Identyfikacja modeli Wienera metodami czestotliwosciowymi

IDENTYFIKACJA MODELI WIENERA
METODAMI
CZĘSTOTLIWOŚCIOWYMI
Opracowanie: Anna Zamora
Promotor: dr hab. inż. Jarosław Figwer
Prof. Pol. Śl.
MODELE WIENERA
MODELE WIENERA
Modele obiektów
nieliniowych
Modele
nierozłączne
Modele
rozłączne
Modele Wienera
Modele Hammersteina
MODELE WIENERA
Model Wienera
u(i)
H(z-1)
yL(i)
y(i)
f2(yL)
Model Hammersteina
u(i)
y(i)
H(z-1)
f1(u)
Model Hammersteina - Wienera
u(i)
f1(u)
H(z-1)
yL(i)
y(i)
f2(yL)
MODELE WIENERA
Definicja:
Modelem Wienera nazywamy model
nieliniowy, w którym wyróżniamy
dynamiczną część liniową i następującą
po niej statyczną część nieliniową.
MODELE WIENERA
Metody identyfikacji modeli Wienera:
- stochastyczne bazujące na rozłączności problemów
identyfikacji części liniowej i nieliniowej przy założeniu
białości pobudzenia;
- zwiększania liczby parametrów w celu uzyskania problemu
liniowego + dowolna metoda estymacji liniowej;
- korelacyjne opierające się na zależności, że kwadrat
korelacji wzajemnej wyjścia z wejściem jest wprost
proporcjonalny do korelacji drugiego rzędu między tymi
sygnałami;
- iteracyjne polegające na identyfikacji na zmianę części
liniowej i nieliniowej przy parametrach drugiej
traktowanych jako stałe współczynniki.
TWIERDZENIE BUSSGAGA
TWIERDZENIE BUSSGAGA
Założenia:
- sygnały φ(t) i ψ(t) są generowane przez stacjonarny proces
losowy, a ich amplitudy mogą być traktowane jako zmienne
losowe X oraz Y
- zmienne losowe X oraz Y mają rozkład normalny
1 − x2 2
p( x) =
e
2π
- zerową wartość oczekiwaną
E{x} =
+∞
∫ x p( x) dx = 0
1 −y
p( y) =
e
2π
E{y} =
−∞
2
2
+∞
∫ y p( y) dy = 0
−∞
- jednostkową wariancję
+∞
{ } ∫x
E x2 =
−∞
+∞
2
p ( x) dx = 1
{ } ∫y
E y2 =
−∞
2
p ( y ) dy = 1
TWIERDZENIE BUSSGAGA
Twierdzenie:
Stosunek dwu funkcji korelacji wzajemnej sygnałów
gaussowskich φ(t) oraz ψ(t) przed i po tym jak jeden
z nich uległ nieliniowemu zakłóceniu amplitudy jest
stały:
Rφ Ψ (τ ) = kV ⋅ Rφψ (τ )
TWIERDZENIE BUSSGAGA
Oznaczenia:
- funkcja korelacji wzajemnej między sygnałami
φ(t) oraz ψ(t)
Rφψ (τ ) = E {φ (t )ψ (t − τ )}
- funkcja korelacji wzajemnej między sygnałami
φ(t) oraz Ψ(t)
RφΨ (τ ) = E{{φ (t )Ψ (t − τ )}}
- nieliniowa funkcja V:R→R
Ψ (t ) = V (ψ (t ))
POSTULAT
POSTULAT
Twierdzenie Bussganga dla niezakłóconego modelu Wienera:
RyL y (τ ) = c ⋅ Ryy (τ )
gdzie c – stały współczynnik.
u(i)
H(z-1)
yL(i)
y(i)
f(yL)
POSTULAT
Z twierdzenia Bussganga wynika, że identyfikacja
części liniowej w postaci charakterystyki
amplitudowo-fazowej w dziedzinie częstotliwości
metodą korelogramową może być przeprowadzona na
podstawie znajomości sygnału wyjściowego
z elementu nieliniowego (bez znajomości sygnału
wewnętrznego yL(i) ), myląc się co najwyżej co do
wartości wzmocnienia statycznego.
