Algebra
Transkrypt
Algebra
Algebra Lista 12 1. W tym zadaniu za jmiemy si¦ lematem potrzebnym do udowodnienia twierdzenia 174 (o rozwini¦ciu Laplace'a), który na wykªadzie zostaª podany bez dowodu. {1, . . . , n} ci¡giem ró»nych elementów ze zbioru wyst¦puje w nim inwersji. p Poka», »e jedynie wtedy, gdy 2. inwersji. Usu«my z tego ci¡gu element (−1)p = (−1)q · (−1)i+ai , i + ai jest nieparzyste. Niech a1 , . . . , a n (czyli permutacj¡ tego zbioru). ai . b¦dzie Zaªó»my, »e Zaªó»my, »e nowy ci¡g ma q czyli »e parzysto±¢ liczby inwersji ci¡gu zmieni (a) Oblicz wyznaczniki: 1 2 3 4 2 3 4 1 3 4 1 2 4 1 2 3 (b) Oblicz wyznacznik: oraz (c) Poka», »e wyznacznik: 3. Niech 1 2 10 9 11 12 20 19 21 22 1 1 1 ... 1 2 1 2 0 1 2 0 2 3 8 13 18 23 4 7 14 17 24 a1 −1 0 . 0 0 1 a2 −1 . 0 0 0 1 a3 . 0 0 ... an ... an ... an ... ... . . . a n + bn ... 0 ... 0 ... 0 ... . . . . an−1 . . . −1 0 0 0 . 1 an jest równy b1 b2 . . . bn . . un = an un−1 + un−2 4. Poka», »e poni»szy wyznacznik stopnia 5. Liczby 1 2 0 2 5 6 15 16 25 a1 a2 a1 + b1 a2 a1 a2 + b2 ... ... a1 a2 un = Dowie±¢, »e 2 1 2 0 2k jest równy a 0 ... 0 b 0 a ... b 0 . . ... . . 0 b ... a 0 b 0 ... 0 a (a2 − b2 )k . . 20604, 53227, 25755, 20927, 289 s¡ podzielne przez 17. 2 0 6 0 4 5 3 2 2 7 2 5 7 5 5 . 2 0 9 2 7 0 0 2 8 9 nik równie» jest podzielny przez 17: Udowodnij, »e poni»szy wyznacz- 6. Udowodnij twierdzenie Cauchy'ego: det(AB) = det(A) · det(B). Wskazówka: Zasugeruj¦ jedn¡ z metod udowodnienia tego twierdzenia. Udowodnij najpierw takie twierdzenie pomocnicze: wyznaczniki macierzy ksztaªtu A 0 C B A C 0 B oraz , A i B to pewne macierze kwadratowe (w ogólnym przypadku C nie musi by¢ kwadratowa), det(A) · det(B). Nast¦pnie rozwa» dwa sposoby wyliczenia wyznacznika gdzie A 0 −In B s¡ równe . Pierwszy sposób polega na wykorzystaniu wspomnianego lematu, drugi na przeksztaªceniu danego wyznacznika (za pomoc¡ operacji na kolumnach) do postaci gdzie C =AB A C −In 0n C A 0n −In , i nast¦pnie do . 7. Oblicz wyznacznik: Wskazówka: Oblicz wyznacznik macierzy a b c d b −a d −c c −d −a b d c −b −a AAT i skorzystaj z twierdzenia Cauchy'ego o wyznaczniku iloczynu macierzy. 8. Wyznacz macierze odwrotne do macierzy: 1 2 2 5 oraz 2 2 3 1 −1 0 . −1 2 1 9. Wyprowad¹ wzór na obliczanie macierzy odwrotnej do macierzy ksztaªtu B i C s¡ macierzami kwadratowymi, a 0 macierz¡ zerow¡. A C 0 B , gdzie A, Poda j warunek na istnienie takiej macierzy odwrotnej. 10. Niech A b¦dzie dowoln¡ macierz¡, a R1 i R2 R1 = R2 . równowa»nymi jej wierszowo macierzami wierszowo zredukowanymi. Poka», »e 2