Matematyka dla informatyków II

Matematyka dla informatyków II
Lista 4
29.III.2006
1. Znajd¹ wszystkie macierze A, dla których
a)
1 1
2 1
b) A2 =
1 1
2 1
·A=A·
0 0
0 0
2. Znajd¹ i udowodnij wzór na An , gdy A =
2 2
1 1
.
3. Niech A b¦dzie macierz¡ kwadratow¡ stopnia n. ‘ladem macierzy A, oznaczanym T R(A),
nazywamy sum¦ elementów le»¡cych na gªównej przek¡tnej tej macierzy. Dla macierzy B przez
B −1 oznaczamy tak¡ macierz, »e BB −1 = In (o ile taka istnieje). Macierz B −1 nazywamy
macierz¡ odwrotn¡ do macierzy B . Udowodnij, »e
a) T r(AB) = T r(BA),
b) T r(B −1 AB) = T r(A).
4. Czy prawd¡ jest, »e dla ka»dej macierzy kwadratowej A stopnia 2 zachodzi
A2 − T R(A) · A = det(A) · I2 ?
Przez det(A) oznaczamy
wyznacznik macierzy, równy w tym przypadku a11 a22 − a12 a21 .
5. Ci¡g Fibonacciego deniujemy nast¦puj¡co:
F1 = 1, F2 = 1,
Rozwa»my macierz A =
Fn = Fn−1 + Fn−2 , dla n ≥ 2.
0 1
1
Fn+2
n
. Udowodnij, »e dla n ≥ 1 zachodzi wzór A ·
=
1 1
2
Fn+3
6. Oblicz liczb¦ inwersji w permutacjach:
a) n, n − 1, n − 2, . . . , 2, 1,
b) 2n − 1, 2n, 2n − 3, 2n − 2, . . . , 1, 2,
c) 1, 3, . . . , 2n + 1, 2, 4, . . . , 2n.
7. Udowodnij, »e suma ilo±ci inwersji w nast¦puj¡cych permutacjach: a1 , a2 , . . . , an−1 , an oraz
an , an−1 , . . . , a2 , a1 jest równa n(n − 1)/2.
8. Wyznacz permutacje odwrotne do permutacji
1
3
2
1
3 4
4 5
5
2
oraz
1 2
4 1
3 4
2 5
5
3
9. Wyka», »e jedynym rozwi¡zaniem równania yf1 = f2 jest permutacja y = f2 f1−1 , gdzie f −1
oznacza permutacj¦ odwrotn¡ do f .
10. Przedstaw permutacj¦
1
3
2
7
3
8
4
10
5
11
6 7 8
2 6 5
9
4
10 11
9 1
12
12
jako zªo»enie cykli rozª¡cznych.
11. Udowodnij, »e nast¦puj¡cy zbiór permutacji czteroelementowych: {i, (1, 2)(3, 4), (1, 3)(2, 4),
(1, 4)(2, 3)} z dziaªaniem skªadania permutacji tworzy grup¦. Czy grupa ta jest przemienna?
12. Rozªó» na transpozycje nast¦puj¡ce permutacje:
1
5
2
1
3
2
4
3
5
4
oraz
1
6
2
3
3
2
4
5
5
4
6
1
Emanuel Kiero«ski
2