Próbkowanie impulsowe (interpolacja)

Próbkowanie impulsowe (interpolacja)
dr hab. inz·. Przemys÷
aw Śliwiński
4 marca 2015
1
Próbkowanie impulsowe (za pomoca¾delty Diraca)
Próbkowaniu impulsowemu funkcji ciag÷
¾ ej (wyznaczeniu jej wartości w punkcie
) odpowiada formalnie operacja splotu z delta¾ Diraca
Z 1
f =
f (x) (x
) dx = f ( ) :
1
Spróbkować równomiernie (tj. w równoodleg÷ych punktach) funkcje¾
f (x) = sin
y
1
x
1.0
0.5
-0.7 -0.6 -0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1
0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7
x
-0.5
-1.0
w przedziale
T3 ; T4 :
4; 4
z wybranymi odstepami
¾
pomiedzy
¾
próbkami T1 ; T2 ;
Uzyskany ciag
¾ wartości funkcji f (n) uz·yć do jej interpolacji za pomoca¾
sumy przesunietych
¾
(i odpowiednio przeskalowanych) funkcji
sinc (x) = sin (x) x
1
1
1.0
y
0.8
0.6
0.4
0.2
-30
-20
-10
10
20
30
x
-0.2
wykorzystujac
¾ formu÷e¾ (wzór interpolacyjny)
f (x) =
N
X
f (xn ) sinc ( x
xn )
n= N
i dobierajac
¾ w nim liczbe¾ punktów pomiarówych N , ich po÷oz·enie xn ,
n = 0; : : : ; N , oraz sta÷a¾ , tak aby kaz·dorazowo odpowiada÷y odstepom
¾
T1 ; T2 ; T3 ; T4 .
– Przedstawić przebiegi f (x) oraz f (x) oraz b÷ad
¾ interpolacji f (x)
f (x).
– Zinterpretować wyniki wskazujac
¾ zniekszta÷cenia wynikajace
¾ z:
nieskończonego nośnika funkcji interpolujacej
¾ oraz
niespe÷
nienia warunków twierdzenia Whittakera-Whittakera-NyquistaKotielnikova-Shannona).
Powtórzyć eksperyment dla obcietej
¾ funkcji
sinc sinc (x; t) = sinc (x) 1 (jxj < t)
i wybranych wartości t = t1 ; t2 ; t3 < 1:
Porównać wyniki i sformu÷ować wnioski.
2
2
Próbkowanie impulsowe (za pomoca¾ funkcji
prostych)
Funkcje¾ (skoku) Heaviside’a de…niujemy (na przyk÷ad) jako
1
0
1 (x) =
if
if
x 0
:
x<0
Wykonać powyz·sze zadania odtwarzajac
¾ (interpolujac)
¾ sygna÷funkcja¾okna
w (x) = 1 (x) 1 (x 1)
y
1.0
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
o szerokości dobranej do odstepów
¾
T1 ; T2 ; T3 ; T4 .
Porównać z wynikami interpolacji uzyskanymi dla funkcji sinc (x)
Sformu÷
ować wnioski.
3
5
x