odpowiedzi - dlaStudenta

Próbny egzamin maturalny z matematyki
Odpowiedzi i schemat punktowania – poziom rozszerzony
Numer
zadania
1.1
1
ODPOWIEDZI I SCHEMAT PUNKTOWANIA
POZIOM ROZSZERZONY
Liczba
Etapy rozwiązania zadania
punktów
Podanie wartości b: b = 2 .
1
Sporządzenie wykresu funkcji g.
Uwagi dla egzaminatorów
y
5
4
3
2
1
1.2
1
1
x
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
-1
-2
-3
2
1.3
Zapisanie szukanych wartości parametru p: p = 0 lub p ≥ 2 .
Zastosowanie definicji wartości bezwzględnej i zapisanie:
−4 x − 12 < − x − 5 dla x ∈ ( −∞, − 5 ) ,
1
2.1
−4 x − 12 < x + 5 dla x ∈ −5, − 3) ,
1
4 x + 12 < x + 5 dla x ∈ −3, ∞ ) .
2.2
2.3
2.4
2.1
Rozwiązanie nierówności liniowych bez uwzględniania ograniczeń:
7
17
7
x>− , x>− , x<− .
3
5
3
Uwzględnienie ograniczeń, tzn. zapisanie zbiorów rozwiązań
7⎞
⎛ 17
⎞
poszczególnych nierówności: zbiór pusty, ⎜ − , − 3 ⎟ , −3, − ⎟ .
3⎠
⎝ 5
⎠
Wyznaczenie zbioru rozwiązań nierówności z wartością bezwzględną:
7⎞
⎛ 17
⎜− , − ⎟.
3⎠
⎝ 5
II sposób rozwiązania:
Zapisanie danej nierówności w postaci : 4 x + 3 < x + 5 .
1
1
1
1
Krzywa będąca wykresem funkcji g dla
x < 4 nie może przecinać prostej
o równaniu y = 2 .
Próbny egzamin maturalny z matematyki
Odpowiedzi i schemat punktowania – poziom rozszerzony
2.2
Podniesienie obu stron nierówności do drugiej potęgi:
2
2
42 ⋅ ( x + 3) < ( x + 5 ) .
2
1
Doprowadzenie nierówności do postaci iloczynowej: ( 3 x + 7 ) ⋅ ( 5 x + 17 ) < 0
2.3
2.4
2.1
2.2
2.3
2.4
1
17 ⎞⎛
7⎞
⎛
lub 15 ⎜ x + ⎟⎜ x + ⎟ < 0 .
5 ⎠⎝
3⎠
⎝
⎛ 17 7 ⎞
Zapisanie zbioru rozwiązań nierówności: x ∈ ⎜ − , − ⎟ .
3⎠
⎝ 5
Metoda graficzna.
Zapisanie danej nierówności w postaci : 4 x + 3 < x + 5 .
Punkt przyznajemy, gdy zdający zapisze
nierówność w postaci ogólnej i obliczy
pierwiastki trójmianu kwadratowego.
1
1
Sporządzenie wykresów funkcji f ( x ) = 4 x + 3 i g ( x ) = x + 5 .
1
1
1
Wyznaczenie odciętych punktów wspólnych wykresów funkcji f i g.
Zapisanie zbioru rozwiązań nierówności: ( − 175 , − 73 ) .
Sporządzenie rysunku.
12
y
y = x2
11
y = 2x - 6
10
9
8
7
6
5
3
4
3.1
1
3
2
Na rysunku muszą być szkice wykresów
obu funkcji podanych w zadaniu.
1
x
-9
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
-1
-2
-3
-4
-5
-6
-7
3.2
Zapisanie współrzędnych dowolnego punktu paraboli w zależności od
jednej zmiennej: np. P = ( x, x 2 ) .
3.3
Wyznaczenie odległości punktu P od danej prostej: d =
3.4
Zapisanie odległości bez wartości bezwzględnej:
(x − 1)2 + 5 lub d = x 2 − 2 x + 6 .
d=
5
5
2x − x2 − 6
5
.
1
1
1
.
Próbny egzamin maturalny z matematyki
Odpowiedzi i schemat punktowania – poziom rozszerzony
3.5
3.4
Oszacowanie najmniejszej wartości: d ≥ 5 .
II sposób rozwiązania: (czynności 3.4 i 3.5)
Wyznaczenie najmniejszej wartości funkcji d ( x ) =
3
1
2 x − x2 − 6
5
:
1
d min = 5 .
4
3.5
Zapisanie wniosku: d ≥ 5 .
