Wyk³ad 4 - Dwuwymiarowa zmienna losowa

Wykład 4
Dwuwymiarowa zmienna losowa (X, Y)
Rozkłady prawdopodobieństwa
dwuwymiarowej zmiennej losowej (X,Y)
(R2, B, P) - przestrzeń probabilistyczna
A(a,b) = {(x,y) : x < a, oraz y < b}, rodzina zdarzeń losowych,
gdzie a i b są dowolnymi liczbami rzeczywistymi
Wartość dystrybuanty F(x,y) zmiennej losowej (X,Y) w
punkcie (a,b):
F(a,b) = P{(X,Y) ∈ A(a,b)} = P(X < a, Y < b)
Przykład:
Dystrybuanta F(x,y) dwuwymiarowej zmiennej losowej (X, Y)
i. Funkcja F(x,y) jest dwuwymiarowo niemalejąca, to znaczy dla dowolnych dwu
punktów (x1, y1) i (x2, y2) takich, Ŝe x1 ≤ x2, oraz y1 ≤ y2 zachodzi warunek:
F(x2, y2) - F(x2, y1) - F(x1, y2) + F(x1, y1) = P(x1 ≤ X ≤ x2, y1 ≤ Y ≤ y2) ≥ 0
ii. Dla kaŜdego x0, oraz y0 zachodzi:
lim F(x, y0) = 0; lim F(x0, y) = 0;
x → -∞
y → -∞
lim F(x, y0) = 1; lim F(x0, y) = 1;
x → +∞
y → +∞
iii. Funkcja F(x,y) jest dwuwymiarowo lewostronnie ciągła, to znaczy, gdy:
x1 ≤ x2 ≤ x3 ≤ ... jest ciągiem zbieŜnym do x oraz
y1 ≤ y2 ≤ y3 ≤ ... jest ciągiem zbieŜnym do y, to
lim F(yn, yn) = F(x,y)
n → +∞
P{A(a,b)} = P{(x,y) : x < a oraz y < b} = F(a,b)
Dwuwymiarowa zmienna losowa (X,Y) jest typu ciągłego, jeŜeli istnieje
taka nieujemna funkcja f(x,y), Ŝe dla kaŜdej pary liczb (x,y) zachodzi
relacja:
_
x
y
F(x,y) = ∫ ( ∫ f(u,v) du) dv
-∞
-∞
gdzie F(x,y) jest dystrybuantą.
Funkcję f(x,y) nazywa się funkcją gęstości.
JeŜeli funkcja gęstości f(x,y) jest ciągła w punkcie (x,y), to
δ2F(x,y)
 = f(x,y)
δx δy
Rozkłady brzegowe
- zmienne skokowe
pik = P{X = xi, Y = yk}
p•k = Σ pik - rozkład brzegowy zmiennej Y
i
pi• = Σ pik - rozkład brzegowy zmiennej X
k
- zmienne ciągłe
+∞
f1(x) = ∫ f(x, y) dy
-∞
+∞
f2(y) = -∞∫ f(x, y) dx
- dystrybuanta rozkładu brzegowego
- zmiennej losowej X : F1(x) = F(x,∞) = P{ X < x, Y < ∞}
- zmiennej losowej Y: F2(y) = F(∞,y) = P{ X < ∞, Y < y }
Rozkłady warunkowe
- zmienne skokowe
p(xi ⁄ yk) = P{X = xi ⁄ Y = yk} = pik ⁄ p•k = P{X = xi,Y = yk} ⁄ P{Y = yk}
gdzie p•k > 0
p(yk ⁄ xi) = P{Y = yki ⁄ X = xi} = pik ⁄ pi• = P{X = xi,Y = yk} ⁄ P{X = xi}
gdzie pi• > 0
- zmienne ciągłe
P{Y < y ⁄ x ≤ X ≤ x + h} = P{Y < y, x ≤ X ≤ x + h} ⁄ P{x ≤ X ≤ x + h}
gdzie zakładamy, Ŝe P{x ≤ X ≤ x + h} > 0, oraz h > 0.
