Arkusz 14

Odpowiedzi i schematy oceniania
Arkusz 14
Zadania zamknięte
Numer
Poprawna
zadania
odpowiedź
1.
A.
0,03 x = 9 ⇒ x = 300
2.
D.
Podwojony kwadrat to 2a 2 .
3.
A.
4.
C.
Wskazówki do rozwiązania zadania
x=
(
)⇒ x =
2 5 +1
5 +1
2
65% + 47% − 24% = 88% – procent uczniów uczących się
angielskiego lub rosyjskiego, zatem Ŝadnego z tych języków nie uczy
się 12% uczniów, 0,12 ⋅ 400 = 48 .
5.
A
(
)
W ( x) = x 2 ( x − 1) − ( x − 1) ⇒ W ( x) = x 2 − 1 ( x − 1) ⇒
⇒ W ( x) = ( x − 1)( x + 1)(x − 1) ⇒ W ( x) = ( x − 1) ( x + 1)
2
6.
C.
Skorzystaj z podstawowych własności logarytmów.
7.
B.
ax − cx = a + b ⇒ x(a − c ) = a + b ⇒ x =
8.
B.
Skorzystaj ze wzoru skróconego mnoŜenia i własności działań na
a+b
a−c
potęgach.
9.
C.
D = R \ {3} ⇒ x = −3 ∨ x = 3
10.
D.
y = x 2 + 2 x − 24 ⇒ W = (− 1,−25)
11.
C.
Rozwiązaniem nierówności jest przedział 0, 11 , zatem są to liczby
2, 3, 5, 7, 11 .
12.
D.
n 2 − 9 < 0 ⇒ n ∈ (− 3,3) ∧ n ∈ N + ⇒ n ∈ {1,2}
13.
A.
Jest to ciąg o pierwszym wyrazie a1 = −2 i ilorazie q = 2 .
14.
D.
45
3
45 1
+1 = ⇒
= ⇒ n = 90
n
2
n 2
15.
D.
sin α = 5 cos α ⇒ cos 2 α + (5 cos α ) = 1 ⇒ cos α =
16.
A.
α + α + 40 = 180 ⇒ α = 70 2
26
26
1
A.
17.
Suma długości dwóch dowolnych boków trójkąta jest większa od
długości trzeciego boku.
18.
D.
AC = 36 + 16 ⇒ AC = 2 13 ⇒ a = 26 ⇒ r =
19.
B.
x 2 + ( y − 5) = 50 ⇒ S = (0,5)
20.
D.
Środek cięŜkości trójkąta, to punkt przecięcia się środkowych.
21.
B.
n(n − 3)
=n⇒n=5
2
22.
D.
Ω = 36, A = 4
23.
B.
Taki graniastosłup ma dwie podstawy po 6 wierzchołków, zatem jest
1
26
2
2
=
=
sześciokątny. Ma więc sześć ścian bocznych i dwie podstawy.
Zadania otwarte
Numer
zadania
24.
punktów
Zapisanie współczynnika kierunkowego prostej prostopadłej:
a=
1
1
.
2
Wyznaczenie równania szukanej prostej: y =
25
Liczba
Modelowe etapy rozwiązywania zadania
1
1
, x −2.
2
Wykorzystanie warunku styczności okręgu i prostej oraz
1
wyznaczenie odległości punku S od prostej l : d (S , l ) = 4 = r .
Zapisanie równania szukanego okręgu: ( x + 2 ) + ( y − 3) = 16 .
1
Wyznaczenie skali podobieństwa: k = 2 i zapisanie zaleŜności
1
2
26.
2
między obwodami: L2 = 2L1 .
27.
Wyznaczenie obwodów trójkątów: L1 = 4, L2 = 8 .
1
Przekształcenie układu do równania: − 2 x 2 − y 2 = 2 .
1
Wykazanie sprzeczności: lewa strona równania jest zawsze
1
niedodatnia, a prawa dodatnia.
2
28.
Zapisanie równania wynikającego z treści zadania:
x
3
=
,
2− x
3
1
gdzie x – mniejsza odległość wierzchołków obu kwadratów.
29.
Rozwiązanie równania: x = 3 − 1 .
1
Wykorzystanie wzoru na tangens do przekształcenia
1
 sin α cos α 
wyraŜenia: W = 
+
 sin α cos α .
 cos α sin α 
Sprowadzenie do wspólnego mianownika wyraŜenia w
1
pierwszym nawiasie i wykorzystanie jedynki trygonometrycznej
do obliczenia wartości wyraŜenia:
sin 2 α + cos 2 α
W=
sin α cos α = 1 .
sin α cos α
30.
Wprowadzenie oznaczeń:
1
x, y – odpowiednio cena hurtowa przewodnika i mapy,
0,2 x, 025 y – odpowiednio zysk z jednego przewodnika i jednej
mapy.
20 x + 30 y = 1020
Zapisanie układu równań: 
.
20 ⋅ 0,2 x + 30 ⋅ 0,25 y = 240
2 (po 1 punkcie
za kaŜde
równanie)
 x = 15
Rozwiązanie układu równań: 
.
 y = 24
31.
1
Wyznaczenie wysokości trójkąta: h = d (C , AB ) = 3 .
1
Wyznaczenie długości boku trójkąta: a = 2 3 .
1
3
 3



Wprowadzenie oznaczeń: A =  x, x + 1, B =  x1 , x1 + 1 .
4
 4



1
Zapisanie równania wynikającego z treści zadania:
1
2
(x + 1) +  3 x + 1 − 4  = 2 3 .
4

2
Rozwianie równania: x1 =
Zapisanie odpowiedzi:
4−4 3
4+4 3
, x2 =
.
5
5
1
1
3
4−4 3 8−3 3
4+4 3 8+3 3
, B = 
.
A = 
,
,


5
5 
5
5 


32.
Wykonanie rysunku z oznaczeniami lub wprowadzenie
1
dokładnych oznaczeń oraz wyznaczenie krawędzi podstawy:
a, h – odpowiednio krawędź podstawy i wysokość
graniastosłupa,
d – dłuŜsza przekątna rombu,
a = 4 3.
Wyznaczenie dłuŜszej przekątnej rombu: d = 12 .
1
Wyznaczenie wysokości graniastosłupa: h = 12 3 .
1
Wyznaczenie pola podstawy graniastosłupa: Pp = 24 3 .
1
Wyznaczenie objętości graniastosłupa: V = 864 .
1
4