4.1
Obliczenie prawdopodobieństw: P ( A) =
4.2
4.3
4.4
5.1
5
5.2
5.3
6.1
6.2
6.3
6.4
1
1
Wykorzystanie wzoru na prawdopodobieństwo sumy zdarzeń.
1
Obliczenie wartości P ( A′ ∩ B′ ) : P ( A′ ∩ B′ ) = .
12
a
Zapisanie wzoru funkcji w postaci: h ( x ) =
+1.
x−2
Obliczenie współczynnika a i zapisanie wzoru funkcji: a = 2 ,
2
h ( x) =
+1.
x−2
Obliczenie wartości funkcji h dla x = 3 : h
( 3 ) = −2
3 −3
i zapisanie wniosku.
Zastosowanie wzoru skróconego mnożenia i zapisanie wyrażenia w postaci:
(
lub 2 − 3 + 2 ⋅
6
1
2
3
, P (B) = .
3
4
Zastosowanie prawa De Morgana: A′ ∩ B′ = ( A ∪ B )′ .
2 − 3 + 2⋅ 2 − 3
1
2
) (
⋅ 2+ 3
Zdający może wyznaczyć równanie prostej
równoległej do danej prostej, stycznej do
paraboli i obliczyć odległość między tymi
prostymi równoległymi.
)
1
2
+2+ 3
(2 − 3) ⋅(2 + 3) + 2 +
1
1
1
1
1
1
3.
Obliczenie liczby a: a = 6 .
Obliczenie liczby b : b = 9 .
Zapisanie wniosku wraz z uzasadnieniem: a b > b a .
Zdający nie musi wprost zapisywać prawa
De Morgana.
1
1
1
Wystarczy obliczenie współczynnika a.
Akceptujemy podanie wzoru
x
h ( x) =
, bez uzasadnienia.
x−2
Przyznajemy wtedy punkty za czynności
5.1, 5.2.
Próbny egzamin maturalny z matematyki
Odpowiedzi i schemat punktowania – poziom rozszerzony
7.1
7.2
7.3
Zapisanie, że liczba ( −3 ) jest jednym z rozwiązań danego równania
(x + 3) x 2 + 5 x + 4 = 0 .
(
)
4
1
Rozwiązanie równania kwadratowego x 2 + 5 x + 4 = 0 : x = −1, x = −4 .
Rozwiązanie warunku, dla którego drugi czynnik równania nie ma
rozwiązań: Δ < 0 dla p ∈ ( −∞, −2 ) ∪ ( 2, ∞ ) .
1
1
Zapisanie układu warunków, dla których liczba ( −3) jest jedynym
rozwiązaniem równania kwadratowego x 2 + ( p + 4 ) x + ( p + 1) = 0 :
2
7.4
7
7.5
Rozwiązanie układu warunków z punktu 7.4: p = 2 .
1
7.6
Zapisanie odpowiedzi: p ∈ (− ∞,−2 ) ∪ 2, ∞ ) .
1
7.4
II sposób rozwiązania: (czynności 7.4, 7.5)
Zapisanie warunku, przy którym liczba ( −3) jest jedynym rozwiązaniem
równania x + ( p + 4 ) x + ( p + 1) = 0 : ( x + 3) = x + ( p + 4 ) x + ( p + 1) .
2
7.5
8.1
8.2
8
1
−b
Δ=0 i
= −3 .
2a
8.3
8.4
8.5
2
2
2
P = c ⋅ −3c 2 + 120c − 900 .
Wyznaczenie dziedziny funkcji P: c ∈ (15,30 ) .
p = 2 lub p = −1 .
Sprawdzenie, że tylko dla p = 2 liczba
( − 3 ) jest jedynym rozwiązaniem równania
kwadratowego.
1
2
Obliczenie p: p = 2 .
Zapisanie zależności między bokami czworokąta opisanego
na okręgu: a + b = 2c , gdzie a – długość dłuższej podstawy, b – długość
krótszej podstawy, c – długość ramienia trapezu.
Wyznaczenie różnicy długości podstaw trapezu za pomocą długości
ramienia: a − b = 4c − 60 .
Wyrażenie wysokości trapezu w zależności od długości ramienia:
h = −3c 2 + 120c − 900 .
Wyznaczenie pola trapezu jako funkcji długości jego ramienia:
Wyznaczenie wszystkich wartości p, dla
których liczba ( − 3 ) jest rozwiązaniem
równania kwadratowego
2
x 2 + ( p + 4 ) x + ( p + 1) = 0 :
1
1
1
1
1
2
1 pkt za oszacowanie c < 30 .
