Lista 3 - wmiRepo
Transkrypt
Lista 3 - wmiRepo
Lista Zadań Nr 3 RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE A2 Grzegorz Karch 12 października 2005 r. http://www.math.uni.wroc.pl/˜karch/A2 Stabilność w sensie Lapunowa Zadanie 23. Ustal czy rozwiazania stacjonarne x(t) ≡ 0 i x(t) ≡ 1 równania x0 = x(1−x) sa ‘ ‘ stabilne czy niestabilne w sensie Lapunowa. Zrób to zadanie na dwa sposoby: bezpośrednion, badajac rozwiazania, oraz konstruujac funkcje Lapunowa (tylko w przypadku stabilności). ‘ ‘ ‘ ‘ Zadanie 24. Podobne polecenie dla rozwiazań x(t) ≡ 0 i x(t) ≡ 1 równania x0 = −x(1 − x). ‘ Zadanie 25. Rozważamy równanie różniczkowe x0 = x2 . Udowodnij, że wszystkie rozwiazania ‘ z warunkiem poczatkowym x(0) ≥ 0 sa niestabilne, natomiast rozwiazania z warunkiem ‘ ‘ ‘ poczatkowym x(0) < 0 sa stabilne w sensie Lapunowa. ‘ ‘ Zadanie 26. Zbadać stabilność rozwiazania x = y = 0 ukladów: ‘ a) x0 = −y, y 0 = 2x3 ; b) x0 = y, y 0 = sin x. Zadanie 27. Zbadać punkty stacjonarne ukladu x0 = xy + 12, y 0 = x2 + y 2 − 25 i określić ich stabilność. Zadanie 28. Udowodnij, że stabilność rozwiazań dowolnego rozwiazania x̄(t) równania ‘ ‘ niejednorodnego x̄0 = Ax̄+ f¯(t) jest równoważna stabilności rozwiazania stacjonarnego x̄ ≡ 0 ‘ równania jednorodnego x̄0 = Ax̄. Zadanie 29. Podać przyklad ukladu równań, do którego można zastosować Twierdzenia Lapunowa o niestabilności: Niech dana bedzie funkcja V (x) klasy C 1 w pewnym zbiorze Q, bedacym otoczeniam poczatku ‘ ‘ ‘ ‘ ukladu wspólrzednych. Jeżeli funckja V (x) spelnia warunki: ‘ i) V (0) = 0, ii) dla każdgo ε > 0 istnieje x, taki że |x| < ε i V (x) > 0, iii) ∇V · f > 0 dla x ∈ Q \ {0}, to rozwiazanie zerowe równania autonomicznego x0 = f (x) nie jest stabilne w sensie La‘ punowa. Zadanie 30. Udowodnić, że rozwiazanie równania x0 = a(t)x, gdzie a(t) jest funkcja ciagla, R ‘ ‘ ‘ ‘ jest stabilne w sensie Lapunowa wtedy i tylko wtedy, gdy lim supt→+∞ 0t a(s) ds < +∞. Zadanie 31. Zbadać stabilność lub brak stabilności rozwiazania zerowego ukladów równań: ‘ a) x0 = x3 − y, y 0 = x + y 3 ; b) x0 = y − x + xy, y 0 = x − y − x2 − y 3 ; c) x0 = 2y 3 − x5 , y 0 = −x − y 3 + y 5 . Zadanie 32. Zalóżmy, że przynajmniej jedna wartość wlasna operatora liniowego A na IRn ma ściśle dodatnia cześć rzeczywista. Pokazać, że dla dowolnego ε > 0 istnieje rozwiazanie ‘ ‘ ‘ ‘ równania ẋ = Ax takie, że kx(0)k < ε oraz limt→∞ kx(t)k = ∞. Zadanie 33. Znaleźć warunek konieczny i dostateczny na stabilność rozwiazania zerowego ‘ ukladu dwóch równań liniowych jednorodnych o stalych wspólczynnikach. Zadanie 34. Dany jest uklad równań x00 = f (x) z niewiadoma x = (x1 , ..., xn ), gdzie ‘ f (x) = −∇Φ(x), a Φ(x) jest funkcja skalarna klasy C 2 . Sprawdzić, że funkcja U (A, B) = ‘ ‘ kAk2 /2+Φ(B) spelnia tożsamość dtd U (x0 (t), x(t)) = 0 dla dowolnego rozwiazania tego ukladu. ‘ Funkcja U nazywa sie calka pierwsza tego ukladu. ‘ ‘ ‘ G rzegorz Karch Stabilność rozwiazań w sensie Lapunowa ‘ Niech bedzie dane równanie ‘ m x0 = f (x), m (1) gdzie f : Q → IR oraz Q ⊂ IR jest zbiorem otwartym zawierajacym poczatek ukladu wspólrzednych. ‘ ‘ ‘ Zakladamy, że f jest klasy C 1 oraz spelnia warunek f (0) = 0. Definicja. Funkcja Lapunowa dla równania (1) nazywamy funkcje V ∈ C 1 (Q), V : Q → IR, spelnajaca warunki: ‘ ‘ ‘ ‘ 1 1) V (x) ≥ 0; 2) V (x) = 0 wtedy i tylko wtedy gdy x = 0; 3) jeśli x(t) jest rozwiazaniem równania (1), to funkcja zlożona V (x(t)) jest nierosnaca funkcja zmiennej ‘ ‘ ‘ ‘ t. d Warunek trzeci w powyższej definicji oznacza, że dt V (x(t)) = ∇V (x(t)) · f (x(t)) ≤ 0. Prosze