Trygonometria 2
Transkrypt
Trygonometria 2
Wprowadzenie do analizy matematycznej i algebry koordynator: dr A. Rychlewicz, prowadzący: dr A. Rychlewicz ARKUSZ 2 Trygonometria 2 Teorię, jak również przykłady pomagające rozwiązać zadania zamieszczone w tym arkuszu można znaleźć w następujących książkach (dostępnych w czytelni biblioteki wydziałowej - zachęcamy do ich czytania): 1. R. J. Pawlak, H. Pawlak, A. Rychlewicz, A. Rychlewicz, K. Żylak, Matematyka krok po kroku - podręcznik dla klasy drugiej liceum ogólnokształcącego. Zakres rozszerzony, Res Polona, dział "Funkcje trygonometryczne", rozdziały: 5.3, 5.6, 5.7. 2. M. Fabijańczyk, A. Fabijańczyk, Matematyka elementarna, kompendium wiedzy z wybranych działów, Wydawnictwo UŁ, dział "Trygonometria", rozdziały: 13.3, 13.4, 13.5. (3 pkt.)Zadanie 2.1 ([1]) Funkcja f : R → R jest funkcją okresową o okresie 3. Wiedząc, że f (0) = 0, f (1) = 3, f (2) = 1, oblicz f (7), f (−12) i f (35). (3 pkt.)Zadanie 2.2 ([1]) Funkcja f : R → R jest funkcją okresową o okresie zasadniczym równym 4. Fragment wykresu funkcji f dla x ∈ [0, 2] jest odcinkiem o końcach A(0, 0) i B(2, 2), a dla x ∈ [2, 4] odcinkiem o końcach B(2, 2) i C(4, 0). Narysuj fragment wykresu funkcji f dla x ∈ [−8, 0]. Oblicz f (25). (3 pkt.)Zadanie 2.3 ([1]) Funkcja g : R → R jest funkcją okresową o okresie 6. Dla x ∈ [−3, 3] odpowiednie fragmenty wykresów funkcji g i x 7→ 9 − x2 pokrywają się. a) Wskaż największą i najmniejszą liczbę należącą do zbioru {g(−20.5), g(−4), g(−7), g(12), g(77)}. b) Sprawdź, czy funkcja g jest monotoniczna w przedziale (11, 14). (3 pkt.)Zadanie 2.4 ([1]) Uzasadnij, korzystając z parzystości (nieparzystości) oraz okresowości odpowiedniej funkcji, że: a) cos(710◦ ) = cos(370◦ ), c) tg(−100◦ ) = − tg(640◦ ), b) sin 237◦ + sin 483◦ = 0, d) ctg 320◦ + ctg 400◦ = 0. (3 pkt.)Zadanie 2.5 ([1]) Wyznacz okres zasadniczy funkcji f , jeśli: a) f (x) = cos x2 , b) f (x) = sin 3x, c) f (x) = tg 4x. (3 pkt.)Zadanie 2.6 ([1]) Oblicz: a) sin 73 π, c) tg 390◦ , e) sin 840◦ , g) tg 9 23 π, b) cos 3 61 π, d) ctg 510◦ , f ) cos 5 41 π, h) ctg 3 14 π. (3 pkt.)Zadanie 2.7 ([1]) Oblicz: π 2 d) ctg (π + α), jeśli ctg π2 + α = −2, 5; e) tg 2 21 π − α , jeśli ctg 3 12 π − α = 0, 8; f ) sin π2 + α , jeśli cos 23 π + α = 0, 75. + α , jeśli cos α = 0, 35; b) cos 23 π − α , jeśli cos π2 + α = −0, 2; c) tg π2 + α , jeśli ctg (2π − α) = −3; a) sin 1 (5 pkt.)Zadanie 2.8 (cf. [1]) Oblicz: , jeśli sin α − 7 12 π = 0, 9 i α ∈ 32 π, 2π ; b) sin α − 32 π , jeśli cos 3 21 π − α = 0, 2 i α ∈ π, 32 π ; c) sin π2 + α , jeśli