Lista zadań nr 4 (Matematyka komputerowa, II Mat.) Zadanie 1

Lista zadań nr 4
(Matematyka komputerowa, II Mat.)
Zadanie 1. Niech r1, . . . , r6 będą następującymi równaniami liniowymi z niewiadomymi
x, y, z, t :
r1 : x + y + z + t − 1 = 0,
r2 : 2 x − 3 y + 2 z − 4 t − 5 = 0,
r3 : x − y − 2 = 0,
r4 : t − z + 1 = 0,
r5 : −4 x + 11 y − 4 z + 14 t + 13 = 0,
r6 : 7 x + 13 y − 7 z + 17 t + 19 = 0.
Rozwiąż układy u1 = {r1, r2}, u2 = {r3, r4}, u3 = {r1, r5, r6} ze względu na zmienne
x, y, z, t. Zbadaj, które z nich są równoważne i jakie inkluzje zachodzą pomiędzy zbiorami
ich rozwiązań.
Zadanie 2. Rozwiąż następujące równania (układy):
(a) 48x5 + 8x4 − 6x3 + 114x2 − 37x + 18 = 0,
(b) (x + 1)(x+a) = (x + 1)2 ,
(c) 2− sin(1 − x) = 2x,
2
2
2
2

 z − x − y + 2ax + 2az − a = 0
2
=0
(d)  yz − ay − ax + a

−2a + x + y
=0
(gdzie x, y, z oraz stała a należą do R).




−3 2
1 0 2




Zadanie 3. Niech A =  2 −1 3  oraz B =  0 1  . Znajdź macierze A−1 , AAt ,
7 4
4 1 8
t
t
t
−1
B AB, (2A + BB )A oraz wyznaczniki macierzy A, A , AAt .
Zadanie 4. Niech a, b ∈ R, rozważmy macierz

A = A(a,b)



=



0
1
0
b
0
a
0
1
0
b
1
0
b
0
1
0
b
0
1
0
b
0
1
0
b




.



(a) Dla jakich wartości a, b macierz A jest osobliwa.
(b) Znajdź odwrotność macierzy A dla pozostałych wartości a, b.
Zadanie 5. Niech A będzie macierzą nad Q zadaną poniżej
1
















A=















2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0


1 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 



0 1 2 0 0 0 0 0 0 0 0 


0 0 1 2 0 0 0 0 0 0 0 

0 0 0 0 3 1 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 3 1 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 3 1 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 3 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0





.















0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1
Oblicz wielomian charakterystyczny, wielomian minimalny, wartości własne A, a także bazy
przestrzeni wektorów własnych dla poszczególnych wartości własnych macierzy A (wprost z
definicji !!!). Sprawdź, że A spełnia Tw. Cayleya-Hamiltona, oraz, że A ”zeruje” wielomian
minimalny.
Zadanie 6. Napisz procedurę, która dla n ∈ N
(1) definiuje n × n - macierz An w następujący sposób
(
An (i, j) =
0 i=j
1 i=
6 j
(2) oblicza:
(a) wyznacznik An ,
(b) wielomian charakterystyczny An ,
(c) wartości i wektory własne An .
√
Zadanie 7. Dane są macierze A =
1
2
!
√
6− 2
√ 4√
6+ 2
4
√
√
6+ 2
√4 √
− 6−4 2
√
!
,B=
√
6+ 2
√ 4√
6− 2
4
√
−√
√
6− 2
4√
6+ 2
4
!
,
−1
C=
. Sprawdź czy są to macierze ortogonalne. Jeśli tak, znajdź odpowiednio
1 4
kąty obrotu lub proste odbicia.
2