zauważyć, że ‘ aby sprawdzić te nierówność nie musimy znać rozwiazania w jawny sposób. ‘ ‘ Na wykladzie udowodniono podstawowe twierdzenie wyjaśniajace znaczenie funkcji Lapunowa. ‘ Twierdzenie. - Niech f bedzie odwzorowaniem określonym na zbiorze otwartym Q, zawierajacym poczatek ukladu wspólrzednych. ‘ ‘ ‘ ‘ - Zakladamy, że f jest klasy C 1 oraz spelnia warunek f (0) = 0. - Zakladamy również, że istnieje funkcja Lapunowa dla równania (1). Wówczas rozwiazanie x̄(t) ≡ 0 równania (1) jest stabilne w sensie Lapunowa. ‘ Jeżeli dodatkowo ∇V · f < 0 dla wszystkich x ∈ Q \ {0}, to rozwiazanie x̄(t) ≡ 0 równania (1) jest asympto‘ tycznie stabilne w sensie Lapunowa. Uwaga. Jeżeli chcemy badać przy pomocy powyższego twierdzenia stabilność rozwiazania x̄(t) innego niż tożsamościowo ‘ równe zeru, to wówczas w równaniu (1) należy dokonać podstawienia x(t) = z(t) − x̄(t). Wówczas funkcja z(t) spelnia równanie różniczkowe: z 0 = f (z − x̄) + x̄0 .Zauważmy, że z̄ ≡ 0 jest rozwiazaniem tego nowego ‘ równania i wystarczy badać jego stabilność. Może sie okazać, że bedziemy potrzebowali tutaj ogólniejszej ‘ funkcji Lapunowa dla równań nieautonomicznych. Odpowiednia definicja oraz twierdzenie sa podane w ksiażce A. Palczewskiego, str. 212. ‘ Stabilność rozwiazań ukladu równań liniowych ‘ Twierdzenie. Rozważamy uklad liniowy o stalych wspólczynnikach x̄ = Ax̄. a) Jeżeli wszystkie wartości wlasne macierzy A maja ujemna cześć rzeczywista, to rozwiazane x̃(t) ≡ 0 jest ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ asymptotycznie stabilne. Dodatkowo, istnieja dodatnie stale Ki α takie, że każde rozwiazanie x̄ = x̄(t) tego ‘ ‘ ukladu spelnia oszacowanie kx̄(t)k ≤ Ke−αt kx(0)k. b) Jeżeli co najmniej jedna wartość wlasna macierzy A ma dodatnia cześć rzeczywista, to rozwiazanie x̃(t) ≡ 0 ‘ ‘ ‘ ‘ jest niestabilne. Dowód tego Twierdzenia jest bezpośrednia konsekwencja faktu, że znane jest rozwiazanie ogólne ukladu ‘ ‘ ‘ równań liniowych x̄ = Ax̄, gdzie macierz A jest macierza kwadratowa o stalych wspólczynnikach. ‘ ‘ Linearyzacja ukladu równań różniczkowych Twierdzenie. Rozważamy uklad równań różniczkowych x̄ = Ax̄ + g(x̄), (2) gdzie macierz A jest macierza kwadratowa o stalych wspólczynnikach, natomiast g = g(x̄) = g(x1 , ..., xn ) ‘ ‘ jest funkcja klasy C 1 taka, że g(0) = 0 oraz limx→0 g(x) kxk = 0. ‘ ‘ a) Jeżeli wszystkie wartości wlasne macierzy A maja ujemna cześć rzeczywistla, to rozwiazane x̃(t) ≡ 0 ‘ ‘ ‘ ‘ ukladu (2) jest asymptotycznie stabilne. Dodatkowo, istnieja dodatnie stale K i α takie, że każde rozwiazanie ‘ ‘ x̄ = x̄(t) ukladu (2) z dostatecznie malym warunkiem poczatkowym kx(0)k spelnia oszacowanie kx̄(t)k ≤ ‘ Ke−αt kx(0)k. b) Jeżeli co najmniej jedna wartość wlasna macierzy A ma dodatnia cześć rzeczywista, to rozwiazanie x̃(t) ≡ 0 ‘ ‘ ‘ ‘ ukladu (2) jest niestabilne. Punkt a) dowodzi sie przy pomocy równoważnego sformulowania calkowego ‘ Z t At x̄(t) = e x̄(0) + eA(t−s) g(x̄(s)) ds. 0 Kluczowa role odgrywa tutaj oszacowanie rozwiazań ukladu równań liniowych zawarte w twierdzeniu poprzed‘ ‘ ‘ nim. Dowód punktu b) zostal pominiety ma wykladzie. ‘ Uwaga. Okazuje sie, że każdy nieliniowy uklad równań różniczkowych x̄0 = f (x̄), gdzie funkcja f = f (x) jest klasy C 1 ‘ i spelnia f (0) = 0, może być zapisany w postaci (2). Wystarczy przyjać A = Df (0) oraz g(x) = f (x) − Ax. ‘ Wyrażenie Df (0) oznacza tutaj macierz Jacobiego odwzorowania f w punkcie x̄ = 0. 0 Linearyzacja nieliniowego ukladu x̄ = f (x̄) w pukcie równowagi x̄ ≡ 0 nazywamy uklad równań liniowych ‘ x̄0 = Ax̄, gdzie macierz A = Df (0). 2