IDENTYFIKACJA MODELI
WIENERA W DZIEDZINIE
CZĘSTOTLIWOŚCI
STRUKTURA IDENTYFIKOWANEGO MODELU
v(i)
u(i)
-d
z
B(z-1)
-1
A(z )
yL(i)
y(i)
f(yL)
- model Wienera – SISO
- część dynamiczną liniową opisuje dyskretna
−1
transmitancja postaci:
(
)
B
z
−d
z
( )
A z −1
- część nieliniową opisuje funkcja f(yL(i))
- sygnał wejściowy u(i) jest białym szumem o rozkładzie
normalnym i zerowej wartości oczekiwanej
ETAPY IDENTYFIKACJI
Identyfikacja nieparametryczna
charakterystyki amplitudowo - fazowej
Wyznaczenie odpowiedzi
impulsowej poprzez IFFT
zidentyfikowanej transmitancji
Wyznaczenie parametrycznej
reprezentacji transmitancji
dyskretnej
Wyznaczenie oceny przebiegu sygnału
wewnętrznego
Aproksymacja charakterystyki
statycznej elementu nieliniowego
ETAPY IDENTYFIKACJI
Identyfikacja charakterystyki amplitudowo –
fazowej metodą korelogramową
- założenie liniowości obiektu:
∞
y (i ) = ∑ u (i − k )h(k ) + v(i )
k =1
- estymator obciążony f. korelacji:
N −τ
1
N
Rˆuu (τ ) = ∑ u (i )u (i + τ )
N i =1
1
ˆ
R (τ ) =
N
N
uy
N −τ
∑ u(i) y(i + τ )
i =1
- estymator gęstości widmowej mocy:
SˆuuN (Ωk ) = T p
M
N
− jΩkτ
ˆ
R
(
τ
)
e
∑ uu
SˆuyN ( jΩk ) = T p
τ =− M
- estymator ch-ki ampl.-faz.:
M
N
− jΩkτ
ˆ
R
(
τ
)
e
∑ uy
τ =− M
ˆ N ( jΩk )
S
uy
Hˆ N ( jΩk ) = N
Sˆ (Ωk )
uu
ETAPY IDENTYFIKACJI
Wygładzanie oceny gęstości
widmowej mocy
- uśrednianie po zbiorze realizacji:
S
S
1
N
Np
1
ˆ
ˆ
N
Suu (Ωk ) = ∑ Si (Ωk )
Sˆuy ( jΩk ) = ∑ SˆiNp ( jΩk )
S i =1
S i =1
- wygładzanie częstotliwościowe:
SˆuuN (Ωk ) =
k+L
1
ˆ N (Ωm)
S
∑ uu
SˆuyN ( jΩk ) =
2 LS + 1 m = k − L
- zastosowanie okna przesunięciowego:
SˆuuN (Ωk ) = T p
M
N
− jΩkτ
ˆ
w
(
τ
)
R
(
τ
)
e
∑
uu
τ =− M
SˆuyN ( jΩk ) = Tp
M
N
− jΩkτ
ˆ
w
(
τ
)
R
(
τ
)
e
∑
uy
τ =− M
1
k+L
ˆ N ( jΩm)
S
∑ uy
2 LS + 1 m = k − L
ETAPY IDENTYFIKACJI
Wygładzanie oceny charakterystyki
amplitudowo - fazowej
- uśrednianie po zbiorze realizacji:
1
N
ˆ
H ( jΩk ) =
SH
SH
Np ′
ˆ
H
∑ i ( jΩk )
i =1
- wygładzanie częstotliwościowe:
Hˆ N ( jΩk ) =
1
k + LH
∑
Hˆ N ( jΩm)
2 LH + 1 m= k − LH
ETAPY IDENTYFIKACJI
Wyznaczenie odpowiedzi
impulsowej poprzez IFFT
zidentyfikowanej transmitancji
1 W −1 ˆ
h(i ) = ∑ H ( jΩk )e jΩki
W k =0
Wyznaczenie parametrycznej
reprezentacji transmitancji
dyskretnej
- aproksymacja np. metodą iteracyjną
zidentyfikowanej charakterystyki
amplitudowo – fazowej transmitancją
dyskretną o założonych stopniach nA i nB
wielomianów A(z-1) i B(z-1).
