z położenia równowagi od czasu w
ruchu harmonicznym
Założenia wyjściowe:
 punkt materialny P porusza się po okręgu o promieniu r z prędkością o stałej
wartości v
 początek układu współrzędnych znajduje się w środku okręgu
Problem:
Jakim ruchem porusza się punkt Q,
będący rzutem punktu P na oś X?
Założenie dodatkowe:
 W chwili początkowej punkt materialny P znajdował się w najniższym położeniu.
W ruchu po okręgu:
Stąd:
Z trójkąta PQ0 widać, że:
Ale:
Oraz:
Stąd:
Wnioski:
 punkt Q wykonuje ruch okresowy wzdłuż osi X,
 ruch ten można traktować jako drgania zachodzące wzdłuż osi X, z położeniem
równowagi znajdującym się w punkcie 0,
 maksymalne wychylenie punktu Q z punktu 0 jest równe promieniowi okręgu,
dlatego amplituda tych drgań wynosi:
 w ruchu drgającym odpowiednikiem prędkości kątowej w ruchu obrotowym
jest tzw. częstość kołowa (kątowa) drgań,
 zależność położenia punktu Q względem punktu 0 (jego wychylenia z położenia
równowagi) wraz z upływem czasu opisuje funkcja sinus.
Ruch drgający, w którym wychylenie z położenia równowagi zmienia się
wraz z upływem czasu jak funkcja sinus, nazywa się ruchem harmonicznym.
Uwaga:
 w ogólności, w chwili początkowej wychylenie z położenia równowagi nie musi
być równe zero. Wtedy równanie zależności wychylenia od czasu przyjmuje
postać:
tzw. faza początkowa (jej wartość należy wyrazić w radianach)
Wyrażenie:
nazywa się fazą drgań
Zatem, zależność wychylenia od czasu dla drgań harmonicznych, można również
przedstawić następująco :
Graficzna interpretacja zależności wychylenia z położenia
równowagi od czasu
Zależność wartości współrzędnej wektora prędkości
od czasu w ruchu harmonicznym
Założenia wyjściowe: jak w przypadku badania zależności wychylenia od czasu.
Z rysunku wynika, że:
Ponieważ:
to:
i
Graficzna interpretacja zależności współrzędnej prędkości
od czasu w ruchu harmonicznym
Zależność wartości współrzędnej wektora przyspieszenia
od czasu w ruchu harmonicznym
Założenia wyjściowe: jak w przypadku badania zależności wychylenia od czasu.
W ruchu „jednostajnym” po okręgu:
Oraz:
Z rysunku wynika, że:
przeciwny zwrot do osi X!
Ale:
Stąd:
Graficzna interpretacja zależności współrzędnej
przyspieszenia od czasu w ruchu harmonicznym
Zależność wartości współrzędnej wektora siły wypadkowej
od czasu w ruchu harmonicznym
Z drugiej zasady dynamiki Newtona wynika, że:
Ponadto:
Stąd:
Wniosek:
Przyczyną ruchu harmonicznego jest
siła, która jest wprost proporcjonalna do
wychylenia z położenia równowagi, ale
oba wektory mają przeciwne zwroty.
Podsumowanie
Ruch drgający nazywamy harmonicznym, jeżeli:
 wychylenie z położenia równowagi zmienia się wraz z upływem czasu jak
funkcja sinus,
 siła powodująca ruch jest wprost proporcjonalna do wychylenia z położenia
równowagi,
 siłą, która również spełnia powyższy warunek jest siła sprężystości.
Równania opisujące ruch harmoniczny
Zadanie domowe
Punkt materialny (o masie 50 gramów) wykonuje drgania harmoniczne opisane
równaniem:
Na jego podstawie:
 określ amplitudę drgań, ich okres i częstotliwość, wartość wychylenia w chwili
początkowej,
 napisz równania:
 oblicz wartości maksymalne (tzw. amplitudy!) prędkości, przyspieszenia i siły
wypadkowej,
 oblicz wartości współrzędnych wektorów wychylenia z położenia równowagi,
prędkości, przyspieszenia i siły wypadkowej, po upływie 0,75 sekundy od chwili
początkowej,
 oblicz, po upływie jakiego czasu licząc od chwili początkowej, wychylenie z
położenia równowagi będzie po raz pierwszy równe połowie amplitudy drgań,
 na jednym układzie współrzędnych narysuj przebiegi zależności: