STATYSTYKA MATEMATYCZNA TEMATYCWICZEN dr in˙z

STATYSTYKA MATEMATYCZNA
TEMATY ĆWICZEŃ
dr inż. Grzegorz Mzyk
1) Przestrzeń probabilistyczna, zbiór zdarzeń elementarnych, zdarzenia losowe, zmienne
losowe, liczby losowe, niezależność zdarzeń, rozłaczność
˛
zdarzeń (algebra zbiorów), prawdopodobieństwo, rozkład prawdopodobieństwa zmiennej losowej, dystrybuanta.
2) Cechy zmiennych losowych: wartość oczekiwana, wariancja, kowariancja, współczynnik korelacji. Statystyki opisowe (z próby): wartość średnia, odchylenie standardowe.
Eksperymenty złożone, prawdopodobieństwo warunkowe.
3) Zbieżność ciagów
˛
losowych. Typy zbieżności w rozumieniu probabilistycznym. Podstawy teorii estymacji. Obcia˛żenie estymatora. Metoda najmniejszych kwadratów.
4) Sprawdzian nr 1.
5) Zmienne losowe typu ciagłego.
˛
Popularne typy rozkładów i ich cechy. Mocne prawo
wielkich liczb i centralne twierdzenie graniczne, twierdzenie Moivre’a-Laplace’a. Nierówność
Czebyszewa. Estymacja punktowa i przedziałowa.
6) Testowanie hipotez. Zastosowanie rozkładów T-Studenta, chi-kwadrat, F-Snedecora.
7) Sprawdzian nr 2.
Literatura
[1] notatki z wykładu
[2] tablice statystyczne
[3] Klonecki - ”Statystyka matematyczna dla inżynierów”
[4] Krysicki, Włodarski - ”Statystyka matematyczna”
[5] Magiera - ”Modele i metody statystyki matematycznej”
[6] Zieliński - ”7 wykładów wprowadzajacych
˛
do statystyki matematycznej”
[7] Gajek, Kałuszka - ”Wnioskowanie statystyczne dla studentów ...”
[8] Stanisz - ”Przystepny
˛
kurs statystyki w oparciu o pakiet STATISTICA PL ...”
[9] Zieliński, Wieczorkowski - ”Komputerowe generatory liczb losowych”
[10] Mańczak, Nahorski - ”Komputerowa identyfikacja obiektów dynamicznych”
[11] Söderström, Stoica - ”Identyfikacja systemów”
PRZYKŁADOWE ZADANIA
Eksperymenty z przeliczalnym zbiorem wyników
1. Niech A i B bed
˛ a˛ dowolnymi zdarzeniami losowymi, takimi, że P (A) = 0.4, P (B) = 0.3
oraz P (A a B) = 0.2. Oblicz P (A ^ B), P (A a B c ) i P (Ac a B c ).
2. Oblicz wartość oczekiwana˛ i wariancje˛ zmiennej losowej X opartej o idealna˛ monete˛
(orzeł: X = 1, reszka X = 0).
3. W worku znajduje sie˛ 5 kul czarnych i 3 białe. Losujemy dwie (bez zwracania). Jakie
jest prawdopodobieństwo, że wylosowane kule maja˛ różny kolor.
4. W partii składajacej
˛ sie˛ ze 100 procesorów 2 sa˛ uszkodzone. Test jakości polega na
sprawdzeniu 5-ciu losowo wybranych. Oblicz prawdopodobieństwo, że w wylosowanej
próbie znajdzie sie˛ conajmniej 1 uszkodzony procesor.
5. 52-kartowa˛ talie˛ kart rozdano pomiedzy
˛
4 graczy. Jakie jest prawdopodobieństwo, że
wszystkie 4 asy trafiły do jednego gracza.
Eksperymenty z wynikami ciagłymi
˛
6. Obliczyć wartość oczekiwana˛ i wariancje˛ zmiennej losowej o rozkładzie jednostajnym
na przedziale [a, b].
7. Obliczyć wartość oczekiwana˛ i wariancje˛ zmiennej losowej o symetrycznym rozkładzie
trójkatnym
˛
na przedziale [−c, c].
8. Zakładajac,
˛ że pomiar ma rozkład normalny o wartości oczekiwanej µ = 123.4 i
2
˛
on: (i) mniejszy od 120, (ii)
wariancji σ = 25, oblicz prawdopodobieństwo, że bedzie
wiekszy
˛
od 135, (iii) leżał w granicach od 117.4 do 129.4.
9. Zakładajac,
˛ że czas bezawaryjnej pracy zakupionego urzadzenia
˛
ma rozkład wykładniczy, oblicz prawdopodobieństwo tego, że bedzie
˛
on dłuższy niż wartość oczekiwana tego
rozkładu.