ETAPY IDENTYFIKACJI
Identyfikacja przebiegu funkcji
nieliniowej f (yL(i))
- odtworzenie sygnału wewnętrznego yL(i) na drodze filtracji
wejścia u(i) przez zidentyfikowaną transmitancję dyskretną
bądź poprzez jego splot z odpowiedzią impulsową h(i)
- wykreślenie y(i) w funkcji yL(i)
- aproksymacja uzyskanej charakterystyki statycznej części
nieliniowej modelu
NIEJEDNOZNACZNOŚĆ
ROZWIĄZANIA ZADANIA
IDENTYFIKACJI
NIEJEDNOZNACZNOŚĆ ROZWIĄZANIA
d(i)
u(i)
-1
H(z )
1
/k
k
f(yL)
y(i)
+
dwa różne modele i jednocześnie
nierozróżnialne bez znajomości
sygnału wewnętrznego
d(i)
u(i)
H(z-1)
yL(i)
f(yL)
+
y(i)
NIEJEDNOZNACZNOŚĆ ROZWIĄZANIA
Rozwiązanie problemu niejednoznaczności
Dla celów identyfikacji jak i symulacji przyjmujemy
dodatkowe założenie o jednostkowej wariancji
sygnału wewnętrznego yL(i).
PRZYKŁAD
PRZYKŁAD – ZAŁOŻENIA STRUKTURY
- model dynamicznej części liniowej:
y L (i ) = z −1
1
u (i )
−1
−2
1 − 1.5 z + 0.7 z
- symulowane funkcje nieliniowe:
0.5 y L (i ) ;
f1 ( y L (i )) = 
2.0 y L (i ) ;
 − 0.5 ;

f 2 ( y L (i )) =  y L (i ) ;
 + 0.5 ;

y L (i ) < 0
y L (i ) ≥ 0
 y L (i ) + 0.5 ;

f 3 ( y L (i )) =  0
;
 y (i ) − 0.5 ;
 L
y L (i ) ≤ 0.5
y L (i ) < 0.5
y L (i ) ≥ 0.5
f 4 ( y L (i )) = y L (i ) + 2 ⋅ y L (i ) + 0.5 ⋅ y L (i )
2
3
y L (i ) ≤ 0.5
y L (i ) < 0.5
y L (i ) ≥ 0.5
PRZYKŁAD – PARAMETRY
- ciąg przetwarzanych danych: N = 2048
- brak szumów pomiarowych: v(i) = 0
- brak wygładzania częstotliwościowego i wygładzania po
realizacjach zarówno ocen gęstości widmowych mocy jak i
oceny charakterystyki amplitudowo – fazowej
- zastosowane okno przesunięciowe Bartletta – Hanna
- liczba wyznaczanych ocen funkcji korelacji M = 128
- czas zaniknięcia warunku początkowego T = 1024
- liczba wyznaczanych punktów charakterystyki
amplitudowo – fazowej W = 1024 tak, że częstotliwość
podstawowa dyskretnej dziedziny częstotliwości (bin)
Ω=2π/W
PRZYKŁAD – korektor liniowy
IDENTYFIKACJA NIEPARAMETRYCZNA
PRZYKŁAD – korektor liniowy
OCENY PARAMETRÓW DYNAMICZNEJ CZĘŚCI LINIOWEJ
wielomian_A_symulacja =
1.0000
-0.5000
0.7000
wielomian_B_symulacja =
0
0.6847
wielomian_A_identyfikacja =
1.0000
-0.5020
0.6997
wielomian_B_identyfikacja =
0.0056
0.6830
PRZYKŁAD – korektor liniowy