1 pkt za oszacowanie c > 15 .
Próbny egzamin maturalny z matematyki
Odpowiedzi i schemat punktowania – poziom rozszerzony
5
Oznaczenie współrzędnych środka okręgu S = ( x, 0 ) i zapisanie równania
9.1
pozwalającego wyznaczyć współrzędne środka okręgu, np.:
( x − 1)
9.2
9.3
9
9.4
9.5
9.6
9.7
2
+4 =
2
( x + 6)
2
1
+3 .
2
Obliczenie współrzędnych punktu S : S = (−2, 0) .
Obliczenie długości promienia okręgu: r = 5 i zapisanie równania okręgu:
(x + 2)2 + y 2 = 25 .
1
27
.
Wyznaczenie równania prostej AB : y = x +
7
7
Zapisanie równania rodziny prostych prostopadłych do prostej AB:
y = −7 x + b .
Wykorzystanie wzoru na odległość punktu (0, 0 ) od prostej o równaniu
b
.
y = −7 x + b i zapisanie równania: 2 =
5 2
Wyznaczenie równań prostych spełniających warunek zadania:
y = −7 x − 10 , y = −7 x + 10 .
1
Jeśli zdający wyznaczy równanie
symetralnej odcinka AB oraz jej punkt
przecięcia z osią Ox, to przyznajemy
punkty w czynnościach 9.1 oraz 9.2.
1
1
Wystarczy, że zdający obliczy
współczynnik kierunkowy prostej AB.
1
1
1
Wystarczy, że zdający obliczy wartości b,
o ile zapisał równanie rodziny prostych
y = −7 x + b .
Próbny egzamin maturalny z matematyki
Odpowiedzi i schemat punktowania – poziom rozszerzony
10.1 Zapisanie, że ciąg ( sin α ,sin β , 1) lub (1, sin β , sin α ) jest geometryczny.
Wykorzystanie definicji lub własności ciągu geometrycznego i zapisanie
warunku: sin 2 β = sin α ⋅1 .
Wykorzystanie zależności między funkcjami trygonometrycznymi
w
trójkącie prostokątnym: sin β = cos α oraz jedynki trygonometrycznej
10.3
i zapisanie równania z niewiadomą sin α : 1 − sin 2 α = sin α .
5 −1
− 5 −1
.
, sin α =
Rozwiązanie równania: sin α =
2
2
10.4
5 −1
Podanie odpowiedzi: sin α =
.
2
10.2
10
6
1
1
1
1
Nie wymagamy rozpatrzenia obu
przypadków, ale istotne jest założenie, że
„1” jest pierwszym lub ostatnim wyrazem
ciągu.
Próbny egzamin maturalny z matematyki
Odpowiedzi i schemat punktowania – poziom rozszerzony
.
α
11.1
7
a
.
1
a
11
Zaznaczenie na rysunku szukanego kąta.
Obliczenie długości przekątnej podstawy i wysokości ściany bocznej:
11.2
a 3
, gdzie a oznacza długość krawędzi ostrosłupa.
a 2 i
2
Zastosowanie twierdzenia kosinusów w trójkącie, w którym występuje kąt
2
2
⎛a 3⎞ ⎛a 3⎞
a 3 a 3
dwuścienny α : a 2 = ⎜⎜
⋅
⋅ cos α .
⎟⎟ + ⎜⎜
⎟⎟ − 2 ⋅
2
2
⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠
1
11.4 Obliczenie kosinusa kąta α : cos α = − .
3
II metoda rozwiązania: (czynności 11.3 i 11.4)
Zastosowanie definicji funkcji sinus dla połowy kąta α :
a 2
6
α
2
11.3 sin 2 = a 3 = 3 .
2
11.3
(
)
2
1
1
1
1
Jeśli zdający obliczy przybliżoną wartość
1
kąta α , a następnie wartość kąta α
2
i poprawnie ustali na tej podstawie
przybliżoną wartość cos α , to otrzymuje
punkty w czynnościach 11.3 i 11.4. Za
samo obliczenie przybliżonej wartości kąta
α nie przyznajemy punktów w czynności
11.4.
1
2 ⎛α ⎞
1
11.4 Wyznaczenie kosinusa kąta α : cos α = 1 − 2 ⋅ sin ⎜ ⎟ = − .
3
⎝2⎠
Za prawidłowe rozwiązanie każdego z zadań inną metodą niż przedstawiona w schemacie przyznajemy maksymalną liczbę punktów.