F(y ⁄ x) = lim P{Y < y ⁄ x ≤ X ≤ x + h} - dystrybuanta warunkowa
h→0
f(y ⁄ x) = f(x, y) ⁄ f1(x) - funkcja gęstości warunkowego rozkładu
prawdopodobieństwa zmiennej losowej Y
(gęstość warunkowa)
f(x ⁄ y) = f(x, y) ⁄ f2(x)
NiezaleŜne zmienne losowe
F(x, y) = F1(x) F2(y)
pik = pi• p•k
f(x, y) = f1(x) f2(y)
Funkcje dwuwymiarowych zmiennych losowych
(X,Y) ↔ (U1,U2)
U1 = g1(X,Y)
X = h1(U1,U2)
U2 = g2(X,Y)
Y = h2(U1,U2)
b d
P( a < X < b, c < Y < d) = ∫ ( ∫ (f(x,y)dy) ) dx =
a
c
= ∫ ∫ f[h1(u1,u2), h2(u1,u2)]) J du1 du2
S
stąd fU(u1,u2) = fX[h1(u1,u2), h2(u1,u2)]) J
gdzie J - jakobian przekształcenia
J  = δ x / δ u1, δ x / δ u2
δ y / δ u1, δ y / δ u2 
Momenty zmiennej losowej dwuwymiarowej
- momenty zwykłe
mkl = E(Xk Yl)
rząd momentu = k + l, gdzie k, l - liczby naturalne
Dwa momenty rzędu pierwszego m10 i m01 są wartościami oczekiwanymi
(pzeciętnymi) w rozkładach brzegowych.
m10 = E(X)
m01 = E(Y)
Trzy momenty rzędu drugiego: m20, m11 i m02
m20 = E(X2)
m02 = E(Y2)
m11 = E(X Y)
Momenty zmiennej losowej dwuwymiarowej
- momenty centralne
µkl = E{(X - m10)k(Y - m01)l}
µ10 = µ01 = 0
µ20 = E{(X - m10)2} - wariancja zmiennej X (V(X) = σX2)
µ02 = E{(Y - m01)2} - wariancja zmiennej Y (V(Y) = σY2)
µ11 = E{(X - m10)(Y - m01)} - kowariancja zmiennych X i Y
(cov(X, Y))
µ20 = m20 - (m10)2
µ02 = m02 - (m01)2
µ11 = m11 - m10 m01
cov(X,Y) = E(X Y) - E(X) E(Y)
Momenty zmiennej losowej dwuwymiarowej
Lemat: Wariancja sumy dwu zmiennych losowych X i
Y równa się sumie wariancji plus ich podwojona
kowariancja. Wariancja róŜnicy dwu zmiennych
losowych równa się sumie wariancji minus ich
podwojona kowariancja.
V(X + Y) = V(X) + V(Y) + 2 cov(X,Y)
V(X - Y) = V(X) + V(Y) - 2 cov(X,Y)
Uwaga: JeŜeli zmienne losowe X i Y są niezaleŜne, to
ich kowariancja równa jest zeru
Współczynnik korelacji
ρ XY = µ XY ⁄ σX σY = µ 11 ⁄ σ1 σ2 =
= E{(X - m01 )(Y - m10 )} / ( E{(X - m10 )2} E{(Y - m01)2})1/2
Właściwości:
i. -1 ≤ ρXY ≤ 1
ii. Warunkiem koniecznym i dostatecznym na to aby zachodził związek
P{Y = a X + b } = 1 jest równość (ρ XY)2 = 1
iii. Wartość bezwzględna współczynnika ρXY jest niezmiennikiem
przekształceń liniowych
(∀a ≠ 0, c ≠ 0, b, d) |ρ XY| = |ρ aX + b, cY + d |
iv. JeŜeli zmienne losowe X i Y są niezaleŜne, to ρ XY = 0.
O zmiennych losowych dla których zachodzi warunek ρ XY = 0
mówimy, Ŝe są nieskorelowane.
Uwaga: JeŜeli zmienne losowe X i Y są niezaleŜne, to są równieŜ
nieskorelowane (ρ XY = 0 ), ale stwierdzenie odwrotne nie zawsze jest
prawdziwe.