IDENTYFIKACJA PARAMETRYCZNA
PRZYKŁAD – korektor liniowy
WYKRES FUNKCJI y = f(yL(i))
PRZYKŁAD – korektor liniowy
Dla przedziału {-3.2943,0}
zaproksymowana funkcja:
f(x) = 0.49814*x^1 - 0.00266
Dla przedziału {0,3.5013}
zaproksymowana funkcja:
f(x) = 2.0014*x^1 + 0.001468
PRZYKŁAD – nasycenie
IDENTYFIKACJA NIEPARAMETRYCZNA
PRZYKŁAD – nasycenie
OCENY PARAMETRÓW DYNAMICZNEJ CZĘŚCI LINIOWEJ
wielomian_A_symulacja =
1.0000
-0.5000
0.7000
wielomian_B_symulacja =
0
0.6648
wielomian_A_identyfikacja =
1.0000
-0.4835
0.6855
wielomian_B_identyfikacja =
0.0179
0.6744
PRZYKŁAD – nasycenie
IDENTYFIKACJA PARAMETRYCZNA
PRZYKŁAD – nasycenie
WYKRES FUNKCJI y = f(yL(i))
PRZYKŁAD – nasycenie
Dla przedziału {-3.5811,-0.5}
zaproksymowana funkcja:
f(x) = -0.49882*x^0 - 0.49882
Dla przedziału {-0.5,0.5}
zaproksymowana funkcja:
f(x) = 0.97846*x^1 + 0.0021797
Dla przedziału {0.5,2.9634}
zaproksymowana funkcja:
f(x) = 0.49914*x^0 + 0.49914
PRZYKŁAD – strefa nieczułości
IDENTYFIKACJA NIEPARAMETRYCZNA
PRZYKŁAD – strefa nieczułości
OCENY PARAMETRÓW DYNAMICZNEJ CZĘŚCI LINIOWEJ
wielomian_A_symulacja =
1.0000
-0.5000
0.7000
wielomian_B_symulacja =
0
0.6983
wielomian_A_identyfikacja =
1.0000
-0.4869
0.6857
wielomian_B_identyfikacja =
0.0162
0.7079
PRZYKŁAD – strefa nieczułości
IDENTYFIKACJA PARAMETRYCZNA
PRZYKŁAD – strefa nieczułości
WYKRES FUNKCJI y = f(yL(i))
PRZYKŁAD – strefa nieczułości
Dla przedziału {-3.6013,-0.5}
zaproksymowana funkcja:
f(x) = 0.9922*x^1 + 0.48601
Dla przedziału {-0.5,0.5}
zaproksymowana funkcja:
f(x) = -2.02e-005*x^0 - 2.02e-005
Dla przedziału {0.5,3.6763}
zaproksymowana funkcja:
f(x) = 0.99408*x^1 - 0.49075
PRZYKŁAD – funkcja wielomianowa
IDENTYFIKACJA NIEPARAMETRYCZNA
PRZYKŁAD – funkcja wielomianowa
OCENY PARAMETRÓW DYNAMICZNEJ CZĘŚCI LINIOWEJ
wielomian_A_symulacja =
1.0000
-0.5000
0.7000
wielomian_B_symulacja =
0
0.6969
wielomian_A_identyfikacja =
1.0000
-0.4826
0.6862
wielomian_B_identyfikacja =
-0.0001
0.7111
PRZYKŁAD – funkcja wielomianowa
IDENTYFIKACJA PARAMETRYCZNA
PRZYKŁAD – funkcja wielomianowa
WYKRES FUNKCJI y = f(yL(i))
PRZYKŁAD – funkcja wielomianowa
Dla przedziału {-3.2787,3.592} zaproksymowana funkcja:
f(x) = 0.5062*x^3 + 2.0029*x^2 + 0.98419*x^1 - 0.0031998