materiały na ćwiczenia cz. 1

1
Kombinatoryka
Definicja 1. Permutacją bez powtórzeń zbioru n-elementowego nazywamy każdy n-wyrazowy
ciąg utworzony ze wszystkich elementów tego zbioru n-elementowego (każdy element zbioru występuje dokładnie jeden raz).
Liczbę permutacji bez powtórzeń zbioru n-elementowego oznaczamy symbolem Pn i obliczamy ze wzoru
Pn = n!
Przykład 1. Ilość możliwych ustawień pięciu osób w kolejce wynosi P5 = 5! = 120
Definicja 2. Wariacją k-elementową bez powtórzeń zbioru n-elementowego (k ¬ n) nazywamy
każdy k-wyrazowy ciąg, utworzony z k różnych elementów tego zbioru n-elementowego.
Liczbę k-elementowych wariacji bez powtórzeń zbioru n-elementowego (k ¬ n) oznaczamy
Vnk i obliczamy ze wzoru
Vnk =
n!
(n − k)!
Przykład 2. Ilość różnych trójkolorowych chorągiewek, które można wykonać z sześciu barw
6!
6!
wynosi V63 =
=
= 120
(6 − 3)!
3!
Definicja 3. Wariacją k-elementową z powtórzeniami zbioru n-elementowego nazywamy każdy
k-wyrazowy ciąg (mogących się powtarzać) elementów tego zbioru n-elementowego.
k
Liczbę k-elementowych wariacji z powtórzeniami zbioru n-elementowego oznaczamy V n i
obliczamy ze wzoru
k
V n = nk
2
Przykład 3. Ilość możliwych wyników dla dwukrotnego rzutu kostką wynosi V 6 = 62 = 36
Definicja 4. Kombinacją k-elementową bez powtórzeń zbioru n-elementowego (k ¬ n) nazywamy każdy k-elementowy podzbiór tego zbioru n-elementowego.
Liczbę k-elementowych kombinacji bez powtórzeń zbioru n-elementowego (k ¬ n) oznaczamy
Cnk i obliczamy ze wzoru
Cnk
=
n
k
!
=
n!
k!(n − k)!
!
3
Przykład 4. Ilość możliwych wylosowań 3 kul z urny, w której jest 10 kul wynosi C10
=
10!
= 120
3! 7!
1
10
3
=
ZADANIA.
1. Ile jest wszystkich liczb siedmiocyfrowych o różnych cyfrach, utworzonych z cyfr:
(a) 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,
(b) 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6.
2. Na ile sposobów można umieścić sześciu osób na sześciu ponumerowanych krzesłach?
3. Niech dany będzie zbiór A = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Ile liczb trzycyfrowych można utworzyć z
cyfr zbioru A, jeśli zakładamy, że:
(a) cyfry nie mogą się powtarzać,
(b) cyfry mogą się powtarzać.
4. Sześć osób ma do dyspozycji 5 różnokolorowych kieliszków i 2 różne gatunki wina. Iloma
sposobami mogą się napić?
5. Z talii 52 kart losujemy 6 kart. Na ile sposobów możemy wylosować te karty, tak aby wśród
nich były (dokładnie) trzy króle i (dokładnie) jeden as?
6. W pudełku jest 100 losów, w tym 10 wygrywających. Na ile sposobów można wybrać trzy
losy, tak aby wśród nich były przynajmniej dwa wygrywające?
7. Iloma sposobami można położyć 12 książek na trzech półkach tak, aby na pierwszej półce
znajdowało się sześć ksiązek, na drugiej - cztery książki, a na trzeciej reszta?
2
Klasyczna definicja prawdopodobieństwa
• przestrzeń zdarzeń elementarnych - oznaczamy Ω - jest to zbiór wszystkich możliwych
wyników doświadczenia losowego
• elementy zbioru Ω nazywamy zdarzeniami elementarnymi
• zdarzenia są zbiorami, więc można na nich wykonywać działania analogiczne do działań
na zbiorach, np. A ∪ B, A ∩ B, A \ B
• zbiór Ω\A (czyli dopełnienie zbioru A do przestrzeni Ω) nazywamy zdarzeniem przeciwnym
do zdarzenia A i oznaczamy A0
2
• Ω nazywamy zdarzeniem pewnym
• ∅ nazywamy zdarzeniem niemożliwym
• jeśli A ∩ B = ∅, to mówimy, że zdarzenia A, B wykluczają się (są rozłączne)
Definicja 5 (Klasyczna definicja prawdopodobieństwa). Jeżeli przestrzeń Ω jest skończona i
wszystkie zdarzenia elementarne są jednakowo prawdopodobne, to prawdopodobieństwo zajścia
dowolnego zdarzenia A jest ilorazem liczby zdarzeń elementarnych sprzyjających temu zdarzeniu
i liczby wszystkich zdarzeń elementarnych przestrzeni Ω, czyli
P (A) =
k
n
gdzie k - liczba zdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniu A, n - liczba wszystkich zdarzeń
elementarnych przestrzeni Ω.
