Zmienna losowa skokowa (dyskretna) 1. Zmienna losowa dyskretna

Zmienna losowa skokowa (dyskretna)
1. Zmienna losowa dyskretna X podlega rozkładowi podanemu w tabelce:
xi
pi
-1
0
1
3
1
6
2
6
1
6
2
6
.
a) Wyznaczyć jej dystrybuantę F (x). Sporządź wykres p(x) i F (x)
b) Obliczyć: P (−1 ¬ X < 1), P (X = −1), P (−1 < X ¬ 1), P (−1 < X < 1), P (X < 1) korzystając z tabeli rozkładu i dystrybuanty.
xi
(−∞, −2⟩ (−2, 1⟩ (1, 5⟩
1
4
F (xi )
0
6
6
Wyznacz tabelę rozkładu prawdopodobieństwa. Sporządź wykres p(x), F (x).
2. Dana jest dystrybuanta zmiennej losowej dyskretnej X
3. Zmienna losowa dyskretna X ma funkcję prawdopodobieństwa
xi
pi
−4
0
1
2
1
10
1
10
3
10
3
10
a) Znaleźć a, wyznaczyć i naszkicować wykres dystrybuanty F (x).
b) Znaleźć E(X), D2 (X)
c) Obliczyć P (0 < X ¬ 2).
d) Obliczyć E(Y ) i D2 (Y ), jeśli Y = 2X − 1.
Zmienna losowa typu ciągłego
1. Dla jakiej wartości parametru a ∈ R funkcja

0 gdy



 ax gdy
f (x) =
1

gdy


 4
x¬0
0<x¬2
2<x¬3
0, gdy
x>3
jest gęstością prawdopodobieństwa pewnej zmiennej losowej ciągłej.
2. Zmienna losowa ciągła X ma gęstość prawdopodobieństwa daną wzorem


 0,
gdy
x¬0
gdy 0 < x ¬ 2
f (x) =


0, gdy
x>2
1
,
2
a) Znaleźć dystrybuantę F (x) tej zmiennej losowej i naszkicować wykres F (x) i f (x).
b) Obliczyć P ( 12 < X < 23 ) i zinterpretować na wykresach F (x) i f (x).
3. Dystrybuanta zmiennej losowej ciągłej X określona jest wzorem
{
F (x) =
0,
gdy x < 0
−3x
1 − e , gdy x ­ 0
a) Znaleźć gęstość prawdopodobieństwa tej zmiennej losowej.
b) Obliczyć P (1 < X < 2) i zinterpretować na wykresach f (x) i F (x).
4. Dobrać tak stałą C, aby funkcja
{
f (x) =
Cx2 gdy 0 ¬ x ¬ 3,
0
dla pozostałych
była gęstością prawdopodobieństwa oraz
a) wyznaczyć dystrybuantę,
b) obliczyć P (|X| < 1) oraz zinterpretować na wykresie F (x) oraz f (x),
c) wyznaczyć E(X) oraz D2 (X).
5. Dana jest gęstość prawdopodobieństwa zmiennej losowej X
{
f (x) =
Dx−2 gdy x ¬ −1,
0
gdy x > 1
Wyznaczyć: D, F (x) oraz P (X > 5) i zinterpretować na wykresie F (x) i f (x).
6
.
a
(5, ∞)
.
1