Niech H będzie podgrupą grupy G oraz niech g 1,g2 ∈ G

Grupy – ćwiczenie 3
1. Udowodnić twierdzenie: Niech H będzie podgrupą grupy G oraz niech g1 , g2 ∈ G.
Następujące warunki są równoważne:
1) g1 H = g2 H;
2) g1 H ⊂ g2 H;
3) Hg1−1 = Hg2−1 ;
4) g1−1 g2 ∈ H;
5) g2 ∈ g1 H.
2. Wyznaczyć warstwy grupy Φ(36) względem poniższej jej podgrupy H: a) {1}; b)
{1, 17}; c) {1, 13, 25}; d) {1, 17, 19, 35}; e) {1, 5, 13, 17, 25, 29}; f) Φ(36).
3. Wyznaczyć warstwy grupy Φ(42) względem podgrupy H = {1, 5, 17, 25, 37, 41}.
4. Opisać warstwy grupy C względem jej podgrupy R.
5. Opisać warstwy grupy C∗ względem jej podgrupy R+ .
6. Sprawdzić, że zbiór On obrotów n-kąta foremnego F jest dzielnikiem normalnym
grupy diedralnej Dn .
7. Czy podgrupa cykliczna {(1), (123), (132)} jest normalna w A4 ?
a b
8. Dowieść, że zbiór macierzy postaci
, gdzie a, b ∈ R jest grupą względem
0 1
ich mnożenia i że podzbiór tej grupy składający się z macierzy w których a = 1
jest dzielnikiem normalnym tej grupy, natomiast podzbiór składający się z macierzy
w których b = 0 jest podgrupą, ale nie jest dzielnikiem normalnym.
9. Niech H będzie podgrupą grupy G i niech g ∈ G. Udowodnić, że zbiór gHg −1 :=
{ghg −1 : h ∈ H} jest podgrupą grupy G.
Zadanie domowe.
W.J.Gilbert, W.K.Nicholson, Algebra współczesna z zastosowaniami:
3.27, 3.31, 3.70, 4.5, 4.18, 4.32, 4.39