Możemy zapisać:
P (A) =
|A|
|Ω|
lub
Ā¯
P (A) = ¯
Ω̄
¯ oznacza
gdzie symbol |A|, Ā¯ oznacza liczbę elementów zbioru A (moc, miarę zbioru), zaś |Ω|, Ω̄
liczbę elementów zbioru Ω
Twierdzenie 1 (Własności prawdopodobieństwa).
1. P (∅) = 0
2. P (Ω) = 1
3. 0 ¬ P (A) ¬ 1
4. P (A0 ) = 1 − P (A)
5. Dla dwóch dowolnych zdarzeń A, B mamy P (A ∪ B) = P (A) + P (B) − P (A ∩ B)
6. Dla dwóch zdarzeń rozłącznych A, B mamy P (A ∪ B) = P (A) + P (B)
ZADANIA.
1. Jakie jest prawdopodobieństwo, że w rzucie dwiema sześciennymi kostkami do gry otrzymamy sumę oczek równą 8?
3
2. Jakie jest prawdopodobieństwo, że w rzucie dwiema sześciennymi kostkami do gry suma
oczek jest liczbą nieparzystą?
3. W urnie jest 6 kul białych i 4 czarne. Z urny wybieramy losowo 3 kule. Jakie jest prawdopodobieństwo otrzymania:
(a) 3 kul białych,
(b) 3 kul czarnych,
(c) 2 kul białych i 1 czarnej,
(d) co najmniej 1 kuli białej.
4. W dwóch urnach I i II znajdują się kule: w I urnie - 6 czarnych i 9 białych, w II - 5 czarnych
i 15 białych.
(a) Losujemy jedną kulę z urny I i jedną z urny II. Jakie jest prawdopodobieństwo, że
będą to kule tego samego koloru?
(b) Losujemy jedną kulę z urny I i dwie (bez zwracania) z urny II. Jakie jest prawdopodobieństwo otrzymania 1 białej i 2 czarnych kul?
3
Zmienna losowa skokowa
Zmienna losowa skokowa to zmienna losowa, która przyjmuje tylko skończenie wiele wartości.
Sposoby określania prawdopodobieństwa dla zmiennej losowej skokowej:
1. funkcja prawdopodobieństwa
• wzór: P (X = xi ) = pi ,
n
X
pi = 1
i=1
• tabelka:
xi x1 x2 . . . xn
pi
p1
p2 . . . pn
2. dystrybuanta
F (t) = P (X < t) =
X
xi <t
P (X = xi ) =
X
pi
xi <t
P (X < t) oblicza się przez sumowanie wszystkich prawdopodobieństw pi dla xi mniejszych
od t
4
Charakterystyki liczbowe zmiennej losowej skokowej:
1. wartość oczekiwana
EX =
n
X
xi p i
pi = P (X = xi )
gdzie
i=1
2. wariancja - jest to wartość oczekiwana kwadratu odchylenia zmiennej losowej od jej wartości oczekiwanej, czyli wartość oczekiwana zmiennej (X − EX)2
D2 X = E(X − EX)2 =
n
X
(xi − EX)2 pi
i=1
2
2
2
D X = EX − (EX)
gdzie
2
EX =
n
X
x2i pi
i=1
3. odchylenie standardowe - jest to pierwiastek z wariancji
√
DX =
D2 X
4. moda (dominanta, wartość modalna) - oznaczamy M o - jest to wartość xi o największym
prawdopodobieństwie wystąpienia lub wartość najczęściej występująca w próbie (różna od
wartości skrajnych, czyli różna od min xi i max xi )
5. mediana - oznaczamy M e - jest to liczba M e spełniającą warunki:
P (X ¬ M e) ­
1
2
i jednocześnie
P (X ­ M e) ­
1
2
inaczej zapisane:
X
pi ¬
xi <M e
X
1
¬
pi
2 x ¬M e
i
ZADANIA.
1. Zorganizowano następującą grę: gracz wyciąga z talii 52 kart dwie karty (bez zwracania).
Jeżeli są to dwa asy, to gracz otrzymuje 20 punktów; jeżeli dwie figury (król, dama, walet),
to gracz otrzymuje 10 punktów; w każdym innym przypadku gracz traci 2 punkty.
(a) Znaleźć rozkład zmiennej losowej X oznaczającej wygraną gracza.
(b) Wyznaczyć i narysować dystrybuantę zmiennej losowej X.
(c) Czy ta gra jest sprawiedliwa?
5
(d) O ile średnio wygrana któregokolwiek z graczy odbiega od wartości średniej?
