Algebra liniowa 1

ZADANIA Z ALGEBRY LINIOWEJ DLA STUDENTÓW I ROKU WYDZIAŁU ZIF
KIERUNEK ANALITYKA GOSPODARCZA
LISTA 1
1. Wykazać, że w dowolnej grupie (,⊕):
a) zachodzi prawo skreśleń, to znaczy dla wszystkich , , ∈ : jeśli ⊕ = ⊕ , to
= ;
b) istnieje dokładnie jeden element neutralny ;
c) dla każdego elementu istnieje dokładnie jeden element przeciwny (odwrotny).
2. Niech będzie ustaloną liczbą naturalną. Wykazać, że w zbiorze liczb naturalnych:
a) dodawanie i mnożenie modulo są działaniami łącznymi;
b) mnożenie modulo jest rozdzielne względem dodawania modulo .
3. Napisać tabliczki Cayley’a dla dodawania i mnożenia modulo w zbiorach ௣ =
{0,1, … , − 1}dla ∈ {3,4, … ,9}. Który z tych zbiorów jest grupą z dodawaniem modulo
? Który z tych zbiorów jest ciałem?
4. Niech = ଴ będzie przekształceniem identycznościowym płaszczyzny na siebie (tzn.
= dla każdego punktu P) a ଵ , ଶ i ଷ będą obrotami płaszczyzny dookoła ustalonego
punktu odpowiednio o kąty 90o, 180o i 270o. Wykazać, że te cztery przekształcenia tworzą
grupę ze składaniem przekształceń jako działaniem. Napisać odpowiednią tabliczkę
Cayley’a i porównać ją z tabliczką dla grupy ସ z zadania 3. Jakie nasuwają się wnioski?
Czy każda grupa ௣ ma swój odpowiednik wśród grup obrotów?
5. Wykazać, że jeśli (,⊕) jest dowolną grupą, to ௡ (dla ustalonego ∈ ℕ) oraz ஶ
z działaniami zdefiniowanymi na wykładzie są grupami.
6. Wykazać, że zbiór { + √2: , ∈ ℚ} jest ciałem.
7. Niech , , , ∈ ℝଷ . W każdym z poniższych przypadków przedstawić wektor jako
kombinację liniową wektorów , , . Czy przedstawienie takie jest zawsze możliwe? Czy
przedstawienie takie jest zawsze jednoznaczne?
a) = (2, −1, 3), = (1, 2, 1), = 2, 0, −2, = (3, 2, 2);
b) = (4, −3, 7), = (1, 0, 0), = (0, 1, 0), = (0, 0, 1);
c) = (4, 10, −2), = (2, 5, −1), = (1, 2, 1), = (−1, −3, 2);
d) = (6, 4, 3), = (1, 2, 1), y=(2, 0, -2), = (3, 2, −1);
e) = (0, 0, 0), , , jak w przykładzie c);
f) = (0, 0, 0), , , jak w przykładzie a).