R˙ownania Zwyczajne Zaj ecia 7 Semestr letni 2004/05
Transkrypt
R˙ownania Zwyczajne Zaj ecia 7 Semestr letni 2004/05
Rȯwnania Zwyczajne Zajecia 7 , Semestr letni 2004/05 Ćwiczenia do ciag , lości wzg. warunku poczatkowego , Zadanie 1. a) Zalóżmy, iż mamy rodzine, odwzorowań fm : R × Rn → Rn , m ≥ 0 spelniajacych warunek Lipschitza , ∃ L > 0 : |fm (x, y2 ) − fm (x, y1 )| ≤ L|y2 − y1 |, ∀ m ≥ 0, x, y1 , y2 . Niech lim fm (x, y) = f0 (x, y) m→+∞ jednostajnie na zbiorach zwartych. Zalóżmy także, że (x0 , y0 ) ∈ R × Rn jest ustalony i y (m) jest rozwiazaniem zagadnienia , dy (m) = fm (x, y (m) ), dx y (m) (x0 ) = y0 , Pokaż, iż lim y (m) (x) = y (0) (x) m→+∞ jednostajnie na każdym przedziale zwartym. b) Wywnioskuj stad, wzgl. w-ku poczatkowego , iż w twierdzeniu o różniczkowalności rozwiazania , , podanym na wykladzie pochodna odwzorowania y 7→ Sx,x0 (y) jest funkcja, ciag , la, (tzn. odwzorowanie Sx,x0 jest klasy C 1 ). Możesz rozważyć tylko przypadek jednowymiarowy, tzn. n = 1. Zadanie 2. a) Oznaczmy przez Mn×n przestrzeń wszystkich macierzy n × n. Zalóżmy, iż R 3 x 7→ A(x) ∈ Mn×n jest różniczkowalna, funkcja, o wartościach macierzowych, tzn. jeśli A(x) = [aj,k (x)] to każda wspólrzedna R 3 x 7→ aj,k (x) ∈ R jest funkcja, różniczkowalna. , Pokaż , nastepuj acy wzór , , n X d det A(x) = det Ap (x), dx p=1 gdzie Ap = a1,1 a2,1 a3,1 .. . an,1 · · · a01,p · · · a02,p · · · a03,p .. .. . . · · · a0n,p · · · a1,n · · · a2,n · · · a3,n .. .. . . · · · an,n . Wsk. Użyj definicji wyznacznika oraz wzoru Leibnitza na różniczkowanie iloczynu. Uwaga. Analogiczny wzór można też sformulować używajac , zamiast macierzy Ap macierzy, w których p–ty wiersz zostal zamieniony przez pochodne elementów macierzy. b) (Tw. Liouville’a) Przypomnijmy, że Sx,x0 (y) := y(x), gdzie y(x) jest rozwiazaniem za, ganienia y 0 = f (x, y), y(x0 ) = y, 1 gdzie f (x, y) = (f (1) (x, y), . . . , f (n) (x, y)) jest odwzorowaniem f : R × Rn → Rn . Przypomnijmy także, iż dla odwzorowania Sx,x0 jego pochodna ∇Sx,x0 (y) = (1) ∂y1 Sx,x0 (y) · · · (2) ∂y1 Sx,x0 (y) · · · (3) ∂y1 Sx,x0 (y) · · · .. .. . . (n) ∂y1 Sx,x0 (y) · · · (1) ∂yn Sx,x0 (y) (2) ∂yn Sx,x0 (y) (3) ∂yn Sx,x0 (y) .. . (n) ∂yn Sx,x0 (y) spelnia równanie d ∇Sx,x0 (y) = A(x)∇Sx,x0 (y) dx (i) z w-kiem poczatkowym ∇Sx0 ,x0 (y) = In×n , gdzie A(x) = [Aj (x)] jest funkcja, macierzowa, , (i) zdefiniowana, przez Aj (x) := ∂yj f (i) (x, Sx,x0 (y)). Pokaż, że J(x; x0 , y) := det ∇Sx,x0 (y) jakobian odwzorowania Sx,x0 w punkcie y spelnia zagadnienie poczatkowe , d J(x; x0 , y) = trA(x)J(x; x0 , y), dx gdzie trA(x) – ślad macierzy A(x) zdefiniowany jest jako Z x J(x; x0 , y) = exp J(x0 ; x0 , y) = 1, (p) p=1 Ap (x). Pn Wywnioskuj stad, że , divf (ξ, Sξ,x0 (y))dξ , x0 P gdzie divf jest tzw. dywergencja, pola wektorowego f (x, y) zdefiniowana, jako np=1 ∂yp fp (x, y). c) W przypadku gdy divf = 0 pole nazywamy bezźródlowym. Takimi polami sa, np. pole magnetyczne w próżni, lub pole rozkladu predkości przeplywu cieczy nieściśliwej. Pokaż, iż w , przypadku pól nieściśliwych jakobian odwzorowania Sx,x0 jest tożsamościowo równy 1. Jaka jest geometryczna interpretacja tego faktu? **** **** Równania liniowe wyższych rzedów. , Równanie to ma postać L[y] := y (n) + a1 (x)y (n−1) + . . . + an−1 (x)y 0 + an (x)y = c(x). (1) W przypadku, gdy c(x) ≡ 0 to równanie nazywamy jednorodnym. Ma ono wiec , postać y (n) + a1 (x)y (n−1) + . . . + an−1 (x)y 0 + an (x)y = 0. (2) Przestrzeń rozwiazań takiego równania jest n–wym. p-nia, wektorowa. y1 , . . . , yn nazy, , Uklad rozwiazań , wamy fundamentalnym jeśli w pewnym punkcie x0 (stad , dla dowolnego x) wektory y1 (x0 ) y2 (x0 ) yn (x0 ) y10 (x0 ) y20 (x0 ) yn0 (x0 ) .. . . , , · · · .. .. . (n−1) (n−1) (n−1) (x0 ) y1 (x0 ) y2 (x0 ) yn 2 byly liniowo niezal. w Rn . Na to aby y1 , . . . , yn tworzyly uklad fundamentalny potrzeba i wystarcza wiec , by wrońskian tego ukladu y1 (x0 ) ··· yn (x0 ) 0 0 y1 (x0 ) ··· yn (x0 ) .. .. .. W [y1 , . . . , yn ] := det 6= 0. . . . (n−1) (n−1) y1 (x0 ) · · · yn (x0 ) Każde rozwiazanie y r-nia (2) jest postaci C1 y1 + . . . + Cn yn , gdzie C1 , . . . , Cn sa, pewnymi stalymi. , 1. Obniżenie rzedu równania. Rozpatrzmy r-nie jednorodne L[y] = 0. W przypadku gdy znamy , jedno niezerowe rozwiazanie y1 tego równania można obniżyć o 1 rzad , , równania. Niech y = zy1 . Zadanie 3. a) Pokaż, iż z spelnia równanie z (n) + ã1 (x)z (n−1) + . . . + ãn−1 (x)z 0 = 0. (3) Wyznacz wspólczynniki ã1 (x), . . . , ãn−1 (x). Poprzez podstawienie v = z 0 rozważać odtad , możemy równanie liniowe rzedu n − 1. , b) Udowodnij, że jeśli uklad z1 , . . . , zn−1 jest ukladem fundamentalnym dla (3) to uklad y1 , y1 z1 , . . . , y1 zn−1 jest ukladem fundamentalnym dla (2). Zadanie 4. Znajdź wszystkie rozwiazania wskazanego równania majac , , podane jedno rozwiazanie , a) 1 x2 (x + 1)y − 2y = 0, y1 = 1 + , x b) y − y 0 tan x + 2y = 0, y1 = sin x. 3