2. W pewnym mieście wylosowano 100 sklepów i otrzymano następujące wyniki dotyczące
liczby sprzedawców:
liczba sprzedawców
1
liczba sklepów
2
3
4
5
15 40 25 10 10
(a) Znaleźć rozkład prawdopodobieństwa zmiennej losowej X oznaczającej liczbę sprzedawców w sklepie.
(b) Wyznaczyć dystrybuantę zmiennej losowej X i narysować jej wykres.
(c) Obliczyć prawdopodobieństwa: P (X ­ 3), P (1 ¬ X < 3), P (X < 2), P (2 < X ¬ 4).
(d) Obliczyć EX, DX, M o, M e i podać ich interpretację.
3. Rozkład prawdopodobieństwa ocen z egzaminu ze statystyki jest następujący:
xi 2
3
4
5
pi ∗ 0, 4 0, 2 ∗
(a) Wiadomo, że wartość oczekiwana tak określonej zmiennej losowej wynosi 2,95. Obliczyć P (X = 2) oraz P (X = 5).
(b) Obliczyć DX, M o, M e i podać ich interpretację.
(c) Wyznaczyć dystrybuantę zmiennej losowej X i narysować jej wykres.
4. Dystrybuanta zmiennej losowej X jest określona następująco:
F (t) =


0






dla t ¬ −2


0, 5





dla t ∈ (3, 5]
0, 4
1
dla t ∈ (−2, 3]
dla t > 5
Wyznacz funkcję prawdopodobieństwa tej zmiennej losowej.
4
Rozkład Bernoulliego (dwumianowy)
Przeprowadzamy n doświadczeń w taki sposób, że
• doświadczenia są niezależne,
6
• każde z tych doświadczeń może zakończyć się na dwa sposoby: ’sukcesem’ lub ’porażką’,
• prawdopodobieństwo ’sukcesu’ jest w każdym z tych doświadczeń takie samo i wynosi p.
Niech X oznacza liczbę sukcesów w n powtórzeniach. Wówczas prawdopodobieństwo, że w n
przeprowadzonych doświadczeniach uzyskamy k sukcesów wyraża się wzorem:
!
P (X = k) =
n k n−k
p q
,
k
gdzie 0 < p < 1, q = 1 − p, k = 0, 1, . . . , n
Przykład 5. Rzucamy 10 razy dwiema kostkami. Jakie jest prawdopodobieństwo, że sumę oczek
na obu kostkach równą siedem otrzymamy dokładnie 3 razy?
Mamy n = 10. ’Sukcesem’ jest otrzymanie na obu kostkach w sumie siedmiu oczek, a każdy
inny wynik jest ”porażką”. Mamy: p =
6
36
= 61 , q = 1 − p = 56 , k = 3
! 3
7
P (X = 3) =
10
3
1
6
5
6
=
120 · 57
≈ 0, 16
610
ZADANIA.
1. Rzucamy 5 razy kostką do gry. Obliczyć prawdopodobieństwo, że wyrzucimy ’6’ oczek
(a) dokładnie dwa razy,
(b) co najmniej dwa razy.
2. W pewnej miejscowości rodzi się średnio 600 chłopców i 400 dziewczynek na 1000 niemowląt. Jakie jest prawdopodobieństwo, że w rodzinie pięciodzietnej:
(a) liczba dziewcząt jest większa niż liczba chłopców?
(b) wszystkie dzieci są tej samej płci?
3. Wiadomo, że 1% produkowanych żarówek to braki. Obliczyć prawdopodobieństwo, że
wśród losowo wybranych 100 żarówek są co najmniej 2 wybrakowane.
4. Fabryka wysłała do sklepu 15 lodówek. Prawdopodobieństwo uszkodzenia lodóki w czasie
transportu wynosi 0,1. Obliczyć prawdopodobienstwo, że sklep otrzyma co najmniej 3
lodówki uszkodzone.
5. W pewnym biurze zainstalowano 10 drukarek. Każda drukarka pracuje niezależnie średnio prez 12 minut w ciągu jednej godziny. Jakie jest prawdopodobieństwo, że w losowo
wybranej chwili będzie włączonych 7 drukarek?
7
6. Na karcie egzaminacyjnej jest 6 pytań z trzema możliwymi odpowiedziami na każde z nich
(dokładnie jedna odpowiedź jest poprawna). Zakładając, że student wybiera odpowiedzi
losowo obliczyć jakie jest prawdopodobieństwo:
(a) uzyskania przynajmniej połowy odpowiedzi poprawnych?
(b) udzielenia przez studenta samych błędnych odpowiedzi?
7. Co jest bardziej prawdopodobne:
(a) wygrać z równorzędnym przeciwnikiem dokładnie 3 partie z 4 partii, czy dokładnie 5
partii z 8 partii?
