Rozwiązanie
Transkrypt
Rozwiązanie
Wykaż, że objętość ściętego ostrosłupa prawidłowego czworokątnego1 wyraża się wzorem: 1 V = H(a2 + ab + b2 ), gdzie a > b 3 (1) Odpowiedź. Objętość ściętej piramidy to różnica objętości ostrosłupa prawidłowego czworokątnego o wysokości H+h i podstawie a oraz ostrosłupa prawidłowego czworokątnego o wysokości H i podstawie b, gdzie a > b i h > 0. Otrzymuje zatem zależność: 1 1 V = (H + h)a2 − hb2 3 3 (2) Na płaszczyźnie ADE (rysunek na następnej stronie) zastosujemy twierdzenie Talesa by wyznaczyć h. h √ b 2 2 = h+H , √ a 2 2 · 1 √2 2 h h+H = b a ha = hb + Hb ha − hb = bH h(a − b) = bH h= 1 bH a−b (3) Dokładniej, mowa o figurze powstałej przez odcięcie (równolegle do podstawy)górnej części ostrosłupa prawidłowego czworokątnego. Wstawiam zależność (3) do wzoru (2). 1 1 1 1 1 V = Ha2 + ha2 − hb2 = Ha2 + h(a2 − b2 ) = 3 3 3 3 3 1 bH 1 Ha2 + · · (a − b)(a + b) = 3 3 a−b 1 1 1 Ha2 + bH(a + b) = H(a2 + ba + b2 ). 3 3 3 Co kończy dowód. p Korepetycje q Konsultacje y Analizy www.arturwrobel.com tel: 695-182-129 x Zadania