RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE MAP 1215 Lista zadań

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE MAP 1215
Lista zadań nr 5
15 maja 2016
1. (Zadanie przeznaczone do samodzielnego rozwiązania, nieobowiązkowe na ćwiczeniach)
Stosując metodę Eulera (wartości własnych i wektorów własnych) bądź metodę eliminacji (patrz
skrypt [GS]) rozwiązać układy
(
(
y10 = 3y1 + 4y2
y20 = 2y1 + y2
y10 = y1 − 2y2 − 5
y20 = 2y1 + y2
,
(
,
y10 = y2 + et
y20 = y1 + t2
.
2. Znaleźć rozwiązanie ogólne oraz możliwie szczegółowo opisać (naszkicować) portret fazowy ukła−
−
du →
y 0 = A→
y w przypadku, gdy
"
#
"
#
"
λ 0
i) A =
,
0 λ
λ
0
,
ii) A = 1
0 λ2
#
4 −10
v) A =
,
2 −4
"
λ1 6= λ2 ,
"
#
λ 0
iii) A =
,
1 λ
"
#
0 β
iv) A =
,
−β 0
#
−4 −10
vi) A =
.
2
4
Wsk. Dla ustalonego rozwiązania (y1 (t), y2 (t)) rozważyć takie wielkości jak y2 (t)/y1 (t), ρ(t) =
{(y1 (t))2 + (y2 (t))2 }1/2 , itp.
3. Naszkicować portret fazowy układu
(
y10 = −y2 + y1 (1 − y12 − y22 )
y20 = y1 + y2 (1 − y12 − y22 )
.
Porównać rezultat z portretem fazowym układu y10 = −y2 , y20 = y1 .
Wsk. Przejść do współrzędnych biegunowych (r, θ). Wykazać, że badany układ jest równoważny
układowi
(
dr
2
dt = r(1 − r )
,
dθ
dt = 1
znaleźć rozwiązanie spełniające warunek początkowy r(0) = r0 > 0, θ(0) = θ0 . Wykazać, że
jeśli 0 < r0 ¬ 1, to rozwiązanie jest określone dla t ∈ R, natomiast gdy r0 > 1, to rozwiązanie
jest określone na półprostej. W każdym z przypadków zbadać granice rozwiązań na końcach
przedziału określoności.
(Odp. r(t) = r0 /[r02 + (1 − r02 )e−2t ]1/2 , θ(t) = t + θ0 .)
4. Zbadać stabilność rozwiązania x = y = 0 układów
(
i)
x0 = −y
y 0 = 2x3
(
,
ii)
x0 = y
y 0 = − sin x.
5. Określić dla jakich wartości parametrów a i b rozwiązanie x = y = 0 następujących układów
jest stabilne:
(
(
x0 = ax − 2y + x2
x0 = ax + y + x2
i)
,
ı)
y 0 = x + y + xy
y 0 = x + by + y 2 .
6. Znaleźć ogólną postać rozwiązań następujących równań
(a) uy = 2xy,
(b) ux + y = 0.
7. Znaleźć rozwiązanie równania u − xux − x2 y 2 = 0 spełniające warunek u(1, y) = −y 2 . Jaka jest
dziedzina tego rozwiązania?
8. Znaleźć funkcję u = u(x, y) spełniającą podane równanie różniczkowe i warunki dodatkowe
(a) uxx = 6x; u(0, y) = y, u(1, y) = y 2 + 1,
(b) yuyy + uy = 0; u(x, 1) = x2 , u(x, e) = 1.
Określić dziedziny tych rozwiązań.
9. Znaleźć ogólną postać rozwiązań równania 3uy + uxy = 0.
(Wsk. Podstawić v = uy .)
Znaleźć rozwiązanie spełniające warunki u(x, 0) = e−3x , uy (x, 0) = 0. Czy jest ono jednoznacznie
wyznaczone?
10. Wykazać, że rozwiązanie ogólne równania uyy − c2 uxx = 0 ma postać u(x, y) = f (x + cy) + g(x −
cy), gdzie f, g są dowolnymi funkcjami klasy C 2 .
(Wsk. Zastosować zamianę zmiennych ξ = x + cy, η = x − cy.)
11. Znaleźć ogólną postać rozwiązań równania x2 uxx + 2xyuxy + y 2 uyy = 0.
(Wsk. Zastosować zamianę zmiennych ξ = y/x, η = y.)
12. Znaleźć ogólną postać radialnie symetrycznych rozwiązań n-wymiarowego równania Laplace’a
ux1 x1 + · · · + uxn xn = 0.
(Wsk. u = u(r), gdzie r = (x21 + · · · + x2n )1/2 . Znaleźć równanie różniczkowe zwyczajne jakie
spełnia u(r).)
13. Znaleźć rozwiązania następujących zagadnień:
(
i)
xux + yuy = 0 x ∈ R, y > 0
,
u(x, 0) = 1
x ∈ R,
(
iii)
yux + xuy = x + y
u(x, 0) = x
(
ii)
yux + xuy = 0 x ∈ R, y > 0
,
u(x, 0) = sin x x ∈ R
x ∈ R, y > 0
.
x∈R
14. Stosując metodę rozdzielania zmiennych znaleźć formalne rozwiązania następujących zagadnień
dla równania ut = a2 uxx w obszarze Q = (0, l) × (0, ∞):
i) u(0, t) = u(l, t) = 0, u(x, 0) = Ax (A = const),
ii) u(0, t) = ux (l, t) = 0, u(x, 0) = ϕ(x) (ϕ(x) - dana funkcja),
iii) ux (0, t) = ux (l, t) = 0, u(x, 0) = U0 (U0 = const).
Przy jakich założeniach o zadanych warunkach są one rozwiązaniami klasycznymi?
15. Stosując metodę rozdzielania zmiennych znaleźć formalne rozwiązania następujących zagadnień
dla równania utt = a2 uxx w obszarze Q = (0, l) × (0, ∞):
i) u(0, t) = u(l, t) = 0, u(x, 0) = 0, ut (x, 0) = sin 2π
l x,
ii) u(0, t) = u(l, t) = 0, u(x, 0) = ϕ(x), ut (x, 0) = ψ(x) (ϕ(x), ψ(x) - dane funkcje),
π
iii) ux (0, t) = ux (l, t) = 0, u(x, 0) = sin 5π
2l x, ut (x, 0) = cos 2l x.
Przy jakich założeniach o zadanych warunkach są one rozwiązaniami klasycznymi?
16. Stosując metodę rozdzielania zmiennych znaleźć formalne rozwiązania następujących zagadnień
dla równania ∆u = 0 w obszarze Ω = (0, 1) × (0, 1):
i) u(0, y) = u(1, y) = 0, u(x, 0) = sin πx, u(x, 1) = sin 2πx,
ii) u(x, 0) = u(x, 1) = 0, u(0, y) = sin πy, u(1, y) = sin 2πy.
Czy są one rozwiązaniami klasycznymi?
17. Stosując metodę rozdzielania zmiennych znaleźć formalne rozwiązania następujących zagadnień
w obszarze Q = (0, l) × (0, ∞):
i) ut = a2 uxx + sin πl x, u(0, t) = u(l, t) = 0, u(x, 0) = Ax (A = const),
ii) utt = a2 uxx + sin πl x, u(0, t) = u(l, t) = 0, u(x, 0) = 0, ut (x, 0) = sin 2π
l x.
Czy są one rozwiązaniami klasycznymi?
Jan Goncerzewicz