z.1. Wykaż, że jeśli w trójkącie równoramiennym dwusieczna kąta

PLANIMETRIA - POZIOM PODSTAWOWY
z.1. Wykaż, że jeśli w trójkącie równoramiennym dwusieczna kąta przy podstawie dzieli dany
trójkąt na dwa trójkąty równoramienne, to kąty danego trójkąta są równe: 36°, 72°, 72°.
z.2. W okrąg o promieniu długości r wpisano kwadrat ABCD. Punkt P jest dowolnym
punktem okręgu, różnym od wierzchołków kwadratu.
Uzasadnij, że ǀPAǀ2 + ǀPBǀ2 +ǀPCǀ2 + ǀPDǀ2 = 8r2.
Z.3.Przekątne prostokąta ABCD mają długość 16 i przecinają się w punkcie E. Na boku BC
obrano punkt F taki, że EF  AC i EF  6. Wykaż, że DF  2,8.
z.4. W kole o promieniu 10 poprowadzono dwie równoległe cięciwy AB i CD po tej samej
stronie środka koła, odległe od siebie o 1. Dłuższa z cięciw jest odległa od środka koła o 5.
Oblicz pole trapezu ABCD.
Z.5. W jakim wielokącie foremnym stosunek miary jednego z kątów zewnętrznych do miary
kąta wewnętrznego jest równy 2 : 7 ?
Z.6. Trójkąt ABC jest prostokątny. Punkt D jest spodkiem wysokości opuszczonej na
przeciwprostokątną AB oraz 3|AD| = |DB|. Wykaż, że |CAD| = 60. Wskazówka :
skorzystaj ze wzoru w trójkącie prostokątnym h2 = xy.
z.7.Pole trapezu równoramiennego jest równe 36cm 2 , a jego podstawy mają długości 6cm
i 12cm . Oblicz tangens kąta ostrego tego trapezu.
z.8. Dany jest trójkąt, w którym jeden z kątów ma miarę 30 stopni. Suma długości przyległych
do niego boków wynosi 14. Oblicz długości tych boków, jeśli wiadomo, że pole trójkąta jest
równe 12.
z.9. Dany jest trójkąt opisany na okręgu o promieniu r. Długości boków tego trójkąta są
kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego. Wykaż, że jedna z wysokości trójkąta jest równa
3r.
z.10. Oblicz pole trójkąta równoramiennego prostokątnego , w którym przeciwprostokątna
ma dł. 6cm.
Odpowiedzi :
z.4. P = 8 + 5√3
z.5. 9-kąt
4
z.7. tgα = 3
z.8. 6 i 8.
z.10. P = 9 cm 2.