(b) wygrać z równorzędnym przeciwnikiem nie mniej niż 3 partie z 4 partii, czy nie mniej
niż 5 partii z 8 partii?
5
Zmienna losowa ciągła
Zmienna losowa ciągła jest to zmienna losowa, która może przyjmować wartości z dowolnego
podzbioru zbioru liczb rzeczywistych.
Sposoby określania prawdopodobieństwa dla zmiennej losowej ciągłej:
1. funkcja gęstości f
• F 0 (t) = f (t)
•
Z b
f (x) dx = P (a ¬ X < b) = P (a < X ¬ b) = P (a < X < b) = P (a ¬ X ¬ b)
a
2. dystrybuanta F
• F (t) = P (X < t) =
Z t
f (x) dx
−∞
• P (a ¬ X < b) = P (a < X ¬ b) = P (a < X < b) = P (a ¬ X ¬ b) = F (b) − F (a)
• dystrybuanta jest funkcją ciągłą
6
Rozkład normalny (gaussowski)
Rozkład normalny o parametrach µ i σ oznaczamy symbolem N (µ, σ).
Zapisujemy symbolicznie: X ∼ N (µ, σ)
EX = µ, DX = σ
8
Gdy µ = 0 i σ = 1, to mówimy, że zmienna losowa X ma standaryzowany (standardowy)
rozkład normalny.
X ∼ N (0, 1)
Funkcję gęstości zmiennej losowej X ∼ N (0, 1) oznaczamy przez ϕ, a jej dystrybuantę przez Φ.
Dowolną zmienną losową X o rozkładzie N (µ, σ) można ustandaryzować, czyli przedstawić
w postaci zmiennej losowej Y o rozkładzie N (0, 1). Jeżeli zmienna losowa X ma rozkład N (µ, σ),
to zmienna losowa Y =
X−µ
σ
ma rozkład N (0, 1).
X ∼ N (µ, σ),
Y =
X −µ
,
σ
Y ∼ N (0, 1)
Wartości dystrybuanty Φ stablicowano dla t > 0. Z symetrii wykresu funkcji gęstości ϕ
względem osi Oy wynika następująca zależność:
Φ(−t) = 1 − Φ(t)
Przykład 6. Zmienna losowa X ma rozkład N (2, 15; 5). Obliczyć prawdopodobieństwa:
(a) P (X > 4)
(b) P (0 < X < 3)
Wykorzystamy definicję dystrybuanty i jej własności:
1. P (X < t) = Φ(t)
2. P (X = c) = 0, c- stała
3. P (a < X < b) = P (a ¬ X < b) = P (a < X ¬ b) = P (a ¬ X ¬ b) = Φ(b) − Φ(a)
4. Φ(−t) = 1 − Φ(t)
P (X > 4) = P
4 − 2, 15
X −µ
>
σ
5
= P (Y > 0, 37) = 1 − P (Y ¬ 0, 37) =
= 1 − P (Y < 0, 37) = 1 − Φ(0, 37) = 1 − 0, 6443 = 0, 3557
P (0 < X < 3) = P
0 − 2, 15
X −µ
4 − 2, 15
<
<
5
σ
5
= P (−0, 43 < X < 0, 17) =
= Φ(0, 17) − Φ(−0, 43) = Φ(0, 17) − (1 − Φ(0, 43)) =
= 0, 5675 − 1 + 0, 6664 = 0, 2339
9
ZADANIA.
1. Niech zmienna losowa X ma rozkład N
3
2, 2
. Obliczyć prawdopodobieństwa:
(a) P (X < 2, 5),
(b) P (X > −0, 5),
(c) P (0, 5 < X < 2).
2. Waga mężczyzn ma rozkład normalny z parametrami µ = 72 kg i σ = 8, 1 kg. Obliczyć
prawdopodobieństwo, że losowo wybrany mężczyzna będzie miał wagę:
(a) powyżej 80 kg,
(b) od 68 do 74 kg.
3. Automat produkuje części, których długość jest zmienną losową o rozkładzie N (2; 0, 2)
(w cm). Wyznaczyć prawdopodobieństwo otrzymania braku, jeśli dopuszczalne długości
części powinny zawierać się w przedziale (1, 7; 2, 3).
4. Automat produkuje odważniki 10-gramowe. Błędy pomiarów masy tych odważników mają
rozkład normalny o wartości oczekiwanej µ = 0 g i odchyleniu standardowym σ = 0, 01 g.
Obliczyć prawdopodobieństwo, że pomiar masy będzie przeprowadzony z błędem nieprzekraczającym 0, 02 g.
5. Wytrzymałość pewnego materiału budowlanego (w N/cm2 ) jest zmienną losową o rozkładzie N (20, 8; 0, 4). Jakie jest prawdopodobieństwo, że wytrzymałość materiału budowlanego przekroczy 21,5 (N/cm2 )?
10