Modele odpowiedzi do arkusza próbnej matury z OPERONEM

Modele odpowiedzi do arkusza próbnej matury z OPERONEM
Matematyka
Poziom rozszerzony
Grudzieƒ 2007
Numer
zadania
1.
Liczba
punktów
Modelowe etapy rozwiàzywania zadania
Wyznaczenie ilorazu ciàgu ^ a n h: q = 2.
1
Wyznaczenie wzoru ogólnego ciàgu: a n = 6 $ 2
n-1
.
1
Obliczenie drugiego i piàtego wyrazu ciàgu: a2 = 12, a5 = 96.
U∏o˝enie równania wynikajàcego z treÊci zadania:
2.
1
12 + 1 + 3x + 2 = 96 .
4
2
1
Rozwiàzanie równania: x = 11.
1
Wykonanie rysunku z oznaczeniami lub wprowadzenie dok∏adnie opisanych
oznaczeƒ: a, b, c – kàty odpowiednio przy wierzcho∏kach A, B, C , AC = 10,
1
BC = 10 2, R = 10.
Obliczenie sinusów kàtów (np. z twierdzenia sinusów): sin a =
3.
2
, sin b = 1 .
2
2
Wyznaczenie kàtów trójkàta: a = 45c, b = 30c.
1
Wyznaczenie szukanego kàta trójkàta: c = 105c.
1
Przekszta∏cenie wzoru funkcji do postaci: f (x) =
^ x - 1h^ x + 1h^ x + 2h
.
^ x + 2h^ x - 1h
1
Zapisanie wzoru funkcji w postaci: f (x) = x + 1 / x ! R[ " - 2, 1,.
1
Narysowanie wykresu funkcji f : prosta o równaniu y = x + 1 bez punktów
1
^ - 2, - 1h, ^1, 2h.
Wyznaczenie wzoru funkcji g: g (x) = (
0 dla x ! - 1, + 3 h [ "1,
.
2x + 2 dla x ! ^ - 3, - 1h [ " - 2 ,
Narysowanie wykresu funkcji g.
1
1
Podanie zbioru wartoÊci funkcji g: D
4.
1
-1
= ^ - 3, 0
[ " - 2 ,.
1
Obliczenie wspó∏czynnika b: b =-16.
1
Obliczenie wspó∏czynnika c: c = 24.
1
2
2
Przekszta∏cenie wyra˝enia x1 + x 2 do postaci umo˝liwiajàcej zastosowanie
1
wzorów Vi¯te’a: ^ x1 + x 2 h - 2x1 x 2.
2
2
2
2
2
Obliczenie wartoÊci wyra˝enia x1 + x 2: x1 + x 2 = 40.
w w w. o p e r o n . p l
1
1
Matematyka. Poziom rozszerzony
Próbna Matura z OPERONEM i „Gazetà Wyborczà”
Numer
zadania
5.
6.
Liczba
punktów
Modelowe etapy rozwiàzywania zadania
Zapisanie d∏ugoÊci kolejnych boków czworokàta za pomocà wyrazów ciàgu
arytmetycznego: a, a + r, a + 2r, a + 3r.
1
Wykorzystanie twierdzenia o czworokàcie opisanym na okr´gu do zapisania
równania: a + a + 2r = a + r + a + 3r.
1
Rozwiàzanie równania i zapisanie wniosku: r = 0, wi´c boki majà równe d∏ugoÊci,
czyli czworokàt jest rombem.
1
Przekszta∏cenie równania do postaci: x ^ a + 7h = a - 49.
1
Zapisanie warunków, które muszà byç spe∏nione, aby równanie mia∏o
1
2
2
nieskoƒczenie wiele rozwiàzaƒ: a + 7 = 0 / a - 49 = 0.
2
7.
8.
Rozwiàzanie równania: a - 49 = 0: a =- 7 0 a = 7.
1
Rozwiàzanie równania a + 7 = 0 i wyznaczenie wartoÊci parametru a, dla którego
równanie ma nieskoƒczenie wiele rozwiàzaƒ: a =- 7.
1
Wykonanie rysunku z oznaczeniami lub wprowadzenie dok∏adnie opisanych
oznaczeƒ, np: ABCD - dany trapez, AB = a, CD = b, K, L – Êrodki przekàtnych
odpowiednio AC, BD, M, N – punkty przeci´cia prostej KL odpowiednio
z ramionami AD, BC .
1
Wyznaczenie d∏ugoÊci odcinka KN : KN =
a.
2
1
Wyznaczenie d∏ugoÊci odcinka LN : LN =
b.
2
1
Wyznaczenie d∏ugoÊci odcinka KL: KL =
a - b.
2
1
Obliczenie odleg∏oÊci d Êrodka okr´gu S od prostej y =-
1
Zapisanie warunku stycznoÊci prostej i okr´gu i podanie d∏ugoÊci promienia
okr´gu r: d = r, r = 2.
1
Zapisanie równania okr´gu: ^ x - 10h + ^ y + 3h = 4.
1
2
9.
3
4 x + 2: d = 2.
Podanie dziedziny równania: D = r, 2r
2
3r .
&2
0
1
Przekszta∏cenie równania trygonometrycznego do postaci:
1
Zapisanie alternatywy równaƒ: tg x = 0 0 cos x = 0 0 2 sin x + 1 = 0.
1
Rozwiàzanie w wyznaczonej dziedzinie równania tg x = 0: x ! " r, 2r , i równania
1
tg x cos x ^2 sin x + 1h = 0.
cos x = 0: x ! Q.
Rozwiàzanie w wyznaczonej dziedzinie równania 2 sin x + 1 = 0: x !
Zapisanie zbioru rozwiàzaƒ równania tg x ^2 sin x cos x + cos x h = 0:
r .
& 67 r, 11
6 0
1
1
x ! & r, 7 r, 11 r, 2r 0.
6
6
w w w. o p e r o n . p l
2
Matematyka. Poziom rozszerzony
Próbna Matura z OPERONEM i „Gazetà Wyborczà”
Numer
zadania
10.
Liczba
punktów
Modelowe etapy rozwiàzywania zadania
Wyznaczenie mocy zbioru X: X = c
2n + 1
2 m.
1
Wyznaczenie liczby zdarzeƒ sprzyjajàcych zdarzeniu A – wylosowanie liczby
1
n+1 n
parzystej i nieparzystej: A = c
1 m c 1 m.
Obliczenie prawdopodobieƒstwa zajÊcia zdarzenia A: P (A) =
Zapisanie nierównoÊci:
n+1.
2n + 1
n+1 > 7.
2n + 1 13
1
Rozwiàzanie nierównoÊci w N : n ! "1, 2, 3, 4, 5,.
+
11.
1
1
Wykonanie rysunku z oznaczeniami i zaznaczenie na nim odpowiedniego kàta
dwuÊciennego (podstawa ostros∏upa – ABCD, kàt dwuÊcienny – BED).
1
Obliczenie d∏ugoÊci kraw´dzi bocznej: b = a 5.
1
4a 5
.
5
1
Wyznaczenie d∏ugoÊci przekàtnej podstawy: DB = 2a 2.
1
Zastosowanie twierdzenia cosinusów dla trójkàta DBE:
1
Obliczenie d∏ugoÊci h: h =
e
2
2
2
4a 5
4a 5
4a 5 4a 5
+
- 2e
cos a = _2a 2 i .
5 o e 5 o
5 oe 5 o
Obliczenie szukanego cosinusa: cos a =-
w w w. o p e r o n . p l
1
4.
1
3