ctg 32 π − α = −4 i α ∈ π2 , π . a) cos α − π 2 (3 pkt.)Zadanie 2.9 (cf. [1]) Wiedząc, że tg α = 2, oblicz wartość wyrażenia: 1−2 cos2 π 2 − α +2 sin4 (π−α). (3 pkt.)Zadanie 2.10 ([2]) Oblicz π 2 a) sin α, jeśli sin(π − α) = 92 ; √ b) sin α, jeśli cos π2 + α = 32 ; d) cos α, jeśli sin c) ctg α, jeśli ctg (π − α) = −3; f ) tg α, jeśli tg (π − α) = 2. π 2 e) tg α, jeśli ctg + α = 0, 7; − α = 4; (5 pkt.)Zadanie 2.11 ([2]) Oblicz: a) tg(π − α), jeśli cos(2π − α) = 0, 2; b) cos(π + α), jesli sin 32 π + α = 13 ; c) ctg 32 π + α , jeśli sin(π + α) = 31 i α jest kątem III ćwiartki układu współrzędnych; d) sin 32 π − α , jeśli tg(2π − α) = 3 i α jest kątem IV ćwiartki układu współrzędnych. (3 pkt.)Zadanie 2.12 ([2]) Sprawdź, czy zachodzi tożsamość: a) tg α + tg b) π 2 −α = sin2 α+sin2 ( π 2 +α) α·ctg α 3− sincos α 1 sin α·cos α ; d) cos α − cos π 2 +α 2 π 2 = 1 + 2 sin + α sin α; = cos π3 ; c) tg α · ctg α − sin α · cos π 2 e) tg α ctg − α = cos2 α; π 2 −α +1= 1 . π 1+cos( π 2 +α) cos( 2 −α) (3 pkt.)Zadanie 2.13 ([2]) Uzasadnij, że: a) sin 11◦ = sin 169◦ ; b) tg 25◦ + ctg 115◦ = 0; c) cos 140◦ + cos 40◦ = 0. (3 pkt.)Zadanie 2.14 ([1]) Naszkicuj wykres funkcji sinus w przedziale [−π, π]. a) Odczytaj z wykresu miejsca zerowe funkcji sinus należące do przedziału [−π, π]. b) Odczytaj z wykresu przedziały monotoniczności funkcji sinus zawarte w przedziale [−π, π]. c) Uzupełnij tabelę, jeśli x ∈ [−π, π]. √ d) Odczytaj z wykresu, dla jakich x ∈ [−π.π] zachodzą poszczególne nierówności: sin x > √ − 21 ¬ sin x ¬ 23 . 2 2 2 , sin x ¬ 1 2, (3 pkt.)Zadanie 2.15 ([1]) Naszkicuj wykres funkcji kosinus w przedziale [π, 2π]. a) Odczytaj z wykresu miejsca zerowe funkcji kosinus należące do przedziału [π, 2π]. b) Odczytaj z wykresu przedziały monotoniczności funkcji kosinus zawarte w przedziale [π, 2π]. c) Uzupełnij tabelę, jeśli x ∈ [π, 2π]. d) Odczytaj z wykresu, dla jakich x ∈ [π, 2π] zachodzą poszczególne nierówności: cos x > √ √ − 22 ¬ cos x ¬ 23 . (3 pkt.)Zadanie 2.16 ([1]) Naszkicuj wykres funkcji tangens w przedziale 0, π2 ∪ π 2,π 1 2, cos x ¬ 0, . a) Odczytaj z wykresu miejsca zerowe funkcji tangens należące do przedziału [0, π]. b) Odczytaj z wykresu przedziały monotoniczności funkcji tangens zawarte w przedziale [0, π]. c) Uzupełnij tabelę, jeśli x ∈ [0, π]. √ d) Odczytaj z wykresu, dla jakich x ∈ [0, π] zachodzą poszczególne nierówności: tg x ¬ 1, tg x √ −1 ¬ tg x ¬ 3. 