Eksperymenty złożone
10. Rzucamy 5 razy idealna˛ moneta.˛ Wynik eksperymentu X - to liczba uzyskanych
orłów. Narysuj rozkład prawdopodobieństwa zmiennej losowej X.
11. Rzucamy 100 razy dwiema kostkami do gry. Oblicz oczekiwana˛ liczbe˛ rzutów w
których na obu kostkach jest ta sama liczba oczek. (Wskazówka: skorzystać z przybliżenia
rozkładu Bernouliego rozkładem Poissona).
Prawdopodobieństwo warunkowe, niezależno´s´c zdarzeń
12. W fabryce pewne detale sa˛ produkowane na 3 maszynach: a, b i c. Dziennie na
maszynie a produkuje sie˛ 200 detali, z których 4% jest wadliwych, na maszynie b produkuje sie˛ 300 detali, z których 5% jest wadliwych oraz na maszynie c produkuje sie˛ 400
detali, z których 2% jest wadliwych. Cała produkcja jest składowana do jednego pojemnika. Oblicz prawdopodobieństwo, że wylosowany z pojemnika detal jest wadliwy. Jeśli
jest wadliwy, to jakie jest prawdopodobieństwo, że pochodzi z maszyny a?
13. Układ jest złożony z 5 niezależnie od siebie pracujacych
˛
ogniw, połaczonych
˛
jak na
rysunku:
A
B
Prawdopodobieństwo awarii jest jednakowe dla wszystkich ogniw i wynosi p. Układ jest
sprawny, gdy istnieje ścieżka od punktu A do B przechodzaca
˛ przez sprawne ogniwa.
Oblicz prawdopodobieństwo, że układ bedzie
˛
sprawny.
14. Dwaj koszykarze maja˛ wykonać po 3 rzuty karne, przy czym prawdopodobieństwo
zdobycia punktu w pojedynczym rzucie wynosi 0.6 dla pierwszego gracza i 0.7 dla drugiego.
Oblicz prawdopodobieństwo, że obaj zdobed
˛ a˛ równa˛ liczbe˛ punktów.
Korelacja zmiennych losowych
15. Rzucamy dwiema monetami (orzeł: 1, reszka: 0). Wyliczyć korelacje˛ pomiedzy
˛
suma,˛
a iloczynem wyników obydwu monet.
16. Niech sygnał wejściowy {uk } systemu opisanego wzorem
yk = αyk−1 + uk
jest losowy, typu iid i ma rozkład jednostajny na przedziale [−c, c] (c ∈ (0, ∞)). Wyznaczyć wartość oczekiwana,
˛ wariancje˛ i naszkicować funkcje˛ autokowariancji procesu wyjściowego {yk }.
Centralne twierdzenie graniczne, twierdzenie Moivra-LaPlacea
17. Co jest bardziej prawdopodobne w eksperymencie z idealna˛ moneta.
˛ Wyrzucenie
conajmniej 60 orłów w 100 rzutach, czy wyrzucenie conajmniej 600 orłów w 1000 rzutach.
18. Pewna konstrukcja składa sie˛ ze 100 standardowych elementów. Cie˛ żar każdego z
nich ma wartość średnia˛ 33N i odchylenie standardowe 2N. Konstrukcja zawali sie,
˛ jeśli
jej cie˛ żar jest wiekszy
˛
niż 4kN. Oblicz prawdopodobieństwo katastrofy.
Estymacja punktowa i przedziałowa
19. Rozkład cechy X i jej wartość oczekiwana w pewnej populacji sa˛ nieznane. Znana
jest natomiast jej wariancja σ 2 = 1. Na podstawie serii NPpomiarów xi (i = 1, .., N)
szacujemy wartość oczekiwana˛ poprzez uśrednienie xśr = N1 N
i=1 xi . Jaka jest potrzebna
liczba pomiarów Nmin aby na poziomie ufności 95% bład
˛ oszacowania był mniejszy niż
∆ = 0.1.
20. W zadaniu 19 założyć, że σ jest nieznane. Przy ustalonym N znajdź możliwie waski
˛
przedział [L, P ], który z prawdopodobieństwem 95% obejmuje nieznane EX.
Generatory liczb losowych
21. Na podstawie generatora U˜[0, 1] opracować generator rozkładu trójkatnego
˛
metoda˛
odwracania dystrybuanty.
Testowanie hipotez
22. Na podstawie przykładowej serii pomiarów przy wykorzystaniu testu chi-kwadrat
zweryfikować hipoteze˛ o wartości wariancji rozkładu.
23. Na podstawie dwóch przykładowych serii pomiarów pochodzacych
˛
z 2 różnych populacji, przy wykorzystaniu rozkładu F-Snedecora zweryfikować hipoteze˛ o równości wariancji w obydwu populacjach.