Algebra. Lista 11

Algebra. Lista 11
1. (a) Znajd¹ macierz przeksztaªcenia liniowego L : R3 → R3 , L(x, y, z) = (x + y + z, −2x −
z, −2y − z), w bazach standardowych.
(b) Przeksztaªcenie liniowe L : R3 → R3 przeksztaªca wektory [0, 1, 1], [2, 3, 0], [1, 0, 0] odpowiednio na [0, 1, 1], [0, 0, 0], [−1, 0, 0]. Znajd¹ macierz tego przeksztaªcenia w bazach
standardowych i oblicz L999 ([2, 3, 6]), czyli obraz wektora [2, 3, 6] w przeksztaªceniu b¦d¡cym 999-krotnym zªo»eniem L z sob¡.
2. Niech V b¦dzie przestrzeni¡ liniow¡ rz¦du n nad ciaªem liczb rzeczywistych R, a F : V → R
niezerowym przeksztaªceniem liniowym (takie przeksztaªcenia nazywamy funkcjonaªami liniowymi ).
(a) Jaki jest wymiar j¡dra Ker(F )?
(b) Ustalmy dowolny wektor w
~ ∈ V \ Ker(F ). Poka», »e dla dowolnego wektora ~v ∈ V istniej¡
wektor ~u ∈ Ker(F ) oraz skalar α ∈ R takie, »e ~v = ~u + αw
~.
(c) Niech F i G b¦d¡ dowolnymi funkcjonaªami liniowymi na V o tym samym j¡drze. Poka»,
»e wtedy istnieje β ∈ R takie, »e dla dowolnego ~v ∈ V zachodzi F (v) = βG(v).
3. Rozwa»my przestrze« R4 [x] wielomianów stopnia co najwy»ej 4. Poka», »e przeksztaªcenie
L : R4 [x] → R4 [x], przyporz¡dkowuj¡ce wielomianowi jego pochodn¡ jest przeksztaªceniem
liniowym. Jaki jest jego obraz, j¡dro i rz¡d? A teraz we¹my przeksztaªcenie M : R4 [x] → R4 [x],
przyporz¡dkowuj¡ce wielomianowi jego drug¡ pochodn¡. Jaki jest jego obraz, j¡dro i rz¡d?
Dla L i M znajd¹ ich macierze w bazach zªo»onych z wielomianów 1, x, x2 , x3 , x4 . Sprawd¹, »e
kwadrat macierzy przeksztaªcenia L jest równy macierzy przeksztaªcenia M . Dlaczego tak jest?
2 −1 0 0 −2 3 0 0 oraz
0 0 3 2 .
0 0 4 2 (b) Rozwa»amy macierz kwadratow¡ stopnia nieparzystego tak¡, »e dla dowolnych i, j zachodzi
aij = −aji (wynika st¡d, »e elementy na przek¡tnej s¡ równe zero). Opieraj¡c si¦ na denicji
a a a 4. (a) Korzystaj¡c z denicji oblicz wyznaczniki: −a a a −a −a a uzasadnij, »e wyznacznik tej macierzy jest równy zero.
5. W tym zadaniu zajmiemy si¦ lematem potrzebnym do udowodnienia twierdzenia 170 (o rozwini¦ciu Laplace'a), który na wykªadzie zostaª podany bez dowodu. Niech a1 , . . . , an b¦dzie
ci¡giem ró»nych elementów ze zbioru {1, . . . , n} (czyli permutacj¡ tego zbioru). Zaªó»my, »e
wyst¦puje w nim p inwersji. Usu«my z tego ci¡gu element ai . Zaªó»my, »e nowy ci¡g ma q
inwersji. Poka», »e (−1)p = (−1)q · (−1)i+ai , czyli »e parzysto±¢ liczby inwersji ci¡gu zmieni
jedynie wtedy, gdy i + ai jest nieparzyste.
6. (a) Oblicz
wyznaczniki:
1
2
3
4
2
3
4
1
3
4
1
2
4
1
2
3
oraz
(b) Oblicz wyznacznik: 1 2
10 9
11 12
20 19
21 22
1
1
(c) Poka», »e wyznacznik: 1
...
1
2
1
2
0
1
2
0
2
3
8
13
18
23
4
7
14
17
24
2
1
2
0
1
2
0
2
5 6 15 16 25 a1
a2
a1 + b1
a2
a1
a 2 + b2
...
...
a1
a2
...
an
...
an
...
an
...
...
. . . an + bn
jest równy b1 b2 . . . bn .
7. Niech
un = a1
−1
0
.
0
0
1
a2
−1
.
0
0
0
1
a3
.
0
0
... 0
... 0
... 0
...
.
. . . an−1
. . . −1
0
0
0
.
1
an
.
Udowodnij, »e un = an un−1 + un−2
8. Udowodnij twierdzenie Cauchy'ego:
det(AB) = det(A) · det(B).
Wskazówka: Zasugeruj¦ jedn¡ z metod udowodnienia tego twierdzenia. Udowodnij najpierw takie twierdzenie pomocnicze: wyznaczniki macierzy ksztaªtu
A 0
C B
A C
0 B
oraz
,
A i B to pewne macierze kwadratowe (w ogólnym przypadku C nie musi by¢ kwadratowa),
det(A) · det(B). Nast¦pnie rozwa» dwa sposoby wyliczenia wyznacznika
gdzie
A 0
−In B
s¡ równe
.
Pierwszy sposób polega na wykorzystaniu wspomnianego lematu, drugi na przeksztaªceniu danego wyznacznika (za pomoc¡ operacji na kolumnach) do postaci
gdzie
C =AB
C A
0n −In
,
i nast¦pnie do
9. Oblicz wyznacznik:
Wskazówka:
A C
−In 0n
Oblicz wyznacznik macierzy
.
a b c d
b −a d −c
c −d −a b
d c −b −a
AAT
i skorzystaj z twierdzenia Cauchy'ego o wyznaczniku
iloczynu macierzy.
10. Wyznacz macierze odwrotne
do macierzy:


1 2
2 5
oraz

2 2 3
1 −1 0 .
−1 2 1
11. Wyprowad¹ wzór na obliczanie macierzy odwrotnej do macierzy ksztaªtu
A C
0 B
, gdzie A,
B i C s¡ macierzami kwadratowymi, a 0 macierz¡ zerow¡. Podaj warunek na istnienie takiej
macierzy odwrotnej.
2