3 3 , (3 pkt.)Zadanie 2.17 ([1]) Naszkicuj wykres funkcji kotangens w przedziale (0, π) ∪ (π, 2π). a) Odczytaj z wykresu miejsca zerowe funkcji kotangens należące do przedziału [0, 2π]. b) Odczytaj z wykresu przedziały monotoniczności funkcji kotangens zawarte w przedziale [0, 2π]. c) Uzupełnij tabelę argumentami funkcji kotangens należącymi do przedziału x ∈ (0, π). √ d) Odczytaj z wykresu, dla jakich x ∈ [0, 2π] zachodzą poszczególne nierówności: ctg x < −1 ¬ ctg x ¬ 1. 3 3 , ctg x > (3 pkt.)Zadanie 2.18 ([2]) Narysuj wykres funkcji f określonej wzorem: a) f (x) = sin x dla x ∈ 3 2 π, 2π d) f (x) = ctg x dla x ∈ −π, − π2 ; e) f (x) = sin x dla x ∈ −π, − π2 ; f ) f (x) = tg x dla x ∈ 54 π, 74 π \ { 32 π}. ; b) f (x) = cos x dla x ∈ 2 12 π, 3 21 π ; c) f (x) = tg x dla x ∈ π, 32 π ; Zadanie 2.19 (cf. [2]) Podaj wzór funkcji f , której wykres jest obrazem wykresu funkcji sinus: a) w przesunięciu o wektor o współrzędnych − π2 , 0 ; 3 √ 3, b) w przesunięciu o wektor o współrzędnych π ; 2,0 c) w przesunięciu o wektor o współrzędnych [2π, 0]; d) w symetrii względem początku układu współrzędnych. Czy funkcja f jest funkcją trygonometryczną? Narysuj wykres funkcji f . Zadanie 2.20 (cf. [2]) Podaj wzór funkcji f , której wykres jest obrazem wykresu funkcji tangens: a) w przesunięciu o wektor o współrzędnych − π2 , 0 ; b) w przesunięciu o wektor o współrzędnych π2 , 0 ; c) w przesunięciu o wektor o współrzędnych [π, 0]; d) w symetrii względem początku układu współrzędnych. Czy funkcja f jest funkcją trygonometryczną? Narysuj wykres funkcji f . (5 pkt.)Zadanie 2.21 ([2]) Narysuj wykres funkcji f określonej wzorem: π 2 a) f (x) = sin x − ; c) f (x) = cos x + π 3 ; d) f (x) = −2 + cos (x − π); b) f (x) = 1 + sin x; e) f (x) = ctg x + π 4 ; f ) f (x) = − tg x. (5 pkt.)Zadanie 2.22 ([1]) Naszkicuj wykres funkcji f , jeśli funkcja f określona jest wzorem: a) f (x) = cos x2 , x ∈ [0, 4π]; π 2 b) f (x) = tg x3 , x ∈ − 32 π, 32 π ; , x ∈ [0, π] \ { π2 }; e) f (x) = 2 cos 2x − π2 , x ∈ [0, 2π]; c) f (x) = sin 2x, x ∈ [0, 2π]; f ) f (x) = cos x + | cos x|, x ∈ [0, π]. d) f (x) = ctg x − (3 pkt.)Zadanie 2.23 ([2]) Wyznacz dziedzinę funkcji f określonej wzorem: a) f (x) = tg x − π 3 b) f (x) = ctg x + ; π 4 ; c) f (x) = tg x + ctg x; d) f (x) = sin x + π7 ; e) f (x) = cos x + tg x − 23 π ; f ) f (x) = tg x − ctg x − π2 . Literatura [1] R. J. Pawlak, H. Pawlak, A. Rychlewicz, A. Rychlewicz, K. Żylak, Matematyka krok po kroku - podręcznik dla klasy drugiej liceum ogólnokształcącego. Zakres rozszerzony, Res Polona [2] R. J. Pawlak, H. Pawlak, A. Rychlewicz, A. Rychlewicz, K. Żylak, Zbiór zadań dla klasy drugiej liceum ogólnokształcącego, liceum profilowanego, technikum, Res Polona 4